3.4.2. Обґрунтування зростання очікуваної ефективності при зменшенні ступеня невизначеності


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 

Загрузка...

Нехай М | Ьу((й) |2 < °° i, j; a,- > 0 і, х = {х: Ax < b, х > 0} не-пуста та обмежена множина; коефіцієнти матриці В(ш) мають густину розподілу, причому коефіцієнт Ьц{ій) розподілений незалежно щодо сукупності інших коефіцієнтів матриці S(w). Тоді Ф(є') > Ф(є) при е' < е, якщо Хі(е) > 0 та

0 < Pk < 1 ,     (3.10)

де k = і[х(є), ю];

і(х, w) визначається рівністю

а; 1(ж,а))[^((й> є)х]і(х,т) = тпіп a,"1 [5(w, е)х]{.

Доведення. Поряд з попередньою задачею розглянемо до-поміжну задачу

g(x, у, е, е') = М гпіп а,-_1[5(ю, е)х + Ь'(ю, е')у ],- —> max,

(х,у)є Y = \х,у):Ах + a y<b,x,y> 0j

де a1 — /-тий стовпчик матриці А, а 6г((0, е') відрізняється від /-того стовпчика матриці S(w, е) лише одним &-тим елемен-том, який дорівнює 6(w, е').

Нехай (х(е, е'), у(е, е')) = arg max g(x, у, е, е'). Зазначимо, що множина Y, як і множина Х, є непустою та обмеженою, а от-же, Arg max g(x, у, е, е') Ф Ш

Доведення розіб’ємо на етапи. Доведемо спочатку, що

g(x, (е, е'),у(е, е'), е, е') > Ф(є),          (3.11)

причому при виконанні (3.10) має місце строга нерівність. Після цього доведемо, що

Х/(є, е') = 0.    (3.12)

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

Легко бачити, що з (3.12) випливає рівність g(x, (е, е´), у(е, е´), е, е´) > Ф(е´), яка разом з (3.11) доводить твердження теореми.

Доведемо нерівність (3.11).

Розглянемо функцію

^(у) = max g(x, у, е, е´),

де XY = \х : (х, у) є Y\ при малому у.

Оцінимо *¥(у) - Ч'(О) [зазначимо що Y(0) = f(x(e), е)]. Для цього перетворимо обидві задачі до вигляду, зручного для ви-користання маргінальних властивостей. Розглянемо задачу: знайти такий детермінований вектор х та таку A — вимірну функцію, щоб

Mz(oo) —> max, S(w, е)х > аг(оо).   (3.13)

Згідно з припущеними щодо множини Х Arg max (3.13) Ф Ø Якщо [х(е), z((0, е)] = arg max (3.13), TO З імовірністю 1

г(со, е) = тгп а,-_1[5(ю, є)х(є)]{,      (3.14)

звідки випливають еквівалентності (3.7) та (3.13). Для оцінки Т(г/) сформулюємо задачу:

Мг(со) W—> max, В(ш, е)х + Ь´(ш, е´)у > аг(со)       (3.15) Очевидно, що

^(у) = Мг(а>, у, е, е´), де (х(у, е, е´), z( у, е, е´)) = arg max и(ш)єЬ2. Двоїста задача до задачі (3.13) має вигляд Ах + а'у< b,x,y> 0,Z(CO)E L2.

Потім слід знайти и(ш) і детермінований вектор v, щоб

(b, v) —>тіп.  (3.16)

Тоді

МВТ(ш, є)и(ш) < Ату,           (3.17)

Припущення теореми, вигляд прямої (3.13) та двоїстої за-

дачі забезпечують виконання співвідношень двоїстості, умов оптимальності та маргінальних співвідношень. Зокрема, з (3.16) та ос,- > 0 випливає обмеженість допустимої множини за-дач (3.14)—(3.16) за нормою простору L2. Згідно з умовами оп-тимальності та маргінальними властивостями стохастичних оптимальних оцінок дістанемо:

Т(у) = Т(0) + у {М[Ь1(ш, є'),и((й, е)] + [а1,у(є)]} + о(у), (3.18)

де [и(ш, є),у(є)] arg max (3.12) - (3.14). Використовуючи співвідношення двоїстості, здобудемо:

х¥{х(є), [MB г(со, є)и(ш, е) - Ату(є)]} = 0.

3 (3.13) та останнього співвідношення випливає, що

М[Ь(ш, е'), и(ш, е)] + al,v(e) =

=(е - є')[МЬ((й)Мщ((й, е) - МЬ((й)щ((й, е)].

Таким чином, знак Т(г/) - Т(0) залежить від знаку вели-чини w = МЬ((й)Мщ((й, е) - МЬ((й)щ((й, е). Перетворимо w. Для цього з’ясуємо просту, але корисну властивість: з події

a,{S(w, е)х(е)]і < а,-»[5(а>,є)х(є)]Г , (3.19)

випливає подія

и,»((0, е) = 0.  (3.20)

Дійсно, з (3.10), (3.15) маємо

г(со, е) < a,»"1[S((o, є)х(є)],» .

Враховуючи співвідношення

[и((й,є), 5(w, є)х(є) - осг(ю, е)] = 0 дістанемо (3.16).

Розглянемо тепер подію

щл[В((д, e)x(e)]k < min а,-_1[5(ю, є)х(є)],-, (3.21)

де і Ф k.

Зазначимо, що імовірність досягнення рівності в (3.17), згідно з припущеннями теореми, дорівнює нулю.

Отже, з імовірністю 1 буде виконуватись нерівність

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

щл[В((д, є)х(є)]іі < a,_1[S(w, е)х(е)]і,

де і Ф k, або хоча б для одного і Ф k нерівність протилежно-го змісту.

Звідси, а також з властивості (3.15) - (3.16) і співвідно-шень (3.14) дістанемо, що імовірністю 1 функція щ((й, е) прий-має значення 0 або 1 / щ. Очевидно, що у випадку, коли (3.21) не виконується, w = 0. Визначимо знак w, якщо (3.6) вико-нується. Очевидно, що

w = M6(w)ai"1P(^ = г[х(є),ю)] + щхМ(Ь(№і)/к =

=i[x(e),(o)]P(k = і(х(є),(й)],

а отже,

sin gw = sin g (М(Ь(ш) / k = і[х(є),(й]).

Доведемо, що

Mb(m) > M{b(m) / [k = і[х(є),(й]}.    (3.22)

3 виразу (3.17) випливає, що подія {w : k = г(х(е), ю)} еквівалентна події, яка полягає у виконанні нерівності

Ь(со)<£ =—-\тіпаі   Е^,,(й))х, _ ак   2^t/(u))x/~(^~є)ак  МЬ{ОЇ)ХІ{Е)

(3.23)

3 припущень теореми, вигляду випадкової величини Ь, та з леми, яка буде доведена нижче, випливає співвідношення. Та-ким чином, при виконанні нерівності w > 0 використовуєм наступну нерівність:

^(у) = max g(x, у, е, е') < max gipc, у, е, е'),       (3.24)

де х є Ху; (х, у)є X, а також співвідношення Т(0) = f[x(e), е] = Ф(є)   і дістанемо доведення нерівності (3.22).

Доведемо рівність (3.28). Очевидно, що

Уі(є, е') > 0.    (3.25)

В іншому разі буде спостерігатись протиріччя з (3.7) та (3.6).

Сформулюємо задачу, для якої, як і для (3.11), виконують-ся співвідношення двоїстості:

Мг(со) —> max, 5(w, е)х + bl(m, е')у > аг (w)

Ax + dy <b, x, y>0.     (3.26)

3 її допомогою зручно досліджувати задачу

g(x, у, е, е') —> max, (х, у),    (3.27)

оскільки max g(x, у, е, е') = Мг(со, е, е'), де z(w, е, е') — компо-нента розв’язку задачі (3.22). Формула (3.23) еквівалентна у тому розумінні, що множини розв’язків збігаються за компо-нентами х, у.

3 нерівності (3.21) та співвідношень двоїстості для задачі (3.22) випливає, що

М[6г((о, є'),и(ш, е, е')) + (а\у(є, е')] = 0,       (3.28)

де [u(w, е, е'), у(є, е')] — розв’язок двоїстої задачі (3.22). Використовуючи (3.24) та перетворення (3.2), здобудемо

М[6г((о, е'), и(ш, е, е')] + [а1, у(є, е')] =

=(е'- є)\МЬ((й)Мщ((й, е, е') - МЬ((й)щ((й, е, е')].        (3.29) Якщо

0 < Р[г(х(е, е'), ю]= k) < 1,    (3.30)

то аналогічно визначенню знака w, на підставі співвідношень двоїстості для задачі (3.22) і твердження леми, можна з’ясува-ти, що МЬ((й)Мщ((й, е, е') > МЬ((й)щ((й, е, е'), а отже, вираз (3.25) для е' < е буде менший від нуля. Звідси та з умов допов-нюючої нежорсткості для задачі (3.22) випливає рівність (3.31).

Розглянемо два випадки.

Нехай

Р(г[х(е, е'), ю]= k = 0.            (3.31)

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

 

Тоді

maxg(x,y,e,e ) - тахМ тіп(хі

іФк

 

X by (ro, e)Xj + bu (ro, є)у

j

 

 

maxMmin(xi   ^Jbij{(a)x t + Ьа(№І)(х + y)

i*k

Звідси випливає, що серед розвязків задачі (3.27) існує та-кий звязок, який відображається рівнянням

maxg(x, y, е, е') =

=g[xl(e, е'),..., Хіл(е, е'), 0, Xj+i(e, е'),...,хп(е, е'),у(е, е'),е, е'] =

=тах М тіп [5(го, e')x]{ = Ф(є')-Нехай

Р(і[х(є, е'), го]= k = 1.

хєХ      (3.32)

Тоді

max g(x, у, е, еґ) = max Мщл (L by (ro, e)Xj + + Ьц (ro, е)у) = тахМщх (ZxjMb^ia) + (хі + у)МЬц (ro)).

Отже, рівність (3.29) справджується.

Для доведення теореми залишилось довести лему.

Доведення допоміжного твердження

Нехай ^, С, - незалежно розподілені випадкові величини, які мають густину розподілу й 0 < Р(Ь, < Q < 1. Тоді М(^ < g) < М^.

Д о в е д е н н я . Безпосередньо з визначення умовного ма-тематичного сподівання, незалежності Ь, та С, й існування для них густин розподілів дістанемо

M(£,l<s) = Р-1(£ < С)Я xh^x)h^y)dxdy=

х<у      (3.33)

= Р_1(^ < C)J h^{y) [} xh^(x)dx] dy.

Неважко впевнитись, що для Щ(у) = Р(Ь, < у) > 0 справ-

джується нерівність M(^rq<v) < у , а для 1 - Щ(у) = Р(^>у) > 0

-  нерівність М(^/| < ^) > у.  Отже, для 0<Щ(у)<1  маємо

M^/^y) < М(Ь,/ ^>у)     і   М^ = Р(^<у)М(^д<2/) + (1-Р(^<у))

Або     z/

I xh^(x)dx < Щ(у)М£,.            (3.34)

—оо

Якщо для всіх у

0<Щ(у)<1,      (3.35)

то, використовуючи (32) у передостанньому співвідношенні, здобудемо

do

М^Р л(£, < Q Я xh^(x)h^(y)dxdy = ML, х<у

Розглянемо випадки, коли (32) не виконується, тобто існують числа a < b такі, що

Ht,(x) =0 при х< а; Щ(х) = 1 при х > b та

(3.36) О < Щ(х) < 1       х є (а,й),

або існує b

Щ(х) = 1 при х > b та 0 < Щ(х) < 1 при х<Ь,    (3.37) або a

Щ(х) = 0 ПРИ х < a та 0 < Щ(х) < 1 при х > а.     (3.38)

Нехай має місце. Запишемо інтеграл у вигляді

a     Ь     ~

М(£/|<?)= J+J+J

Оскільки для х < а та х > b виконується рівність Щ(х)=0,

a          b      °°

то   J"=0, aJ+J"  можна оцінити за допомогою нерівності:

 

 ь

M

P(^<Qla     '

 

(3.39)

 

.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

Інтеграл в (3.37) збігається з Р (Ь, < Q - Р(^ > Ь), що й до-водить лему для випадку (3.33). Доведення для (3.34) та (3.35) повністю аналогічне випадку (3.33).

3 леми випливає доведення теореми.

Розглянемо задачу.

M(w) —> max, В(ш)х + 6г((0, е)у > аг(со) м.в., x,z(m)

Ax + a1 у <b, х, у> 0.

Якщо виконуються припущення теореми, то, використо-вуючи маргінальні властивості задачі двохетапного стохастич-ного програмування, а також міркування, аналогічні тим, які були проведені при доведенні теореми, доходимо висновку, що оптимальне значення функціонала попередньої задачі при збільшенні у збільшується на величину

у{\ - є)(МЬіі1(ш)Мщ*(т) ~ Л^^/((й)^*((й)) =

= у{\ - є)соу(Ьіі1(ш)щ*(т))     (3.40)

з точністю до нескінченно малої більш високого порядку, ніж у, де cov(^, Q = =Mt^A'(z - М^С,, де (и*(ю), v*) — розв’язок задачі, двоїстої до задачі (39). Аналогічно доведенню теореми можна показати, що СОУ (6й((о)%*(со)) > 0

прих* > 0.

Таким чином, величина коваріації коефіцієнта питомого випуску та оцінки відповідного інгредієнта має досить наоч-ний зміст. Вона показує, наскільки збільшиться в середньому ефективність системи при появі технології, в якій питомий ви-пуск зазначеного інгредієнта k має менший розкид.

Роль коефіцієнта е у рівності (3.39) очевидна. Чим менше є, тобто чим менший розкид має коефіцієнт у “конкуруючій” технології, тим більший є приріст ефективності системи.

Аналогічні оцінки можуть бути корисними при обгрунту-ванні ефективності витрат, спрямованих на з’ясування пер-винної інформації. Отримані результати можна перенести на випадок, коли змінюються всі коефіцієнти, тобто коли розгля-дається перетворення 5(w, е) = єВ(ш) + (1 - e)MS(w) або коли подібному перетворенню підпорядкована лише частина ко-ефіцієнтів При цьому можливе послаблення деяких припущень.