7.4.3. Методи знаходження оптимальних стратегій


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 

Загрузка...

При аналізі платіжної матриці можливі два випадки.

Випадок 1. Платіжна матриця має сідлову точку. Оскільки ми прийняли умову максимальної розумності гравців, то саме ці рядок і стовпець і є оптимальними стра-тегіями гравців.

Можна показати, що за умови використання одним із гравців оптимальної стратегії іншому гравцю невигідно відступати від своєї оптимальної стратегії, тобто стратегії, що

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

відповідають сідловій точці, є найбільш вигідними для обох гравців. Метод вибору стратегій на основі сідлової точки нази-вається “принципом мінімаксу”, який інтерпретується так: чи-ни так, щоб при найгіршій для тебе поведінці супротивника одержати максимальний виграш.

Наприклад, у випадку матриці, представленої таблицею, оптимальними для розумних гравців будуть стратегії А2 і В3, тому що вони відповідають сідловій точці.

Випадок 2. Платіжна матриця не має сідлової точки. Це, звичайно, більш поширений випадок. У цій ситуації теорія пропонує послуговуватися так званими змішаними стра-тегіями, тобто тими стратегіями, у яких випадковим чином чергуються особисті стратегії.

Цей метод широко використовується на інтуїтивному рівні. Наприклад, продавець, не знаючи, який з товарів матиме попит, прагне по можливості урізноманітнити їх асортимент. Оптимальний портфель цінних паперів складають з паперів різних видів. Навіть якщо ви заблукали в лісі і не знаєте точ-но, що робити, інструкції з виживання в екстремальних ситу-аціях рекомендують, з-поміж інших заходів, блукати навколо цього місця кругами в надії, що вас знайдуть, але не йти в невідомому напрямку, тому що цей напрямок практично на-певно буде не оптимальним, і ви ризикуєте далеко відійти від місця пошуку. Це теж один з методів диверсифікації у про-сторі.

Точний метод знаходження оптимальної змішаної стра-тегії зводиться до задачі лінійного програмування і, хоча й не є дуже складним, досить трудомісткий. Існують спеціальні комп’ютерні програми, що реалізують цей метод. Через обме-женість місця тут він не розглядатиметься.

Однак можна розглянути принцип знаходження рішень у змішаних стратегіях для окремого, але досить поширеного на практиці випадку.

Якщо в матричній грі відсутня сідлова точка в чистих стратегіях, то знаходять верхню і нижню ціни гри. Вони пока-зують, як вже наголошувалося, що гравець А не отримає виг-рашу, більшого за верхню ціну гри, і що гравцю В гарантова-ний виграш, не менший від нижньої ціни гри. Порушимо пи-тання: чи не покращиться результат гравця А, якщо інфор-мація про дії протилежної сторони буде відсутня, але гравець багаторазово застосовуватиме чисті стратегії випадковим чи-ном з певною ймовірністю?

Виявляється, що у такій ситуації можна одержувати виг-раші, у середньому більші від нижньої ціни гри, але менші від верхньої.

Змішана стратегія гравця — це повний набір застосування його чистих стратегій при багаторазовому повторенні гри в тих самих умовах із заданими ймовірностями. Перелічимо умови застосування змішаних стратегій:

•          гра без сідлової точки;

•          гравці використовують випадкове поєднання чистих стратегій із заданими ймовірностями;

•          гра багаторазово повторюється в подібних умовах;

•          при кожному з ходів жоден гравець не інформований про вибір стратегії іншим гравцем;

•          допускається осереднення результатів ігор.

Використовуються такі позначення змішаних стратегій.

Для гравця А змішана стратегія, що полягає в застосуванні чи-стих стратегій А1, А2, ... Ат, з відповідними ймовірностями р1 , р2, рт позначається матрицею

S1 =

 

A1A2,..., Am P1P2,..., Pm

 

за умови, що ^/"І-1 РІ=1;РІ=0. Для гравця В

в1в2,...,вп

S2

q1q2,...,q„

за умови, що Qj > 0; де Qj — ймовірність застосування чис-тої стратегії Bj.

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

В окремому випадку, колир,=1, для гравця А маємо чис-ту стратегію

АХА2,..., At,...Aj

S\

 

 

0   0,...,   1,...,0

 

Чисті стратегії гравця є єдино можливими неспільними подіями. У матричній грі, знаючи платіжну матрицю, можна визначити при заданих векторах р і q середній виграш (мате-матичне очікування) гравця А:

М(А, р, q^)=^Ti-x ІГ^йі-р^

це р і q — вектори відповідних ймовірностей;

Pi і q{ — компоненти цих векторів.

Шляхом застосування своїх змішаних стратегій гравець A прагне максимально збільшити свій середній виграш, а гра-вець В— довести цей ефект до мінімально можливого значен-ня. Гравець А прагне досягти виконання умови:

Р = minqmaxpM(A,p,q).

Гравець В домагається виконання іншої умови:

a = maxpminqM(A,p,q).

Позначимо р° івектори, що відповідають оптимальним змішаним стратегіям гравців А і В, тобто такі вектори р0 і q°, за яких буде виконана рівність:

MinqmaxpM(A,p,q)=maxpminqM(A,p,q)=M(A,p°,q0)

Ціна гри у — середній виграш гравця А при використанні обома гравцями змішаних стратегій. Отже, розв’язком матрич-ної гри є:

1)         р°— оптимальна змішана стратегія гравця А;

2)         q°— оптимальна змішана стратегія гравця В;

3)         у — ціна гри.

Змішані стратегії будуть оптимальними (р°, q°), якщо во-ни утворюють сідлову точку для функції М (А, р°, q°), тобто

М(А, p°q° ) М(А, p°,q°)

Наведемо без доведення основну теорему ігор.

Для матричної гри з будь-якою матрицею А величини

а= тахр minq М(А, р, q) і Р = minqmaxp М(А, р, q) існують, вони рівні між собою і дорівнюють ціні гри: а = [3 = у.

Слід зазначити, що при виборі оптимальних стратегій гравцю А завжди буде гарантований середній виграш, не мен-ший, ніж ціна гри, за будь-якої фіксованої стратегії гравця В (а для гравця В навпаки).

Активними стратегіями гравців А і В називають стратегії, що входять до складу оптимальних змішаних стратегій відповідних гравців з імовірностями, відмінними від нуля. От-же, до складу оптимальних змішаних стратегій гравців можуть входити не всі задані їхні стратегії апріорі.

Розв’язати гру — означає знайти ціну гри й оптимальні стратегії гравців. Розгляд методів знаходження оптимальних змішаних стратегій для матричних ігор почнемо з най-простішої і описуваної матрицею 2x2. Ігри із сідловою точкою спеціально не розглядатимуться. Якщо отримана сідлова точ-ка, то це значить, що є невигідні стратегії, від яких слід відмов-лятися. У разі відсутності сідлової точки можна одержати дві оптимальні змішані стратегії. Як уже зазначалося, ці змішані стратегії записуються так:

 

S = АхАг ВхВг                       5*о = В,Вп

2             12

Ч\Чг

Отже, є платіжна матриця

A =

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

При цьому Аііхрі+ а2хр2= Т>

Al2X Pl+a22X Р2 = ї>

pt+ p2=U

Апхрі+ й2і х(1 -р\) = ап хР\ + Й22 х(1 - рх)

Ап Xpt+ «21  ~~ й21 ХРі  = «12 Xpt+ й22  ~~ й22 Х Рі

звідки одержуємо оптимальні значення^Др1^

Р°1 = й22 ~~ й2і/йИ  + й22 ~~ ("й12 + й21)

Р°2 =1  ~~ Рі  = й11  ~~ а\-і/а\\  + й22 ~~ ("й12 + а2\)

Знаючи p°t р°2, знаходимо ціну гри у.