Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

3.2.1.   Ймовірність попадання в ціль при кожному пострілі

рівна 0,001.

Знайти ймовірність попадання в ціль двох і більше куль, якщо число пострілів рівне 5000. Розв’язок. Нехай подія А полягає у попаданні в ціль двох і більше

куль: к > 2 . Протилежною подією А до даної є к < 1. Отже, Рп (к > 2) + Рп (к < 1) = 1.

Звідси, Р(А) = Рп(к > 2) = \-Рп{к < 1) = 1-[Рп(к = 0) + + Рп(к = ї)].

Оскільки п = 5000 велике, а р = 0,001 « 0,1 - мала, і Я = пр = 5000 • 0,001 = 5 < 10, кожну імовірність Рп (к = 0) і Рп (к = 1)    обчислимо   за   формулою   Пуассона:   Р5000 (0) =

= —е~5=е~5;    Р,тМ) = —е~5=5е~5.    Отже,    Р(А) = \-

0!         1!

-(е~5 + 5е~5) = 1 - 6е~5 = 0,9596 .

3.2.2.   На телефонну станцію протягом години поступає п

викликів. Ймовірність появи виклику протягом будь-якого ін-

тервалу часу, тривалість якого менша години, залежить лише

від довжини цього інтервалу, пропорційна їй і не залежить від

початку інтервалу.

Вважаючи виклики незалежними, знайти ймовірність то-го, що протягом проміжку часу t (менше години) станція отримала рівно т викликів.Розв’язок.

 т    -Мт

Pt (т) =            =          е " , причому t виражено в го-

{М)те  (nt)     _nt

             zz       

т\         т\

динах.

3.2.3.   При роботі деякого приладу в випадкові моменти

часу виникають неполадки. Потік неполадок можна вважати

простим. Середнє число неполадок за добу рівне двом.

Потрібно визначити ймовірність того, що:

а)         за дві доби не буде жодної неполадки;

б)         за добу виникне хоча б одна неполадка;

в)         за тиждень роботи приладу виникне не більше трьох

неполадок.

Розв’язок.

Використаємо формулу наведену в задачі 3.2.2.. дляЯ = 2.

„          (2-2)V2'2      _4

а)         t = 2; т = 0; #(0) =      = е    =0,0183.

0!

б)         Pt(m = 0) + Pt{m > 1) = 1;    t = \, звідки

^>i) = i-^(OT = o) = i-^(o) = i- (2-1)V21 =

0! = 1-0,1353 = 0,8647.

 rw       т,         ^      т, (14)V14

в)         РЛт < 3) = Я(0) + Я(1) + PJ2) + Я(3) =       +

0!

(14)V14    (14)V14    (14)V14

+          +          +          « 0,000474.

1!         2!         3!

3.2.4.   Середня густина хвороботворних мікробів в одному

кубічному метрі повітря рівна 100. Береться на пробу 2 дм3.

повітря.Знайти ймовірність того, що в ньому буде виявлено хоча б один мікроб. Розв’язок.

I           спосіб. Ймовірність того, що в 1 дм3 повітря знаходиться

іоо

мікроб рівна р =        = 0,1. Тоді ймовірність події A -   в 2дм3 знаходиться хоч би 1 мікроб” з використанням формули

Бернулі рівна:

Р(А) = Р2(к>1) = 1-Р2(0) = 1- C°np°q2-0 = 1 - q2 = 1 --(\-pf = 1 - 0,92 =0,19.

II         спосіб. Згідно формули Пуассона, оскільки  Я =

= п-р = 2-0,1 = 0,2:

Р(А) = Р2(к>ї) = 1-Р2(0) = 1 е-А=1-е-°-2=1-

0!

-0,8187 = 0,1813 .

Незважаючи на те,  що наближена формула Пуассона

використовується тоді, коли п велике і  р<0,\, порівняння

результату обчисленого за нею і за формулою Бернуллі дає непогане наближення.

3.2.5. В радіоапаратурі за 10000 годин роботи замінюють десять ламп. Потрібно:

а)         підрахувати ймовірність того, що радіоапаратура не

вийде з ладу за 1000 годин безперервної роботи;

б)         визначити збільшення надійності радіоапаратури при

наявності трьох дублюючих ланцюгів.

Розв’язок.

Ймовірність виходу з ладу радіоапаратури протягом годи-

Ю

ни  рівна   р =            = 0,001.   Ця   імовірність   дуже   мала.

10000 Перевіримо, чи для розв’язку можна використати теорему Пуассона. Обчислимо X = пр = 10000,001 = 1 < 10, (тут взятоn = 1000, оскільки використовуються 1000 годин). Отже, формулу Пуассона використовувати можна.

а) Отже, імовірність того, що в п = 1000 випробуваннях радіоапаратура не вийде з ладу (к = 0) - подія А, згідно фор-мули Пуассона рівна:

Р    (0) = —е~я =-е~1 = 0,36788 .

0!         1

Отже, імовірність безперервної роботи радіоапаратури за 1000 годин рівна р = Ршо(0) = 0,36788 .

Надійність або імовірність безперервної роботи радіоапа-ратури - подія А, при наявності трьох дублюючих ланцюгів рівна сумі  імовірностей трьох  несумісних подій:   Р(А) =

= Р3(\) + Р3(2) + Р3(3), де Р3 (1) - імовірність того, що з трьох

ланцюгів працює лише один, Р3 (2) - імовірність того, що з трьох ланцюгів працюють лише два, Р3 (3) - імовірність того, що з трьох ланцюгів працюють усі три. Дані імовірності обчислимо згідно формули Бернуллі, деп = 3, р = 0,36788, q = = 1 -р = 0,63212;

Рз (1) = Сз/? V"1 = 3 • 0,36788 • 0,632122 = 0,44099; Р3 (2) = C3p2q32 = 3 • 0,367882 • 0,63212 = 0,256645;

Р3(3) = C3p3q° = 0,367883 = 0,04979.

Остаточно, Р(А) = 0,44099 + 0,256645 + 0,04979 = 0,74743.

Таким чином, збільшення надійності радіоапаратури при наявності трьох дублюючих ланцюгів рівне ΔР = 0,74743 -- 0,36788 = 0,37955.

3.2.6. Яка ймовірність того, що в групі з 40 студентів ні-хто не народився в травні? Обчислити цю імовірність за точ-ною формулою і за наближеною формулою Пуассона.

Розв’язок.

Позначимо через А подію - “ніхто не народився в травні”. Ймовірність того, що будь-хто народиться в травні становить

215p =— (12 - кількість місяців). Отже, ймовірність того, що 12

студент не народиться в травні рівна q = \-р = \   = — .

12    12

Для   обчислення   Р(А)   використаємо   точну   формулу Бернулі для п = 40,к = 0:

0          40        40

Р(А) = Р„(А) = Спр q     = СЦ —     —      =   —

\12J \12J       \12)

= 0,0128994726.

Оскільки    р = — = 0,083333 <0,1,    а    Я = п-р = 40х 12

х 0,083333 = 3,333 < 10, то можна скористатись наближеною формулою Пуассона:

Р(А) = Рпк(А)Ле-> = 3^е-^=е

к\         0!

= 0,0356733949.

Як видно з розрахунків, результати відрізняються із-за недостатньо великого числа п для формули Пуассона.

3.2.7. Ймовірність настання деякої події А в кожному випробуванні постійна і дорівнює/? = 0,001.

Знайти ймовірність настання цієї події т разів (т = 4) при 100 випробуваннях. Обчислення виконати з точністю до 0,0001 за формулами Бернуллі та Пуассона. Результати порів-няти.

Розв’язок.

За умовою задачі п = 100; т = 4; р = 0,001 << 0,1. Необ-хідно обчислити Р100(4) . Дану імовірність обчислимо за:

а) точною формулою Бернуллі:   і^00(4) = Cj400(0,001)4 х

х (0,999)96 = 0,000003562 .б) за наближеною формулою Пуассона, оскільки число випробувань п = 100 достатньо велике, р«0,1, Л = пр = = 100 • 0,001 = 0,1 < 10.

л          (0,1)4е~0,1       0,0001    _01

Р   (4) =           =          е   , х 0,00000377 .

4!         1 • 2 • 3 • 4

Як видно з обчислень, при п = 100 обидві формули дають

практично один і той же результат Р = 0,000004.

3.2.8. При розриві балону під час випробування на міц-ність утворилось 600 осколків, що рівномірно розподілились в області, площа якої 200 м2. Всередині цієї області навмання вибирається підобласть площею 0,5 м2. Визначити імовірність попадання в вибрану область не менше чотирьох осколків.

Розв’язок.

Імовірність   попадання   кожного   осколка  в   підобласть

рівна р =         = 0,0025 «1, тобто дуже мала. Отже, має-

200ж

мо повторні незалежні випробування, імовірність настання події в яких дуже мала. Випробовується п = 600 осколків на можливість попадання в дану підобласть, причому п велике. В задачі необхідно обчислити Р600 (к > 4) . Події (к > 4)

і (к <4) є протилежними, тому Р600 (к > 4) + Р600 (к < 4) = 1, звідки Р600 (к > 4) = 1 - Р600 (к < 4). Подія (к < 4) є сумою несумісних подій: (к < 4) = (к = 0) + (к = 1) + (к = 2) + (к = 3). Отже, Р(к < 4) = Р(к = 0) + Р(к = 1) + Р(к = 2) + Р(к = 3), де кожний з доданків обчислюється за формулою Пуассона, оскільки Я = пр = 600 • 0,0025 = 1,5210 < 10.

Лк Ркп (А) = —е~я , де Я=1,5;

— к!

(1 5)

Р600 (0)=        е 1,   « 0,22313;

 600 (   (1,5(1 5)1

P600 (1) =       e  '   =0,3347;

r,          (1,5)2       -IS

РШ) (2) =        e  •   =0,2510;

1-2

л          (1,5)3        -15

P   (3) =           g   3 = 0,12551.

1-2-3

Таким чином,

P600 (A: > 4) = 1 — [P(0) + P(V) + P(2) + P(3)] = 1 -- (0,22313 + 0,3347 + 0,2510+0,12551) = 1 - 0,9343 = 0,0657.

3.2.9. Скільки талановитих студентів повинно навчатись в магістратурі, якщо імовірність мати хоч би одного талано-витого студента в магістратурі, є не меншою 0,995?

Розв’язок.

Використаємо теорему про суму імовірностей протилеж-них подій:

Рп(к = 0) + Рп(к>ї) = 1,    звідки    Р(А) = Рп(к>\) = \-

-Рп{к = 0).

Оскільки наявність таланту у людини є досить рідкісною подією, для обчислення Рп (к = 0) скористуємось формулою

л°

Пуассона: Р (0) = —е~л = е~л  , де X = пр -середнє число 0!

появ події в п випробуваннях.

Отже,   Р(А) = 1 - е'я > 0,995   за умовою задачі, звідси

е'я < 1 - 0,995 = 0,005 або ея > 200. Прологарифмувавши вираз, отримуємо, Л > 5,298 і оскільки число студентів є цілим числом, то Л>5.3.2.10.   Довести,  що  для  найпростішого  потоку  подій

,.     р(к>1)

hm—   - = 1.

*->о р(к = і)

Розв’язок.

Використаємо   теорему   про   суму   імовірностей   про-тилежних подій: Pt(k = 0) + Pt (к > 1) = 1. Тоді

,.    Р(к>\)    ,.    l-P(k = 0)

llm        L = 1іт L          * =

к\

* = lim 0^ = Цт(1-е    >= **

{At)le-M        ^о   д^

f->0

t^° Р(к = 1)     '^0    Р(к = 1) Підставимо формулу Pt(k) =

1!

Домножимо чисельник і знаменник на е

^        мт            =

Для знаходження границі використаємо правило Лопіталя

*** = 1іш        = 1ітел =е° =1.

3.2.11. Штучний супутник Землі, який рухається по своїй орбіті протягом п діб, може випадково зіткнутися з метео-ритами. Середнє число метеоритів, які стикаються з супутни-ком протягом доби, рівне . Метеорит, що зіткнувся з супут-ником, пробиває його оболонку з ймовірністю р0. Метеорит, що пробив оболонку супутника з ймовірністю рі, виводить з ладу апаратуру супутника.

Знайти ймовірність того, що:

а)         за час польоту супутника його оболонку буде пробито;

б)         за час польоту його апаратура буде виведена з ладу;

в)         оболонка супутника пробита, а апаратура буде діяти.Розв’язок.

Зіткнення метеоритів з супутником Землі утворюють пуассонівський потік подій. Тому число подій, що попадає в будь-який інтервал часу (t0,t0+r), розподілене за законом Пуассона:

г>        ^      -а

Р, = —е    , де а - математичне сподівання числа подій, к!

що попадають в інтервал часу. Будемо вважати потік еле-ментарним, оскільки в задачі не задана щільність потоку зіткнень, а лише її середнє число.

Математичне сподівання числа метеоритів, що стикаю-ться з супутником протягом п діб, рівне a = An ; математичне сподівання числа метеоритів, що пробивають оболонку рівне а0 = Апр0; математичне сподівання числа метеоритів, що пробивають оболонку і виводять апаратуру з ладу рівне fl1 = An ■ р0 ■ р1.

Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що за час польоту супутника його оболонку буде пробито; В - апара-тура буде виведена з ладу; С - оболонка супутника пробита, а апаратура буде діяти.

Число наступання подій (зіткнень) може бути к = 0,1,2,… Події (к = 0) і (к > 1) - протилежні, тому Р(к = 0) + + Р(к > 1) = 1, звідки Р(к ≥ 1) = 1 - Р(к = 0), де Р(к = 0) обчислюється за формулою Пуассона.

а0 Отже, а) Р(А) = 1—0е а0 =1-е ^0; 0!

а0

б)         Р(А) = 1 —1е~а1 = 1 - e'Mp0P1.

0!

в)         Подія А рівна сумі двох несумісних подій В і С: А =

= В + С, тому Р(А) = Р(В + С )=Р(В) + Р(С ), звідки Р(С) =

= Р(А) - Р(В) = 1 - е-Япр0 - (1 - е-Япр^ ) = е-Япм - е-Мр0.3.2.12.        В таблиці випадкових чисел цифри згруповані по

дві. Знайти наближене значення ймовірності того, що серед

100 пар чисел пара 09 зустрінеться не менше двох разів.

Розв’язок.

Нехай подія А полягає в тому, що серед 100 пар випадкових чисел пара “09” зустрінеться не менше двох разів.

Тоді імовірність цієї події  Р(А) = Р1200(2 <к < 100)   знахо-

димо з рівняння, що виражає суму імовірностей повної групи

подій:  Р100 (0 < к < 1) + Р100 (2 < к < 100) = 1.   Отже,  Р(А) =

= Рш(2<к<100) = 1-Рш(0<к<ї).

Імовірність появи пари “09” в кожному випробуванні рівна:

Р(АХ) = Р(А[ ■ А[) = Р(А[) ■ Р(А[) = 0,1 • 0,1 = 0,01, де  А[ і

А" - незалежні події, що полягають у появі цифр “0” і “9”

1 відповідно, імовірності яких рівні — = 0,1.

10 Отже, необхідно обчислити імовірність появи події в п випробуваннях (п - велике) і малій імовірності (р < 0,01) на-стання події в кожному випробуванні. Обчислимо параметр λ: X = пр = 100 • 0,01 = 1 < 10.

Отже,    для    обчислення    імовірності    і^00(0<&<1) =

= Р°Ж(А) + Р^00(А) можна скористатись формулою Пуассона:

Рк(А) = —е~я;    звідки    Р° (А) = — e~l =е_1;      Rl(jJA) =

к\         0!

= -е~1 = е~1. Остаточно, Р(А) = 1 -2е_1 = 0,26424. 1!

3.2.13. Нехай відомо, що при наборі книги є стала ймовір-

ність/? = 0,0001 того, що будь-яку букву буде набрано непра-

вильно. Після набору гранки читає коректор, який виявляє

кожну помилку з імовірністю q = 0, 9. Після коректора їхчитає автор, який виявляє кожну помилку, що залишилася з імовірністю г = 0,5. Знайти імовірність того, що в книзі з 100000 друкованих знаків залишиться після цього не більше 5 помилок.

Розв’язок.

Нехай В - означає подію, що в 100000 друкованих знаках буде не більше 5 помилок. Подія А - “будь-яку невірно набра-ну букву не буде виявлено” рівна добутку подій А1,А2,А3:

A = Al ■ А2 ■ А3, де подія Аі - будь-яка буква набрана непра-вильно, імовірність якої р{Ах) = р1 = 0,0001; подія А2 -кожна помилка невиявлена коректором і p(A2) = l-q = = 1 - 0,9 = 0,1; подія А3 - кожна помилка, що залишилась, не виявлена автором і р(А3) = 1 — г = 1 — 0,5 = 0,5. Оскільки події Аг,А2, А3 незалежні, то Р(А) = Р(Аг ■А2-А3) = Р(АХ)х хР(А2) ■ Р(А3) = 0,0001 • 0,1 • 0,5 = 0,000005 .

Оскільки р = Р(А) = 0,000005 < 0,1, тобто імовірність настання події А в кожному випробуванні дуже мала, а число випробувань п = 100000 дуже велике, то для обчислення імовірностей застосуємо формулу Пуассона, оскільки Я = пр = 100000 • 0,000005 = 0,5 < 10.

Імовірність події В рівна сумі імовірностей несумісних подій:       Р(В) = Ршооо (0) + ^00000 (1) + ^00000 (2) + ^00000 (3) +

+ ^ооооо (4) + ^ооооо (5), де кожний з доданків обчислюється

згідно формули Пуассона:

(0,5)°0!^0^5        0>5

*іооооо (у) =  е       =е      ,

(0,5)'      _0 5  1

            е   '   = —

1!         2

PWOooo(d =        e    -^е ' ;

Р          (0^5)     .-0,5   1     -0,5

.г100000(2) = е      =—еР      ПЛ        (°>5)3   .-0,5 1    ,-0,5

*looooo (у) =  e          e       '■>

P          (0^5)4   .-0,5   !      л-0,5

-Чооооо(4) =  ^        =           Є        ;

1!         384

P          Г^        (0^5)5  ,,-0-5  l       ,-0,5

1!         3840

P(B) = e05 +-e-°>5 +-e-°>5 + — e-°>5 + — e-°>5 +

2          8          48        384

+          e~0'5 «0,99991.3.2.14. Довести, що сума ймовірностей числа появи події в незалежних випробуваннях, розрахованих за законом Пуас-сона, рівна 1.

Припускається, що випробування проводяться нескінчен-не число разів.

Розв’язок.

Лк Згідно формули Пуассона Рп (к) = —е~л, тоді сума ймо-

вірностей рівна:

со        со        лк        со        лк

^ Рп(к) = ^ —е~л=е~л^ —.

к=0      к=0      ""•        к=0      ""•

Розкладемо функцію Лх згідно формули Маклорена в ряд, який збігається:

х          х    х2     х3

е   = 1 + —+ — + — + ... 1!     2!      3!

Поклавши тут х=Л, ряд набуде вигляду:

Л         л2        ^З        со        лк

ея =\ + — + — + — + ... = у   —.

1!     2!     3!    ІҐ0   к\к=0 к=0

Підставимо Y1   — = ел в суму імовірностей: к\

^ Рп(к) = е я -ея =1.

3.2.15. Пристрій складається з великого числа незалежно

працюючих елементів з однаковою (дуже малою) ймовір-

ністю відмови кожного елементу за час Т.

Знайти середнє число елементів, що не спрацювали за час Т, якщо ймовірність того, що за цей час відмовить хоча б один елемент, рівна 0, 98.

Розв’язок.

Події (к>\) - “не спрацював хоч би один пристрій” і

(к = 0) - “всі пристрої спрацювали” є протилежними і утво-рюють повну групу подій. Тому сума їх імовірностей рівна 1: Р(к = 0) + Р(к > 1) = 1,    тоді     Р(к = 0) = 1 - Р(к > 1) = 1 -

-0,98 = 0,02. Оскільки згідно умови задачі ймовірність від-

мови пристрою дуже мала, а число елементів п є дуже велике число, то  можна скористуватися  формулою Пуассона для

Лк подій,    що    рідко    трапляються:     Р* (А) = —е~л,    тому

к\

Р° (А) = —е~х = 0,02 .   Отже,   е~х =        = 50 .   Пролога-

0!         0,02

рифмуємо вираз: 1пе"л = In 50, звідки X = 3,912 « 4. Оскі-льки X - середнє число подій, що відбуваються за одиничний інтервал часу Т, то X = 4 - це середнє число елементів, що не спрацювали.

3.2.16. Під час виконання завдання 200 блоків системи

знаходиться в завантаженому стані, 250 - в середньому, 500 -

в слабо завантаженому режимі. Ймовірність відмови кожного

блоку рівна відповідно 0,0075; 0,001; 0,002.Скільки треба взяти запасних блоків, щоб замінити блоки, що відмовили, з ймовірністю не меншою 0,9 (можливістю від-мови блоків, поставлених заново, для простоти можна знехту-вати)?

Розв’язок.

Нехай А подія, імовірність якої задана. Оскільки імовір-ності настання події (відмови) малі, а число випробувань п

велике,   обчислимо   параметр    Л = ^ ptnt = 0,0075 • 200 +

+ 0,002-250 + 0,002-500 = 3 <10. Отже, для обчислення імовірностей   можна  скористуватись   формулою   Пуассона:

Лк Р*(А) =—е~л . Відмовити може така кількість блоків: 0 -

к          0

            0,049787

2] Рі     0,049787

подія А0, 1 - подія А 2 - подія А2, .../'- подія Аи ...к- подія Ак. Оскільки всі ці події несумісні, то А = А0 + Аг + А2... + ...Аt... + ...Ак і Р(А) = Р(А0 + Аг + А2... + ...АІ... + ...Ак) = Р(А0)+ + Р(Аі) + Р(Аг) + ...Р(АІ)... + ...Р(Ак) - як імовірність суми несумісних подій. За умовою задачі Р(А) > 0,9. Таким чином, необхідно послідовно обчислити імовірності подій Рп (Д.) для к = 0,1,2... при Я=3 і сумувати їх доти, поки сума стане не меншою 0,9. Необхідні дані занесені в таблицю:

1          2          3          4          5          6

0,149361         0,224041         0,224041         0,168030         0,100819         0,050409

0,19915           0,42319           0,64723           0,81526           0,91608           0,96649

Як видно з таблиці, мінімальне число запасних блоків (число к), що задовольняє даній умові, рівне 5.