2.5.2. Статистичні методи


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 

Загрузка...

Статистичний метод полягає у вивченні статистики втрат і прибутку, що мали місце на даному чи аналогічному підприємстві, з метою визначення імовірності події, установ-лення величини ризику. Імовірність означає можливість одер-жання певного результату.

Наприклад, імовірність успішного просування нового то-вару на ринку протягом року становить 3Д> а неуспіх — У4. Ве-личина ризику вимірюється двома показниками: середнім очікуваним значенням і мінливістю можливого результату. Середнє очікуване значення пов’язане з невизначеністю ситу-ації. Воно виражається у вигляді середньозваженої величини всіх можливих результатів Е(х), де імовірність кожного ре-зультату А використовується як частота чи вага, що відповідає значенням Х. У загальному вигляді це можна записати так:

Е(х) = АІХІ + А2Х2 + ...+ АnXn .

Припустимо, що при просуванні нового товару захід А з 200 випадків давав прибуток 20 тис. грн з кожної одиниці то-вару в 90 випадках (імовірність 90:200=0,45), прибуток 25 тис. грн у 60 випадках (імовірність 60:200=0,30) і прибуток 30 тис. грн у 50 випадках (імовірність 50:200=0,25). Середнє очікува-не значення прибутку становитиме:

20,0 0,45 + 25,0x30 + 30x0,25 = 24 (тис. грн)

Здійснення заходу Б з 200 випадків давало прибуток 19 тис. грн у 85 випадках, прибуток 24 тис. грн — у 60 випадках, 31 тис. грн — у 50 випадках. При заході Б середній очікуваний прибуток становитиме: 19,0х(85:200) + 24,0х(60:200) + 31,0х(50:200) =23,0 (тис. грн)

Порівнюючи величини очікуваного прибутку при вкла-денні капіталу в заходи А і Б, можна зробити в висновок, що величина одержуваного прибутку при заході А становить 20-30,0 тис. грн, а середня величина — 24 тис. грн; у заході Б величина одержуваного прибутку становить 19,0-31, 0 тис. грн, а середня — 23,0 тис. грн.

Середня величина являє собою узагальнену кількісну ха-рактеристику і за нею не можна прийняти рішення на користь якого-небудь варіанта вкладення капіталу. Для остаточного рішення необхідно вимірити розмах чи мінливість показників, тобто визначити мінливість можливого результату.

Особливий інтерес становить кількісне оцінювання еко-номічного ризику за допомогою методів математичної статис-тики. Головні інструменти цього методу оцінювання:

•          імовірність появи випадкової величини (Pi);

•          математичне очікування (М) чи середнє значення (X ) досліджуваної випадкової величини (наслідків якої-не-будь дії, наприклад доходу, прибутку і т.п.);

•          дисперсія (D=a2);

•          стандартне (середньоквадратичне) відхилення (а);

•          коефіцієнт варіації (v);

•          розподіл імовірності досліджуваної випадкової величи-ни.

Для прийняття рішення потрібно знати величину (ступінь) ризику, що виміряється двома критеріями:

1)         середнє очікуване значення (математичне очікування);

2)         коливання (мінливість) можливого результату. Середнє очікуване значення ( X = М) — це середньозва-

жене значення величини події, що пов’язана з невизначеною ситуацією:

                    n

M - X - X XiPi,

i=\

де Хі — значення випадкової величини.

Середнє очікуване значення вимірює результат, який ми очікуємо в середньому.

Середня величина (X) являє собою узагальнену кількісну характеристику і не дозволяє прийняти рішення на користь якого-небудь варіанту вкладення капіталу.

Приклад. Якщо відомо, що при вкладенні капіталу в захід А із 120 випадків прибуток у 12,5 тис. грн був отриманий у 48 випадках

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

(імовірність 0,4), прибуток у 20 тис. грн — у 42 випадках (імовірність 0,35) і прибуток у 12 тис. грн — у 30 випадках (імовірність 0,25), то середнє очікуване значення виразиться в 15 тис. грн:

                    n

M - X - ^ZlXiPi ={(12,5 х 0,4) + (20 х 0,35) + (12 х 0,25)}=15 000. i=\

Аналогічно буде знайдено, що при вкладенні капіталу в захід Б середній прибуток становить 20 тис. грн:

{(15 х 0,3)+(20 х 0,5) + (27,5 х 0,2)}=20 000. Порівнюючи дві суми очікуваного прибутку при вкладенні капіталу в заходи А і Б, можна зробити висновок, що при вкладенні в захід А величина одержуваного прибутку становить 12,5-20 тис. грн, а середня — 15 тис. грн; при вкладенні капіталу в захід Б величи-на одержуваного прибутку становить 15-27,5 тис. грн, а середня — 20 тис. грн.

Однак для прийняття рішення необхідно так само виміря-ти коливання показників, тобто визначити міру мінливості можливого результату.

Коливання можливого результату являє собою міру відхилення очікуваного значення від середньої величини.

Для цього на практиці звичайно застосовують два близько пов’язані критерії: дисперсію і середньоквадратичне відхилення.

Дисперсія середнє зважене з квадратів відхилень дійсних результатів від середніх очікуваних.

D(X) = X pi (xi — X) .

Середньоквадратичне відхилення — це корінь квадратний з дисперсії. Він є іменованою величиною і вказується в тих самих одиницях, у яких вимірюється; ознака, що варіює:

(Т = ^JD(X) _

Дисперсія і середньоквадратичне відхилення служать мірами абсолютного коливання і вимірюються в тих же фізич-них одиницях, у яких вимірюється ознака, що варіює. Для аналізу звичайно використовується коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації являє собою відношення середньоква-дратичного відхилення до середньої арифметичної і показує міру відхилення отриманих знань:

у=а/M   чи   у=а/Х.

Коефіцієнт варіації — відносна величина. Тому на його розмір не впливають абсолютні значення досліджуваного по-казника.

За допомогою коефіцієнта варіації можна порівнювати навіть коливання ознак, виражених у різних одиницях виміру. Коефіцієнт варіації може змінюватися від 0 до 100%. Чим більший коефіцієнт, тим сильніше коливання.

В економічній статистиці встановлена така оцінка різних значень коефіцієнта варіації:

до 10% — слабке коливання;

до 10-25% — помірне;

понад 25% — високе.

Відповідно, чим вище коливання, тим більший ризик.

Приклад. Для наочності розглянемо задачу: “Оцінка ризику за господарськими контрактами”.

Підприємству необхідно оцінити ризик того, що покупець опла-тить товар вчасно при укладанні договору про постачання продукції. Вихідні дані для аналізу зведені в табл. 2.8, при цьому угоди з даним партнером укладались протягом 10 місяців.

Таблиця 2.8

Вихідні дані

Місяці I       II   |   III   |   IV   |   V   |   VI   | VII | VIII |   IX   |   X

Термін                                                                                                                                 

оплати            А         70        39        58        75        80        120      70        42        50        80

в днях                                                                                                                      

            В         50        63        32        89        61        45        31        51        55        50

Визначити термін оплати рахунка в аналізованому місяці. На-самперед визначимо середньозважений термін оплати рахунка за формулою

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

R = R x P.

де R — середньозважений термін оплати; R{ — термін оплати за місяцями; Р{ — імовірність настання г'-того значення. Р{ визначаються за формулою:

Pt= K/ п ,

де К{ — кількість значень ознаки, що повторилися; п — загальна кількість подій (табл. 2.9).

Таблиця 2.9 Імовірність настання і-того значення

 

і           Місяці

 

            I           II         III        IV        V         VI        VII       VIII     IX        X

Pi         A         0,2       0,1       0,1       0,1       0,2       0,1       -          0,1       0,1       -

 

            B         0,2       0,1       0,1       0,1       0,1       0,1       0,1       0,1       0,1       -

Підставляючи вихідні дані і підраховані імовірності у формулу R = Р{ х Р,-, визначаємо середньозважений термін оплати рахунка. Ризикованість даної угоди визначається за допомогою стандартного відхилення, тобто можливе відхилення як у гірший, так і в кращий бік очікуваного значення показника, що розраховується, від його се-реднього значення. Чим більша величина стандартного відхилення, тим більший розкид можливого результату, тим вищий підприємницький ризик у даній угоді:

D- ^J(R-R) 2xP i ,

де D — дисперсія.

Потім знайдемо a — середньоквадратичне відхилення як корінь квадратний з дисперсії. Підставивши в дані формули значення змінних, обчислимо, що:

DA= 499, аА= 22,3 дня; DB= 247,7, ав= 15,7 дня. З розрахованих значень стандартних відхилень можна зробити висновок, що укладення угод з фірмою В менш ризиковане, оскільки й середній термін оплати, і розкид результату для цієї фірми менші.

У випадку, якщо необхідно порівняти два варіанти угоди з різними очікуваними результатами і різним ризиком, особливий інтерес ста-новить показник, який називається коефіцієнтом варіації:

y=o/R, де RA = XR,- х Р{ = 68,4 = 68 днів; RB =2-R,- х Р{ = 52,7 = 53 днів; у — коефіцієнт варіації; и — стандартне відхилення; — очікуваний результат.

Одержаний показник дає характеристику ризику на оди-ницю очікуваного результату. Завдяки порівнянню ко-ефіцієнтів варіації двох проектів, вибирається проект із най-меншим коефіцієнтом.

У нашому прикладі уА = 0,326, а ув = 0,298. У даному ви-падку видно, що укладення угоди з фірмою В менш ризикова-не. Перевага статистичного методу— простота математичних розрахунків, а явний недолік — необхідність великої кількості вихідних даних, оскільки чим більший масив вихідних даних, тим точніший розрахунок.

За допомогою статистичного методу оцінки ризику можна оцінити не тільки ризик конкретної угоди, а й підприємства в цілому за певний проміжок часу. Доведемо це на прикладі.

Приклад. Підприємство “Отар” — невеликий виробник різних продуктів із сиру. Один із продуктів — сирна паста — поставляється в країни ближнього зарубіжжя. Генеральний директор повинен вирішити, скільки ящиків сирної пасти слід виробляти протягом місяця. Імовірності того, що попит на сирну пасту протягом місяця буде 6, 7, 8 чи 9 ящиків, рівні відповідно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Витрати на виробництво одного ящика дорівнюють 45 дол. Компанія продає ко-жен ящик за ціною 95 дол. Якщо ящик із сирною пастою не про-дається протягом місяця, то вона псується і компанія не одержує до-ходу. Скільки ящиків треба робити протягом місяця?

Розв’язання. Користуючись вихідними даними, будуємо матри-цю гри. Стратегіями гравця 1 (компанія “Смачний сир”) є різні по-

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

казники числа ящиків із сирною пастою, які йому, можливо, варто виробляти. Природно виступають величини попиту на аналогічне число ящиків.

Обчислимо, наприклад, показник прибутку, який одержить ви-робник, якщо він зробить 8 ящиків, а попит буде тільки на 7. Кожен ящик продається по 95 дол. Компанія продала 7, а виробила 8 ящиків. Отже, виторг дорівнюватиме 7 х 95, а витрати виробництва 8 ящиків дорівнюватимуть 8 х 45. Разом прибуток від зазначеного поєднання попиту та пропозиції дорівнюватиме: (7х95)-(8х х45)=305 дол. Аналогічно проводяться розрахунки при інших поєднаннях попиту та пропозиції.

У підсумку одержимо таку платіжну матрицю в грі з природою. Як бачимо, найбільший середній очікуваний прибуток дорівнює 352,5 дол. Він відповідає виробництву 8 ящиків.

На практиці найчастіше в подібних випадках рішення прийма-ються, виходячи з критерію максимізації середнього очікуваного прибутку чи мінімізації очікуваних витрат. Дотримуючись такого підходу, можна зупинитися на рекомендації виробляти 8 ящиків, і для більшості ОПР рекомендація була б обґрунтованою.

Однак, залучаючи додаткову інформацію у формі розрахунку середньоквадратичного відхилення як індексу ризику, ми можемо уточнити прийняте на основі максимуму прибутку чи мінімуму вит-рат рішення.

Згадаємо необхідні для наших досліджень формули теорії імовірностей:

дисперсія випадкової величини:

D(x) = ^pi(xi—X) ;

середньоквадратичне відхилення:

<у = TJD(X) ,

де D і X — відповідно символи дисперсії математичного очікування.

Проводячи відповідні обчислення для випадків вироб-ництва 6, 7, 8 і 9 ящиків, одержуємо:

6          ящиків

D(x) = (300 - 300)2 (0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,1) = 0;

a = 0;

у =о/ R = 0.

7          ящиків

D(;r) = 0,lx(255-340,5)2 + (0,3 + 0,5 +0,1) х (350-340,5)2 = = 812,5;

<7 = -^/812,5 =28,5;

Y         = о/ R = 28,5/340,5 = 0,08.

8          ящиків

D(x)=0,lx (210 - 352,5)2 + 0,3х (305 - 352,5)2 + (0,1 + 0,5)х х (305 - 352,5)2 = 4061,25;

<7 = л/4061,25 = 63,73;

Y         = о /R= 63,73/352,5 = 0,18.

9          ящиків

D(x) = 0,1 х (165 - 317)2 + 0,3 х (360 - 317)2 + 0,5 х (355 -- 317)2 + 0,1 х (450 - 317)2 = 5776;

<т =л!5776 =76;

Y         = о /R = 76/317=0,24.

3 представлених результатів розрахунків з урахуванням

отриманих  показників   ризиків     середньоквадратичних

відхилень — очевидно, що виробляти 9 ящиків за будь-яких обставинах недоцільно, тому що середній очікуваний прибу-ток дорівнює 317 — менше, ніж для 8 ящиків (352,5), а серед-ньоквадратичне відхилення (76) для 9 ящиків більше ана-логічного показника для 8 ящиків (63,73).

А от чи доцільне виробництво 8 ящиків порівняно з 7 і 6 не очевидно, тому що ризик при виробництві 8 ящиків (а = 63,73) більший, ніж при виробництві 7 ящиків (а = 28,5) і тим більше 6 ящиків, де a = 0. Вся інформація з урахуванням очікуваних прибутків і ризиків у наявності. Рішення повинен приймати генеральний директор компанії з урахуванням сво-

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

го досвіду, схильності до ризику і ступеня вірогідності показ-ників імовірностей попиту: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Автори, з огляду на всі приведені числові характеристики випадкової величини -прибутку, схиляються до рекомендації виробляти 7 ящиків (не 8, що випливає з максимізації прибутку без урахування ри-зику!). Пропонується зробити свій вибір.

Найбільше поширена точка зору, згідно з якою мірою ри-зику певного комерційного (фінансового) рішення чи операції слід вважати середньоквадратичне відхилення (позитивний квадратний корінь з дисперсії) значення показника ефектив-ності цього рішення чи операції.

Дійсно, оскільки ризик обумовлений недетермінованістю результату рішення (операції), то чим менший розкид (дис-персія) результату рішення, тим більше він передбачуваний, тобто менший ризик. Якщо варіація (дисперсія) результату дорівнює нулю, то ризик повністю відсутній.

Наприклад, в умовах стабільної економіки операції з дер-жавними цінними паперами вважаються безризиковими. Най-частіше показником ефективності фінансового рішення (опе-рації) є прибуток.

Розглянемо як ілюстрацію вибір певною особою одного з двох варіантів інвестицій в умовах ризику. Припустимо, є два проекти А і В, у які зазначена особа може вкласти кошти. Про-ект A у визначений момент у майбутньому забезпечує випад-кову величину прибутку. Припустимо, що її середнє очікуване значення (математичне очікування), дорівнює Ха з дис-персією аа . Для проекту В ці числові характеристики при-бутку як випадкової величини передбачаються рівними відповідно Хь з дисперсією аь2 . Середньоквадратичні відхи-

лення дорівнюють відповідно &а іОь . Можливі такі випад-ки:

a)         Ха = Хь,(та2 < <Jb2, слід обрати проект А;

b)         Ха > Хь, о 2 < аь2, слід обрати проект А;

c)         Xa>Xb,<7 2 = oh2 , слід обрати проект А;

d)         Xa > Xb,<Ja2 > ob2, слід обрати проект А;

e)         Xa < Xb,<Ja2 < ob2 , слід обрати проект А.

В останніх двох випадках рішення про вибір проекту А чи В залежить від ставлення до ризику особи, що приймає рішен-ня (ОПР). Зокрема, у випадку d проект А забезпечує вищий середній прибуток, однак він і більш ризикований. Вибір при цьому визначається тим, якою додатковою величиною серед-нього прибутку компенсується для ОПР задане збільшення ризику. У випадку для проекту А ризик менший, але й очіку-ваний прибуток менший.

Приклад. Розглянемо два варіанти виробництва нових товарів. З огляду на невизначеність ситуації з реалізацією товарів, керівництво проаналізувало можливі доходи від реалізації проектів у різних ситуаціях (песимістична, найбільш імовірна, оптимістич-на), а також імовірність настання зазначених ситуацій.

Результати аналізу, що є вихідними даними для розв’язання за-дачі, подані в табл. 2.10.

Таблиця 2.10

Вихідні дані

 

Характеристика ситуації      Можливий дохід       Імовірність настання ситуації

Проекгп À Песимістична Найбільш імовірна Оптимістична      100

333,3 500        0,2 0,6 0,2

Проект Б Песимістична Найбільш імовірна Оптимістична         80 300 600      0,25 0,50 0,25

Зауважимо, що у випадку оптимістичної ситуації проект Б за-безпечить 600 одиниць доходу. При цьому імовірність її настання 0,25. Проект А забезпечить 500 одиниць доходу з імовірністю 0,20,

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

тобто при орієнтації на максимальний результат проект Б є кращим. 3 іншого боку, у випадку песимістичної ситуації проект Б забезпе-чить 80 одиниць доходу з імовірністю її настання 0,25, а проект А — 100 одиниць з імовірністю настання 0,20. Тобто при настанні пе-симістичної ситуації кращим є проект А. Неважко переконається, що ХА = ХВ = 320, тому що

ХА = 100 х 0,2 + 333,3 х 0,6 + 500 х 0,2 = 320

ХВ = 80 х 0,25 + 300 х 0,5 + 600 х 0,25 = 320

Середньоквадратичне відхилення аA = 127, аB= 185. Таким чи-ном, при однакових середніх очікуваних доходах коливання можли-вого результату в проекті Б більше, тобто ризик проекту А нижчий, ніж проекту Б.

Однак статистичним методом неможливо користуватися, якщо досліджуваний об’єкт -- нове недавно зареєстроване підприємство. Відзначимо, що дисперсія сигналізує про на-явність ризику, але при цьому приховує напрям відхилення від очікуваного значення. Шдприємцю часто потрібно, знати, що найбільш імовірно: втрати чи прибуток у результаті здійснення угоди.