7.3.2. Елементарні прийоми розв’язування ігор 2x2 і 2хп


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 

Загрузка...

Найбільш простою є гра, у якій кожний із гравців має 2 стратегії. Розглянемо платіжну матрицю П:

 

            Â1       Â2

À1       «11      «12

À2       «21      а22

Якщо сідлової точки немає, то розв’язанням гри є змішані стратегії.

x = (x1, x2),

y = (y1, y2).

Якщо один з гравців застосовує свою оптимальну змішану стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри v незалежно від того, з якими імовірностями другий гравець буде приймати стратегії, що ввійшли в оптимальні, у тому числі і чисті стра-тегії.

Відповідно до цієї теореми, застосовування оптимальної стратегії забезпечує для гравця А одержання виграшу v при будь-яких стратегіях для гравця В.

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

 

Оптимальна стратегія для гравця В теж є змішаною. Тому якщо гравець А застосовує свою оптимальну стратегію, то при цьому гравець В може використовувати одну з чистих стра-тегій і величина виграшу гравця А залишиться незмінною. За-пишемо систему рівнянь:

\a11x1+a12x2=v

[a21X1 + ос22х2 = v

оскільки сума імовірностей дорівнює 1, TO

xt + x2 = і. Розв’язавши систему, одержимо:

х1=      22      21

а11+а22-а12-а21

Х2=     11~«12           

«11 +«22 -«12 -«21

а11 + а22

Шдставляючи хt і х2 у систему рівнянь, одержимо:

v =      

а12-а21

Це оптимальна стратегія для гравця А. Аналогічно можна знайти оптимальну стратегію для грав-ця В.

 

У1       =                     à22      -а22    

 

           

            à11      + а22   -а12     -а21

У2       =                     à11      -а21    

 

           

            à11      + а22   -а12     -а21

Приклад. Знайти розв’язок гри, заданої матрицею:

 

П=

 

 

1          3

2          1

 

Розв’язання. Маємо а=1, (3=2; матриця не має сідлової точки. За формулами для гравця A

а11-а22           1-3      2 ;

2     3

а

 

х2 =

 

сх21-сх22

«21 +«22 "«12 "«21

 

 

 

1

1-2

 

1+1-3-2    3

 

Знайдемо оптимальну стратегію для гравця А. Підставляючи х1 і х2 у систему рівнянь, одержимо ціну гри:

 

а,а    -а^а

           

           

V

1x1-3x2     5

             =

a

a

а11+а22

12

21

1+1-3-2    3 .

Аналогічно можна знайти оптимальну стратегію для гравця В.

22        12

1-3      2

а21 + а22

1 + 1-3-2 = 3 ;

= _      Д11~Д21        =      ^2      =1

а11+а22-а12-а21     1 + 1-3-2     3 .

Таким чином, оптимальні стратегії і ціна гри будуть такі:

 

yîïò

 

 

 

2          1

3          1

 

am

 

1  2

— ; — 3  3

 

5

v - — . 3