7.3. Засоби розв’язання завдань теорії ігор 7.3.1. Дослідження ігор, заданих платіжними матрицями


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 

Загрузка...

Узагалі завдання розв’язання гри, якщо її матриця не містить точки, тим складніша, чим більше значення т і п. То-му в теорії матричних ігор розглядаються способи, за допомо-

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

гою яких розв’язування одних ігор зводиться до розв’язування інших, більш простих. Скоротити розмірність матриці можна, виключивши дублюючі і свідомо невигідні домінуючі стра-тегії. Після цього спрощену матрицю перевіряють на на-явність у ній сідлової точки, що дозволяє відразу ж визначити розв’язування і ціну гри. Якщо сідлової точки немає, то пере-ходять до визначення оптимальних змішаних стратегій.

Приклад. Дослідити гру, задану платіжною матрицею (табл.7.1).

Таблиця 7.1

Платіжна матриця

 

            Â1       Â2       Â3       Â4       Â5

À1       8          6          4          7          7

À2       5          4          3          4          6

À3       4          3          2          3          4

À4       7          2          6          5          9

Розв’язання. 1-й рядок домінує над 2-м і 3-м, оскільки всі його елементи відповідно не менші від елементів 2-го і 3-го рядків. Тому стратегії А2 і А3 свідомо менш вигідні, ніж А1, і можуть бути виклю-чені (гравець А ніколи не скористається цими стратегіями). У ре-зультаті одержуємо матрицю:

8   6   477

7   2659

.

У цій матриці 1-й, 4-й і 5-й стовпці домінують над 2-м. Оскільки стовпці характеризують стратегії гравця В, що прагне зменшити ви-граш гравця А, то ці стратегії свідомо невигідні. Після їхнього ви-ключення одержуємо матрицю:

6   4 2   6

у якій немає домінуючих стратегій.

Визначивши нижню і верхню ціни гри, одержимо: и1 = min{6,4} = 4;

а2 = min{2,6} = 2,

звідки

 

Аналогічно:

 

В

В2

 

a = max{4,2} - 4;

= max {6,2} = 6; = max{4,6} = 6,

 

звідки Р=max{6,6}=6.

Оскільки а^Р, то гра не має сідлової точки і її розв’язком буду змішана стратегія (розв’язування змішаних стратегій розглянуто далі).

Приклад.  Дослідити  гру,  задану  платіжною  матрицею  П1 (табл.7.2).

Таблиця 7.2

Платіжна матриця

 

            Â1       Â2       Â3       Â4       Min

À1       1          0          3          5          0

À2       3          2          4          4          2

À3       0          1          -1        4          -1

Max     0          0          -1        4         

 

У платіжній матриці П1, що дорівнює:

4 -1

10     3     5

П1

3    2 0    1

 

знайдемо дублюючі і свідомо невигідні домінуючі стратегії:

а=max(0;2;-1)=2;

Р=min(0;0;-1;4)=4;

а^Р, сідлової точки немає.

Для гравця В свідомо невигідною є стратегія В4, тобто всі зна-чення цього стовпця перевищують відповідні значення  1,  2, 3

Л.І. Донець. Економічні ризики та методи їх вимірювання

стовпців. Її можна виключити (гравець В ніколи не скористається цією стратегією).

Можна скоротити розмір матриці, розбивши її на підмат-риці, у яких суми елементів по стовпцях і рядках рівні. Тоді замість чистих стратегій у матрицю включаються змішані. Елементи матриці, що відповідають змішаним стратегіям, одержуються діленням відповідних сум елементів на число чистих стратегій, поєднуваних у змішану.

Якщо змішані стратегії входять до числа оптимальних, то імовірності використання вхідних у них чистих стратегій рівні між собою.

Приклад. Розглянемо матрицю П2, розбиту на чотири підмат-риці, для яких виконується умова рівності сум елементів по рядках і

стовпцях:

 

2          0          4          -2

0          2          -2        4

1          1          3          5

1          -1        5          3

Поєднуючи стратегії А1, А2 і А3, А4 і А6, В1 і В2, В3 і В4, приводи-мо матрицю до вигляду

А

11 04

Отримана матриця містить сідлову точку. Тому розв’язування первісної гри, заданої матрицею А3, таке:

* Х =(1/3; 1/3; 1/3; 0; 0);

* Y =(1/2; 1/2; 0; 0).

Ціна гри дорівнює одиниці.

У результаті спрощення гри її розв’язання стало очевидним.

Оптимальною для гравця А є комбінація стратегій А1, А2 і А3, а

для гравця В — комбінація стратегій В1 і В2.

Імовірності застосування стратегій А1, А2 і А3 рівні між собою,

сума їх дорівнює 1, тому   * =(1/3; 1/3; 1/3; 0; 0).

Аналогічно отримана стратегія гравця В має вигляд Y =(1/2; 1/2; 0; 0).

Таким чином при розв’язанні гри при тхп слід:

а)         перевірити, чи не містить матриця сідлової точки;

б)         якщо сідлової точки немає, то потрібно порівняти між

собою елементи рядків і стовпців для виключення дублюючих

і домінуючих стратегій;

в)         розглянути можливість розбивки матриці на підматриці

для заміни деяких груп чистих стратегій змішаними.