3.7. Статистичні розподіли втрат


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 

Загрузка...

Розглянемо кілька типових варіантів залежності між імовірністю і величиною збитку, що може нам дати деякий набір подій для окремого виду ризику.

На рис. 3.1 представлений варіант функції розподілу вели-чини збитку для відмовлень деякої промислової установки. Невеликі збитки відбуваються з найбільшою частотою.

 

           

ь   0,2  ■

т

р0,15   ■ в

р 0,1 ■

0,05  ■                                               

 

                                                                                 

 

                                                                                                         

 

                                                                                                                                                        

 

                                                                                                                                                                                                        

            123456789          10

Витрати

Рис.3.1. Типовий вид простої залежності “імовірність—втрати” для окремих подій

Такі випадки відповідають відмовленням окремих деталей установки, дрібним неполадкам, що можуть бути усунуті без особливих витрат. Максимальні збитки відповідають великим аваріям, аж до повного руйнування установки. Імовірність на-стання таких випадків найменша. Ця область збитків відповідає правій частині діаграми.

Діаграма будується так:

•          горизонтальна вісь поділяється на рівні інтервали;

•          групуються всі події з розмірами збитків, що попадають у виділений інтервал на горизонтальній осі і відбулися протягом розглянутого періоду (року);

•          підраховується загальна кількість випадків збитків для даного інтервалу і нормується на загальне число ви-

падків збитків протягом розглянутого періоду (таким способом розраховується імовірність виникнення збитків, що мають величину усередині виділеного інтервалу); • ця процедура проводиться для усіх виділених інтер-валів на горизонтальній осі, у яких потрапляє хоча б один випадок збитків. На рис. 3.2 показано функцію розподілу, характерну для

збитків, уже підсумованих усередині визначеного періоду ча-

су, наприклад фінансового року.

 

0,3  ■   |           1

0,25  ■                       

т                                                        

р 0,15   ■

в

f 0,1  ■                                                                                              

 

                                                                                                                                                        

0,05  ■ ,           ,                                                                                                                                           

 

                                                                                                                                                                                                       

            ■            ...            і    

12           3           4     5           6           7           8

Втрати            9          10

Рис.3.2. Типовий вид простої залежності “імовірність—втрати” для збитків, підсумованих протягом фінансового року

На рис. 3.4 видно, що, порівняно з рис. 3.3, імовірність на-стання самих маленьких збитків зменшилася. Це можна пояс-нити наступним: протягом року обов’язково відбуваються які-небудь несприятливі ситуації, крім того, на діаграмі з’явився максимум, що відповідає найбільш ймовірному значенню збитку.

Діаграми, показані на рис. 3.3 і 3.4, виявляють дві загальні властивості, що характерні для розподілів втрат різного типу: дискретність і неповнота представлених даних. Дійсно, на графіках є області, де дані відсутні з різних причин. Ця обста-вина створює певні складності для застосування методів теорії

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

імовірності в управлінні ризиком і одержанні надійних ре-зультатів. Тут ми зіштовхуємося з таким поняттям, як на-явність репрезентативної статистики для проведення аналізу ризику.

Для кожної дискретної залежності “імовірність — втрати”, отриманої досвідченим шляхом, може бути підібрана безупин-на функція відповідного виду. Функція розподілу може бути виражена в простій чи інтегральній формі. У випадку наяв-ності неповних і недостатньо достовірних даних зручніше ви-користовувати інтегральну форму, оскільки вона менш кри-тична до можливих помилок і пропусків у даних.

На рис. 3.3 показано типову залежність “імовірність — втрати”, яка представлена в інтегральній формі.

 

1,2  ■ 1  ■                              

 

                                              

ь0,8  ■

т

f                                                                                                                                           

р0,6  ■ в

0

р0,4  ■ 0,2  ■                                                                                                                                               ПРяд1

 

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

                       

 

                                                                                                                                                                                                                  

 

            I                                                                                                                                                                                                                  

            123456789     

            Втрати

Рис. 3.3 Інтегральна залежність “імовірність — втрати” та її апроксимація нормальної функції розподілу

Далі постає питання про вибір виду функції, якою може бути апроксимована емпірична залежність. Для рядів даних за різними типами втрат найчастіше використовуються три види функцій: нормальна (гаусовська), експонентна (больцма-новська) і самоподібна (функція Парето).

Найбільш часто використовують функцію гаусовську, чи нормальний розподіл.

У канонічному вигляді нормальний розподіл випадкової величини записується таким способом:

(           1          -ix-af2a2

fx) -   ,        е v    /;

л/2ла

де a, о — параметри розподілу; х — розмір втрат;

f(x) — щільність розподілу імовірності втрат х. Інтегральна функція розподілу визначається таким чи-ном:

F(x) - \f(r)dr

де f— функція щільності розподілу імовірності.

На рис. 3.3 показано також апроксимацію дискретної за-лежності “імовірність — втрати”, побудовану в інтегральній формі, нормальною функцією розподілу

Іншим типом розподілу імовірності втрат, що часто зустрічається в теорії природних і техногенних процесів, є роз-поділ Больцмана (експонентна), що має такий вид:

\Хе~ хпри  х> 0

[0      при х<0 .

Інтегральна функція розподілу імовірності має при цьому такий вигляд:

F(x) = 1 - е_Яї.

Третім, характерним в основному для природних ризиків, фізичним розподілом є розподіл Парето (самоподібний роз-поділ). Функція щільності імовірності розподілу втрат при цьому убуває за статечним законом:

\Х х1+х при х>1

J (х) = )

0      при х< 1 .

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

Інтегральна функція розподілу імовірності Парето має та-кий вигляд:

1 -1 хх при X > 1 F(x) = <

{ 0      при х < 1

У теорії ймовірностей доведено: функція розподілу суми великого числа незалежних випадкових величин близька до нормального розподілу за умови, що сукупність випадкових величин має кінцеві моменти першого і другого порядків. Це твердження зветься центральною граничною теоремою. Більшість ризиків виникає саме як результат дії великого чис-ла незалежних випадкових факторів і тому можуть бути опи-сані нормальним розподілом. Даній умові задовольняють відмови й аварії технічних систем, утрати на фінансовому рин-ку, ризики збитку життя і здоров’я та ін.

Самоподібний розподіл характерний для більшості при-родних катастроф, таких як землетруси і повені. Больцма-новський розподіл є проміжним типом між попередніми дво-ма.

3 трьох описаних розподілів тільки самоподібний не має кінцевих центральних моментів першого і другого порядків.

Як середній рівень ризику може бути використане матема-тичне очікування випадкової величини. Якщо функція не має моментів, то замість математичного очікування використову-ють медіану розподілу.

Як граничний рівень ризику, що був визначений як макси-мально прийнятний розмір утрат, може застосовуватися кван-тиль розподілу. Квантиль — це таке значення випадкової вели-чини, яке може бути перевищене лише з імовірністю, меншою від заданої.

Квантиль порядку визначається як корінь рівняння:

F(xa) = 1 - a,

де ха — квантиль порядку a;

F — інтегральна функція розподілу.

За своїм змістом квантиль визначає такий поріг витрат, що буде перевищений з імовірністю (1 - ос) . Для цілей оцінки максимальної величини втрат доцільно використовувати 95%, 99% чи навіть 99,9% квантилі, що відповідає імовірності пере-вищення максимально прийнятного рівня витрат з частотою відповідно один раз у 20, 100 і 10 000 років.