§2 Теореми додавання та множення імовірностей та наслідки з них 2.1. Теореми додавання для несумісних подій


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Теорема 1. Імовірність появи однієї з двох несумісних по-дій А і В, байдуже якої, дорівнює сумі імовірностей цих подій: Р(А + В) = Р(А) + Р(В)     (2.1.1).

Наслідок. Імовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій АhА2 ..А„, дорівнює сумі імовірностей цих подій: Р(АІ+ А2 + ... + А„) = Р(Аг) + Р(А2) + ... + Р(А„)     (2.1.2).

Теорема 2. Сума імовірностей подій Аи А2, ... А„, що утво-рюють повну групу, дорівнює одиниці: Р(А\) + Р(А2) + ... + + Р(А„) = 1     (2.1.3).

Протилежними називають дві єдиноможливі події, що утворюють повну групу. Якщо одну з протилежних подій по-

значити через А, то другу подію позначають як A .

Теорема.  Сума імовірностей протилежних подій дорів-

нює одиниці: Р(А) + Р(А) = 1.

Теореми множення імовірностей. Якщо при обчисленні імовірності певної події ніяких інших обмежень, крім сукуп-ності умов S, при яких вона може відбутися чи не відбутися не накладають, то таку імовірність називають безумовною. Якщо накладають і другі додаткові умови, то таку імовірність події називають умовною.

Умовною імовірністю РВ(А) називають імовірність події А, обчислену за умови, що подія В уже наступила:

РВ(А) = Р(А-В)І Р(В)    (2.1.4).

Теорема. Імовірність сумісної появи двох подій рівна до-бутку імовірності однієї з них на умовну імовірність іншої події, обчислену в припущенні, що перша подія вже відбу-лася:

Р(АВ) = Р(А) ■ РА (В) = Р(В) ■ РВ(А)    (2.1.5).Наслідок 1. Імовірність сумісної появи декількох подій рівна добутку імовірності однієї з них на умовні імовірності всіх решти, причому імовірність кожної наступної події об-числюється в припущенні, що всі попередні події відбулися: Р(А1 ■А2-А3...Аn) = Р(А1)-РА(А2)-РА1 А 2(А3)...РА1 А 2 А   (А n) (2.1.6).

Дві події називаються незалежними, якщо імовірність появи однієї з них не впливає на імовірність настання чи не настання іншої події, тобто умовні імовірності подій рівні їх безумовним імовірностям:

РВ (А) = Р(А);    РА (В) = Р(В)    (2.1.7).

Наслідок 2. Якщо події А і В незалежні, то імовірність їх сумісної появи рівна добутку їх імовірностей:

Р(АВ) = Р(А)-Р(В)      (2.1.8)

Дві події називаються незалежними, якщо імовірність їх добутку рівна добутку імовірностей цих подій; в протилеж-ному випадку події називаються залежними. Декілька подій називають попарно незалежними, якщо кожні дві з них неза-лежні. Наприклад, події А, В, С, D попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, А і D, В і С, В і D, С і D.

Декілька подій називають незалежними в сукупності (або просто незалежними), якщо незалежні кожні дві з них і незалежні кожна подія і всі можливі добутки решти. Наприк-лад, якщо події А, В, С, D незалежні в сукупності, то незалеж-ні події А і В, А і С, А і D, А і ВС, А і ВD, А і CD, А і ВСD, В і D, В і СD, В і АС, В і АD, В і АСD, С і D, C і АВ, С і АD, C і ВD, C і АВD, D і АВ, D і АС, D і ВС, D і АВС.

Якщо декілька подій незалежні попарно, то звідси ще не випливає їх незалежність в сукупності. Але з умови неза-лежності подій у сукупності випливає їх попарна незалеж-ність. Тому умова незалежності подій у сукупності сильніша вимоги їх попарної незалежності.

Наслідок 3. Імовірність сумісної появи декількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добутку імовірностей цих подій.

Р(А1А2...Аn) = Р(А1)-Р(А2)...Р(Аn)      (2.1.9).Теорема. Імовірність появи хоч би однієї з подій Аи А2,

...,   А„   незалежних   в   сукупності,   дорівнює   різниці   між одиницею   і   добутком   імовірностей   протилежних   подій

А\,А2,...Ап:

Р(А) = \-Р(А1)Р(А2)..Р(Ап) = 1 - qxq2...q„ (2.1.10), де qx =P(Al),q2 =P(A2),...qn = Р(Ап) = 1-Р(Ап) = 1-р„. Коли Р(АХ) = Р(А2) = ...Р(Ап) = р, то

P(A) = \- q"     (2.1.11).

Імовірність суми сумісних подій. Імовірність появи хоч би однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх сумісної появи:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ)      (2.1.12).

Якщо події А і В незалежні, то формула імовірності суми подій набере вигляду:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) ■ Р(В)  (2.1.13), якщо події А і В залежні, то формула має вигляд:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) ■ РА (В) = Р(А) + Р(В) -

-Р(В)-РВ(А)   (2.1.14).

Для трьох сумісних подій А, В, С імовірність суми рівна:

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ)-)

-Р(АС)-Р(ВС) + Р(АВС)       (2.1.15).

Імовірність суми довільного числа сумісних подій має вигляд:

Р(АХ +А2 +... + Ап) = Р(АХ) + Р(А2) +... + Р(Ап)-

-Р(АХА2)-Р(АХА3) — ... — Р(Ап_1Ап) + Р(АХА2А3) +

+ ... + Р(Ап_2Ап_1Ап)-... + (-ї)пР(А1А2...Ап) (2.1.16). або в скороченому записі:

п

Д.) = ^(-1)г_1     ^    P(AJ...AJ)   (2.1.17).

-■' — 1

г=\       \<і1<...<іг<п

Це формули включень і виключень.