Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
§3. Повторні незалежні випробування : Теорія ймовірностей та математична статистика : Бібліотека для студентів

§3. Повторні незалежні випробування


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Нехай при незмінних умовах проводяться послідовні пов-торні випробування, в результаті яких можуть бути два мож-

ливі наслідки (дві елементарні події А і A ): певна подія А

відбувається і не відбувається A . Оскільки імовірність події А в кожному випробуванні не залежить від наслідку (ре-зультату) інших випробувань, то такі випробування нази-вають незалежними. Якщо в кожному незалежному випро-буванні імовірність настання події А одна й та сама і дорівнює р (0 < р < 1) і не залежить від номера випробування, то такі випробування називаються схемою Бернуллі.

3.1. Формула Бернуллі

Теорема. Імовірність того, що в п повторних незалежних випробуваннях, в кожному з яких імовірність появи випад-кової події А рівна р (0 <р < 1), дана подія наступить (відбу-деться) рівно к разів знаходиться за формулою Бернуллі:

Рп(к) = Скпркqn~k (3.1.1),

де q = 1 - р - імовірність непояви події А в кожному випробуванні.

Імовірності Рп(к) (к = 0, 1, ... п) називаються біномними,

так як права частина формули (3.1.1) є загальним членом розкладу біному Ньютона:

П

(q + pf =^Cknpkqn~k = C°qn + C\pqn~x + C2np2qn~2 +... +

k=0

+ ...Cknpkq"-k +...C"n-2p"-2q2 +Cnn-lp"-lq + Cnnp" (3.1.2).

Звідси випливає, що сума всіх біномних імовірностей

П         П

рівнаі: ^Р„(к) = ^CZp"q"~k =(q + p)" =Г =1   (3.1.3).

к=0      к=0Для обчислення імовірності появи події А рівно к разів в серії з п незалежних повторних випробувань, що проводяться в змінних умовах, вводять твірну функцію <рп (х) :

фп{х) = (q + px)" = q"x° +C1npq"~1xl + C2np2qn~2x2 +

+...Ckpkq"~kxk +... + ...C^p^qx"'1 +p"x" = (qx + pxx) x

x(q2+p2x)...(q„+P„x)  (3.1.4).

Ця функція має ту властивість, що імовірність Рп (к) то-го, що в п незалежних випробуваннях, в першому з яких імо-вірність появи події А рівна р^, в другому р^ і т. д. подія А

з’явиться рівно к разів, дорівнює коефіцієнту   при zk в роз-кладі твірної функції по ступенях z.

Імовірності Рп(к) при фіксованому п спочатку ростуть

при збільшенні числа к від 0 до деякого значення к0, а потім

зменшуються при зменшенні числа к від к0 до п.

Число к0, при якому при заданому п відповідає макси-мальна біномна імовірність Рп (к0), називається найімовірні-шим числом появи події А. Найімовірніше число к0 задовіль-няє системі нерівностей:

np-q<k0<np + q,         (3.1.5)

якщо пр — q неціле, то є одне значення к0, якщо пр — q

ціле, то таких значень є два, які будуть відрізнятися між собою на 1.

Нехай проводиться п незалежних випробувань, в кож-ному з яких може бути т (т > 2) попарно несумісних і єдино можливих результатів   Aj   (/' =   1,  2,   ...т) з відповідними

імовірностями р   = Р(А}) , однаковими в усіх випробуван-

т

нях і такими, що У^/>,- =1- Нехай v   число появ А,. Тодіімовірність того, що ви випробуваннях наслідок А1 наступає рівно к1 раз, наслідок А2 - к2 раз і т.д., наслідок Ат - кт раз

рівна: Р (к,к2,...,к ) =  !           р\1 ■ рк22 ■ ...■ ркт    (3.1.6).

к1!к2!...кт!

(к1 +к2+... + кт =п)

Імовірності Рп(к1,к2,...,кт) називаються поліномними, а

схема   випробувань    -   поліномною.    Частковий    випадок поліномної схеми зт = 2 називають схемою Бернуллі.