7.4. Оптимальна поведінка в умовах специфічних видів ризику 7.4.1. Пошук оптимальних рішень за допомогою чистих стратегій


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 

Загрузка...

Отже, задача пошуку оптимальних рішень для гравців за допомогою чистих стратегій.

Нехай гравець А розташовує m чистими стратегіями А1, А2,..., Аm. Гравець В розташовує n чистими стратегіями B1, B2, …,

Bn.

Гравець А може обрати будь-яку стратегію Д-, у відповідь на яку гравець В може обрати будь-яку стратегію Вy. Поєднан-ня цих стратегій приведе, до певного числового результату -платежу (сіу), що називають виграшем гравця A і відповідно програшем гравця В.

Програш становитиме (-а,у).

Матриця П =| йу | розміром тхп, платіжна матриця чи ма-триця гри наиведені в табл. 7.3.

Нехай гравець А обирає якусь стратегію Д-; тоді в найгіршому випадку (наприклад, якщо вибір стане відомим гравцю В) він одержить виграш, який дорівнюватиме тіпа~.

Передбачаючи таку можливість, гравець А повинен обрати таку стратегію, щоб максимізувати свій мінімальний виграш.

Таблиця 7.3

Платіжна матриця гри

 

Стратегія гравця À   

 

            В,-

 

            A1

 

            A2

 

            …

 

            An

 

            max

 

Стратегія гравця Â

В\        в2        …        в„        тіп

a11      a12      …        a1n      a1

a21      a22      …        a2n      a2

…        …        …        …        …

am1     am2     …        @тп    am

A         Р2        …        Р„       

 

Для цього знайдемо спочатку для гравця А в кожному ряд-ку число аi = minj aij, що вказує на мінімально гарантований ви-граш для гравця А, що застосовує стратегію Аi.

Далі знайдемо в кожнім стовпці число bj, = тахi аij, що вка-зує на максимально гарантований програш для В, що застосо-вує стратегію Bj.

Величина а = тахi (minj aij) — гарантований виграш гравця А (варіант “кращий з гірших”).

Величина а називається нижньою ціною гри, чи мак-симінним виграшем, або максимінною стратегією гравця А.

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

Гравець Д обираючи стратегію, виходить з такого принци-пу; при виборі певної стратегії Вр його програш не повинен пе-ревищити максимального зі значень елементів^'-того стовпця матриці, тобто повинен бути менший чи дорівнювати max а,ц.

Розглядаючи згодом цю множину max ац, для різних зна-чень^, гравець В, природно, обере таке значення^, при якому його максимальний програш b мінімізується.

Величина b = mirij (тах{ а^ називаеться верхньою ціною гри чи мінімаксним програшем або мінімаксною стратегією гравця В.

Тобто гравець В обирає стратегію “гіршу з кращих”. Завжди a < b. Принцип, відповідно до якого обирають ці стра-тегії, називається принципом максиміна для A і принципом мінімакса для В. Тоді при будь-якій стратегії, обираній грав-цем В, гравцю А забезпечується виграш не менше a, а для A при виборі ним мінімаксної стратегії забезпечується програш не більше Ь.

Якщо a = b, то гра називається грою із сідловою точкою, а загальне значення a = b = v називається ціною гри. Елемент ajoio у матриці таког гри е одночасно мінімальним у рядку іо, максимальним. у стовпці]о і називаеться сідловою точкою.

Сідловій точці відповідають оптимальні стратегії гравців, їхня сукупність є рішенням гри, що має таку властивість: якщо один із гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то для другого відхилення від його оптимальної стратегії не може бути вигідним.

Тоді оптимальним рішенням для обох гравців е вибір мак-симінног для А і мінімаксног для В стратегіг. Будь-яке відхи-лення не буде вигідним. Розглянемо алгоритм чистих стра-тегій на прикладі. Визначити нижню і верхню ціни для гри, за-даної платіжною матрицею (табл. 7.4).

Знайдемо мінімальні елементи в стовпцях.

Тоді a = max (3,4,2) = 4 нижня ціна гри.

Знайдемо максимальні елементи в рядках.

Тоді b = тіп(6,7,4) = 4 верхня ціна гри. Оскільки a = b = 4, то це гра із сідловою точкою. Величина v = 4 — ціна гри.

Таблиця 7.4

Платіжна матриця

 

 Bj       В\        Вг        В3       ОТШ Я;

A1       4          5          3          3

A2       6          7          4          4

A3       95        2          3          2

max bj  6          7          4         

Рішення полягає в тому, що гравець А повинен обрати стратегію А3, при цьому його виграш не меншим як 4. Гравець В повинен обрати стратегію В3, при цьому його програш не більшим як 4.

Легко помітити, що відхилення одного із гравців від опти-мальної стратегії приводить до зменшення виграшу (для грав-ця A) і збільшенню програшу (для гравця В).

Якщо гра не має сідлової точки, тобто а Ф Ь, застосування чистих стратегій не дає оптимального рішення і в цьому ви-падку застосовують змішані стратегії.

Приклад. Є платіжна матриця. Знайти сідлову точку. Розв’язання:

ai

0,3       0,6       0,8       0,3

0,9       0,4       0,2       0,2

0,7       0,5       0,4       0,4

0,9       0,6       0,8      

ґу =     0,4                  

[) =      0,6                  

а^        â                     

Сідлової точки немає, оптимального рішення немає.

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

Якщо гра не має сідлової точки, то застосування чистих стратегій не дає оптимального розв’язку. У цьому випадку за-стосовують змішані стратегії.