7.3.3. Графічний метод розв’язування ігор 2x2 і 2хп


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 

Загрузка...

Розв’язок гри (2x2) можна знайти графічно (рис. 7.2)

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

 

(В1)а11           **«»           М            ''            (В2)а22          

(В2)а12                       (В1)а21          

0 А1    Рис.7.2. Геометрична інте   А2 рпретація гри       W

X

На осі абсцис відкладемо відрізок одиничної довжини. Ліва точка Х=0 відповідає стратегії А1, а права — стратегії А2. Проміжні точки відповідають певним змішаним стратегіям, де Х1=1–Х, а Х2 =Х.

На кінцях відрізка проведемо перпендикуляри до осі аб-сцис, на яких відкладають виграші при відповідних чистих стратегіях. Якщо гравець В приймає стратегію В1, то виграші відповідають а11 і а12

Відкладемо ці точки на прямих А1 і А2. З’єднаємо точки прямої В1В1 і прямої В2В2. На перетині цих прямих вийде точ-ка М, що відповідає змішаній стратегії. Ординати точок, що ле-жать на ламаній В2МВ1 характеризують мінімальний виграш для гравця А при використанні будь-якої змішаної стратегії Х.

Дотримуючись принципу максиміна, одержимо, що опти-мальний розв’язок гри визначає М, у якій мінімальний виграш досягає максимуму. Їй відповідає на осі абсцис оптимальна

Розділ 7. ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ ІГОР В УМОВАХ РИЗИКУ

стратегія Х*, а ордината дорівнює ціні гри v. За ціною гри відразу знаходяться оптимальна стратегія для гравця В. Ламана В2МВ1 — нижня ціна гри:

{*        *

а11у1 +а21у2  —V У1+У2=1

Якщо матриця гри має сідлову точку, то одержимо такі різновиди графічного зображення гри (рис. 7.2-7.4).

0

 

Вг        М            „-"'   В1 Вг

В1                  

            Щ                                                                                               W   ь

            А1       W

X

А2

Рис. 7.3. Графічне зображення гри із сідловою точкою

Розв’язком для гравця А є чиста стратегія А2, а для гравця В — чиста стратегія А1. Нижньою ціною гри буде ламана В1МВ2. Максимальне значення ламаної досягається в точці В2 стратегії А2, тоді Х*=(0,1), У* = (1,0).

Гра має сідлову точку а22 = v, що дорівнює ціні гри.

Розглянемо інший випадок гри із сідловою точкою (див.рис.7.4).

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

 

Â1

Â2       ---""""                                       Х2      в2

0          X

А\                                                               л

Рис.7.4. Графічне зображення гри із сідловою точкою

Тут розв’язок гри відповідає точці В1 і залишається векто-рами Х*= (0,1), У*= (1,0).

Гра має сідлову точку а21 = v.

Стратегія В2 домінуюча і явно невигідна для гравця В.

Графічна інтерпретація дозволяє розв’язувати ігри з мат-рицею 2хр чи qx2.

Розглянемо алгоритм розв’язання гри графчним методом. Нехай задана матриця (2x2):

 

Ï

 

 

a11a12

a21a22

 

Розв’язок гри з матрицею (2x2) можна знайти графічно за допомогою таких побудов. На осі абсцис відкладемо відрізок, довжина якого дорівнює одиниці. Лівий кінець відрізка (точка х=0) відповідає стратегії А1, а правий — стратегії А2. Проміжні точки х відповідають певним змішаним стратегіям (х1, х2), де х1 = 1 — X, Х2 = X.

На кінцях обраного відрізка проведемо прямі, перпенди-кулярні осі абсцис, на них будемо відкладати виграш при відповідних чистих стратегіях.

Якщо гравець В застосовує стратегію В1, то виграш при ви-користанні чистих стратегій А1 і А2 становить відповідно а11 і а21. Відкладемо ці точки на прямих і з’єднаємо отримані точки прямої В1В1.

Якщо гравець А застосовує змішану стратегію, то його ви-грашу відповідає точка М, що лежить на цій прямій (рис.7.5).

 

0

Рис.7.5. Графічний розв’язок для гравця А

 

à12

Аналогічно можна побудувати пряму В2В2, що відповідає стратегії В2 гравця В (рис.7.6). Ламана В1КВ2 є нижньою ме-жею виграшу, одержуваного гравцем А. Точка К, у якій він максимальний, визначає ціну гри і її розв’язок.

Рис.7.6. Графічний розв’язок для гравців А і В

 

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

Для знаходження оптимальної стратегії гравця В скорис-таємося формулою

v=        ^1122-^12^21

a11+a22-a12-à21 Одержуємо значення y1 і y2, які дорівнюють:

y1=      '22-22  ;

а11+а22-а12-а21

.,                      11        21

У2 ~    .

а11 + а22-а12-а21

Можна розглянути задачу мінімізації верхньої межі вигра-шу для гравця В, помінявши місцями при розв’язанні гравців A і В.

Використовуючи геометричну інтерпретацію, можна знайти розв’язок ігор, заданих матрицею 2хп.

Кожній з п стратегій гравця В відповідає пряма. Побуду-вавши ці прямі, знаходять нижню межу виграшу. Точка К, що лежить на нижній межі, для якої величина виграшу найбільша, визначає ціну гри та її розв’язок.

При цьому визначаються активні стратегії гравця В (відповідні їм прямі перетинаються в точці К): з геометричних міркувань можна знайти значення ур, що відповідають актив-ним стратегіям гравця В.

Аналогічно може бути вирішена гра з матрицею тх2, тільки в цьому випадку будують верхню межу виграшу і на ній визначають мінімум. Слід зазначити, що геометричні побудо-ви є сенс використовувати для зазначення активних стратегій гравців. Потім рішення гри можна одержати за допомогою формул чи геометричних побудов.

Вищенаведені формули можна використовувати, оскільки з відповідної матриці виключаються всі стратегії крім актив-них, і вона містить два рядки і два стовпці.

Розглянемо тепер розв’язування ігор з матрицею тхп, як-що тіп{т, п}>2.

 

Приклад. Знайти розв’язок гри, заданий матрицею:

Ï

2314 4231

Розв’язання:

 

 

                                   Â1      

Â4       Ê          Â3      

                                   Â2      

Â1 Â3 ^^^^    N         Â4      

0                                            

Рис.7.7. Стратегія гравця В

 

Прямі на рис.7.7 відповідають стратегіям гравця В.

Ламана В3КВ4 відповідає нижній межі виграшу. Оптимальні стратегії гравця В — третя і четверта. За вищенаведеними формула-ми знаходимо розв’язок гри:

Х = (0,4; 0,6);

Y = (0; 0; 0,6; 0,4);

V=2,2.

Отже, гравець застосовує стратегію А1 з імовірністю 0,4, а стра-тегію А2 — з імовірністю 0,6, при цьому його виграш у середньому становитиме 2,2 од.

Приклад. Знайти розв’язок гри, заданий матрицею:

4 3

Ï

2 4

0 5

-16

 

.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

Розв’язання. Матриця має розмірність 2x4, тому розв’язок за-дачі знаходимо для гравця В. На рис.7.8 побудовані прямі, що відповідають стратегіям гравця А.

 

 

                                                           À4

À1                   к        ^^^                    À2

                                                           À3

À4                                                      À1

À2                               N                    

0          <                                 ►        4          ►       

Уг

Уг

 

Рис.7.8. Стратегія гравця А

Жирною лінією на рис.7.8 зображена верхня межа виграшу грав-ця А. Відрізок NK визначає ціну гри. Активними стратегіями для гравця А є перша і четверта.

Розв’язок гри такий:

X=(7/8; 0; 1/8), Y=(3/8; 5/8), v=27/8.