Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

1.5.1. Два судна повинні підійти до одного причалу. Появи суден - незалежні випадкові події, рівноможливі про-тягом доби. Знайти ймовірність того, що одному з суден дове-деться чекати звільнення причалу, якщо час стоянки першого судна - 1 год., а другого - 2 години.

Розв’язок.

Позначимо час приходу до причалу першого судна через х, другого судна - через у. Оскільки обидва судна можуть підійти протягом доби , то 0 < х < 24 ; 0 < у < 24. Другому судну доведеться чекати звільнення першого судна, якщо воно підходить до причалу під час стоянки першого судна. Умовою цього є виконання нерівності: х<^<х + 3. Першому судну доведеться чекати звільнення другого судна, якщо воно підійде до причалу під час стоянки другого судна, що виражається нерівністю: у < х < у + 5 .

Зобразимо штрихом на графіку (рис. 1.5.1) область, що відповідає даним нерівностям. Тоді імовірність події A -одному     з     суден    доведеться    чекати     причалу     рівна:

Р(А) = —-—^^          —, де

Sn

Y0

 

X

Рис. 1.5.1.

SQ - площа, що відображає повну групу подій: SQ = 24 х 24

 (24-3)          212                      0     (24-5)

(кв.  од.),   S,=            -21 =      (кв.  од.);   <J2 =     х

2          2          2

 192

х19 =   (кв. од.).Отже,

п, ,ч     242-(212 + 192)/2      212+192

Р(Л) =      = 1                    =1-0,69618 = 0,30382-2-242

1.5.2. Навмання взято два додатніх числа x і y, кожне з

яких не перевищує двох.

Знайти ймовірність того, що добуток xy буде не більше

y

одиниці, а частка    не більша двох.

x

Розв’язок.

Нехай А – шукана подія.Згідно умови задачі допустима множина точок, що задана

Г0<х<2

нерівностями  J         відповідає квадрату з стороною 2,

[0 < у < 2

площа якого S = 2 ■ 2 = 4 (кв. од.). Множина точок, що сприяє настанню події А зв’язана системою нерівностей:

0 < ху < 1

У 0< —<2

або

0<у<

0<у<2х

(1)

(2)Функція у = — задає гіперболу (\), у = 2х - пряму (2), так х

що спільна область лежить в першій четверті і обмежена (1) і

(2). На рисунку 1.5.2. вона заштрихована. Точка М перетину

прямої   у

х2=    2х    і    гіперболи

у2 = V2 .

у

            X

має   координати

У

-I-

0,4        0,6     0_g       ^Q       ^2       1,4       1,6       1,8        2,0

2,0

1,8

1,6 1,4

1,2 1,0 0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

 

УУУУУ УУУУуУУУуУУ''' У-Іг\'Уу'ЛУУу'УУУу'уУ'УУ

^УУУУУУУУУУУУУУУ/

^    - !■—1    ■■ Г   -\ '    [   ^   |■ ■   \    ' \ '     |

Рис. 1.5.2.

0,2

ХВона   розбиває   область   S(A)   точок   сприятливих   до настання події А на дві площі St і S2: S(A) = S1 + £2, де:

V2       ^2

—        i—2

S1 = j ydx = j 2xdx = 2 ■

 zxax = z          =

o          2   o

2          2

0 = — - (кв.од.);x2 2     f V2 ]           1

 

—2

           

r           r   1 ,           2    ,       ,  V2

S2 =     jdx =      —Jx = lnx     = In 2-In          2

= ln2    In2 +In2 =-In2 (кв.од.).

2          2

,ї, ,ч       1       3,          1          ,

Отже, ^(^) = - + — In2 = -(1 + 3In2) (кв.од.).

2    2    2

Тоді, згідно геометричного означення імовірностей:

„, ,ч     ЯМ)     1 + 31п2     1 + 31п2

/>04) =у— =   =          х 0,38.

S          2-4      8

1.5.3. Навмання взято два додатніх числа х і у, кожне з яких не перевищує одиниці.

Знайти ймовірність того, що сума х + у буде не більше одиниці, а добуток ух не менше 0,09.

Розв’язок.

Нехай А - шукана подія. Область допустимих значень х і

Ґ0 < х < 1

у задається: •<           , що буде відповідати квадрату з сторо-

[0<.у<1

ною 1, площа якого  £ = 1-1 = 1  (кв. од). Область значень,

сприятливих до настання події А задається системою рівнянь:

у<\-х    (1)

х+у<1

0,09

У ^    —    (2) х

або [ух > 0,09

Це буде відповідати заштрихованій області S(A) (рис. 1.5.3.), межами якої є х1 = 0,1 і х2 = 0,9.S(A) = SBCDE+SKpue;

x2        x2        0,9       0,9

SBCDE = f ydx = f (1 - x)dx = f dx - f xdx

xl         xl         0,1       0,12

0,9

= x|      1   =0,8           0,8 = 0,4 (кв.од.);

0,1       0,1

0,9

SKpue = I >>dx = I—dx = 0,091nx|

x          0 1       """        °>1

 0,09(ln 0,9 - In 0,1) = 0,09 In 9 (кв.од.). Отже, S(A) = 0,4 -0,09In9 = 0,4 -0,19775 = 0,2022 (кв.од.).

 

r

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

0,0

JG       0,2

0,4

0,6       0,8       1,0    X2

Х

Рис. 1.5.3.

Згідно, геометричного означення імовірностей:

SS(A)    0,2022

P(A)=  =          =0,2022 .

1.5.4. В квадрат з вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) навмання кинута точка М. Нехай ( ; ) – її координати. Знайтиімовірність того, що корені рівняння х2+ах + /3 = 0 - дійсні

числа.

Розв’язок.

Нехай Р(А) - імовірність шуканої події. Для того, щоб

рівняння х1 + ах + Р = 0 мало дійсні корені, необхідно, щоб дискримінант   рівняння   був   невід’ємним:    D>0,   тобто

а2-4/?>0, звідкиа2 >4/?, або /? <сс2

і

В системі координат а, /?  побудуємо криву  /? =вершини квадрату (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) (рис. 1.5.4).

Допустимою   областю,    в   яку   може   попасти   точка М( а, /3) є весь квадрат.

(0;1) f Р

0,8

 

0,6 0,4

0,2

^          a

Рис. 1.5.4. Областю, в яку може попасти точка, що буде сприяти настанню події A - заштрихована криволінійна фігура, що

а2

задовольняє нерівності /? < . Отже, згідно геометричногоозначення імовірності P(A)=SфігуриJSn=SфігуриJl = Vl2,12

Ь          1          2          3     14-3

де й'фігури = | p-da = \  —da = ^\   =^(кв. од.);

Su=ri=l (кв. од.).1.5.5. На колі радіуса R навмання взято три точки А, В, С. Яка ймовірність того, що ААВС гострокутний?

Розв’язок.

Вважаємо А - фіксованою точкою, О - центр кола. Тоді

ZBOC = cc; ZAOB = J3 ; Z.COA = y (рис. 1.5.5.);

Q = {(a;j3)\0 <a<2л;0 <(3<2л;0 <2я-(а + /3)<2я\} (рис.  1.5.6). Оскільки  а + Р <2ж , то множина допустимих значень а і Р знаходиться в трикутнику і на рис. 1.5.6 вона заштрихована.

D - подія, яка полягає в тому, що ААВС - гострокутний. Тоді    D = {(а, Р)\0<а<ж;0< Р < ж;0 <2ж-(а + Р)<ж].

Площа області допустимих значень S(Q) = —(2ж) 2 .^а + Р = 2ж

С

А

Р ▲

 

Рис. 1.5. 5.

Рис. 1.5.6.D:

0<a < ж 0<Р<ж 2ж-(а + Р)<ж 2ж - (сс + Р) > 0

ZZ

0<а <ж 0<Р<ж (а + Р)>ж (сс + Р)< 2ж

(рис. 1.5.7).

 

р

і 2ж     к                                 

ж         ^                                

                        ж         2ж                   ►

a

Рис. 1.5.7.

Отже,   площа області, де АABC гострокутний (затемне--ж

ний трикутник) рівна S(D)

_2

S(D)     2         1

               ZZ      ZZ  

S(Q)     2ж2     4

Тоді ймовірність того, що  АABC  гострокутний, згідно геометричного означення рівна P(D)