7.2.4. Оптимальні змішані стратегії


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 

Загрузка...

Функцією виграшу чи платіжною функцією f(X,Y)

гри, з матрицею П = ||aij||, при застосуванні гравцем А змішаної

стратегії X, а гравцем В змішаної стратегії, називається серед-ня величина виграшу гравця А (програшу гравця В), що підра-ховується за формулою:

f(X,Y) = ^хіУіау = XIIY

і

Стратегії X*, Y* називаються оптимальними, якщо ви-конуються нерівності:

f(X,Y*)-f(X*,Y*) ^f(X*,Y).

Тобто стратегіг називаються оптимальними, якщо їхнє застосування забезпечить гравцю А середній виграш, не мен-ший; ніж при застосуванні ним будь-якої іншої стратегії X і гравцю В середній програш не більший, ніж при застосуванні ним будь-якої іншої стратегії Y .

Сукупність оптимальних стратегій (X*,Y*) називається оптимальним рішенням, а значення  платіжної функції  -ціною гри:

v = f(X*, Y*).

Відповідно до основної теореми теорії ігор, кожна кінцева гра має принаймні один конкретний розв’язок, яким може бу-ти і визначена змішана стратегія. Застосування оптимальних стратегій дає можливість одержати виграш, що дорівнює ціні гри:

a < v < (3.

Для оптимальної стратегії має місце співвідношення: max у тіп х ХА Y’ = тіпу max х ХА Y’.

Таким чином, застосування гравцем А оптимальної стра-

тегії Y * повинне забезпечувати йому при будь-яких діях грав-ця В виграш, не менший ніж v. Тому виконуеться співвідношен-ня:

т

Y,ClijX*>V,       і = \,...,п.

і-\

Аналогічно для гравця В оптимальна стратегія X * повин-на забезпечити при будь-яких стратегіях гравця А програш, що не перевищує V.

п

^сіуУ*<У,      і-\,...,т.

у'-1