4.2. Розрахунки за допомогою простих та складних відсотків


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 

Загрузка...

Відомі дві схеми нарахування відсотків: за допомогою простих і складних відсотків. Прості відсотки використовуються, якщо база нарахування залишається не змінною, а складні - якщо база нараху-вання зростає на нараховану суму.

Отже, якщо сума Р надана в борг на п років під річну відсотко-ву ставку і, то:

За схемою простих відсотків щороку кінцева сума боргу зрос-татиме на величину Р ■ і, і в кінці періоду становитиме:

S = P + Pi + P-1... + Pi = P(\ + in)      [4.3]

За схемою складних відсотків чергові відсотки будуть нарахо-вані не лише з початкової суми боргу, а з сумарної, до складу якої входять і раніше нараховані та не вилучені процентні гроші. Відбу-вається капіталізація відсотків. Отже, кінцева сума боргу буде ста-новити:

за перший рік: Sl = Р + Р ■ і = Р ■ (1 + /');   [4.4]

за другий рік: S2 = S1+ S1-i = S1-(\ + i) = P(\ + i)2;            [4.5]

за n років: Sn = P ■ (1 + if      [4.6]

Вказані залежності, a саме S = P ■ (1 + / • n) та S = P ■ (1 + /')" є базовими формулами нагромадження за простими та складними від-сотками відповідно.

Для обґрунтування використання певної схеми нарахування відсотків доцільно проаналізувати співвідношення кінцевих сум, отриманих при нарахування за простими відсотками (Snp) та за складними відсотками (SCIOI). Воно залежить від величини п - три-валості періоду нарахування.

Ііорівняємо множники (1+і-п) та (1+і) . ірозуміло, що при п=1 ці величини збігаються та дорівнюють 1+і.

Якщо 0<п<1, TO (1+i-n) > (l+l) , якщо п>1, TO (l+i-n)< (l+l) . Отже, при позиках до одного року (0<п<1) нарахована сума зростає швидше за простими відсотками - Snp>Sciai, а при позиках більше року - за складними Sciai > Snp.( Рис. 4.2.)

Для особи, яка надає гроші в борг (кредитора) більш вигід-ною є схема простих відсотків, якщо позика короткотермінова. При позиках понад рік доцільним є використання складних відсо-тків, а якщо тривалість позики 1 рік, то принципової різниці не існує. В усіх вказаних випадках передбачається, що використову-ється річна відсоткова ставка і відсотки нараховуються 1 раз на рік в кінці періоду.

y = (1+i)

 

y = (1+in)

1

 

п

 

Puc. 4.2. Зростання кіщевої суми боргу за простіш і складним відсотком

L

к

У випадку короткотермінових позик (до 1 року) в якості вели-чини п приймають співвідношення тривалості позики в днях до кі-лькості днів в році:

п =

[4.7]

де Т - термін позики в днях (день надання та день повернення боргу вважається одним днем);

К - календарна тривалість року.

При цьому розрахунки ведуться, як для точного (365 днів), так і для звичайного за тривалістю ( 360 днів) років. Розрізняють такі випадки:

1.         Точні відсотки з точним числом днів позики: (позначаються: «365/365» )

2.         Звичайні відсотки з точним числом днів позики: (позначаються: «365/360»)

3. Звичайні відсотки з наближеним числом днів позики: (позначаються: «360/360»)

Точні відсотки означають, що тривалість року приймається точно (365 або 366 днів), а звичайні - спираючись на наближену кі-лькість днів в році - 360. Цей підхід відображений в приведених вище умовних позначеннях. Точна тривалість позики визначається прямим підрахунком. В нагоді при цьому стають порядкові номери днів в році (додаток). Наближена тривалість обраховується через припущення, що рік містить 12 місяців по 30 днів (360 днів в році).

Всі три випадки дають різний результат і використовуються в різних країнах. Так, США надають перевагу першому підходу, a звичайні відсотки поширені в Європі.

У проектному аналізі широкого використання має схема нара-хування складних відсотків. На практиці виникає багато різних си-туацій, пов'язаних з проблемами модифікації базової формули до відповідної ситуації.

Часто період нарахування не збігається з оголошеною ставкою. Тобто, наприклад, оголошується річна відсоткова ставка, а нараху-вання здійснюються частіше ніж раз на рік (щоквартально, щоміся-чно, щоденно). В такому випадку розрахунки здійснюють за став-кою, що дорівнює пропорційній періоду нарахування долі вихідної ставки:

S = P*(l-\—)"*m,        [4.8]

т

де j - оголошена річна ставка,

m - кількість нарахувань за рік

п - кількість років.

Зазначимо, що при використанні простих відсотків проблеми урахування частоти нарахувань не існує. Кінцева сума боргу не за-лежить від кількості нарахувань відсотків протягом періоду. Тобто, нагромадження за простими відсотками за ставкою 10 % раз на рік, дає той же результат, що і, поквартальне нарахування за ставкою 2,5 %.

Можливість нараховувати відсотки частіше ніж раз на рік ви-користовується для регулювання ефективності боргових операцій при розрахунках за складними відсотками. Зрозуміло, що чим час-тіше здійснюють нарахування, тим більша кінцева сума. Важливо

усвідомлювати, що місячна ставка в розмірі 1 % не еквівалентна 12 % річних. Для порівняння результативності застосування різних схем нагромадження у фінансовій математиці існує поняття ефекти-вної відсоткової ставки. Це та реальна ставка, яка відображає дійсну зміну вартості боргу за рік, а оголошену ставку називають в такому випадку номінальною. Щоб знайти взаємозв'язок між ними прирів-няємо залежності

5 = Р-(1 + 0"та5 = Р-(1 + — )"""■

т

В результаті відповідних математичних перетворень отримає-мо, що

і = (\-\—У—\, [4.9]

т

де і - ефективна ставка;

j - номінальна ставка.

Виведена залежність полегшує вибір між різними схемами на-

громадження.

Залежно і = (1 н—)т — 1 видно, що чим частіше здійснюються

т

нарахування, тим більшою є ефективна ставка. Виникає питання: як швидко зростатиме сума боргу, якщо нарахування здійснювати мак-симально часто аж до неперервного нагромадження?

При неперервному нарахуванні відсотків кінцева сума боргу не зростає безмежно. Математичні закони формують відповідну зале-жність, а саме:

S = Р*е'",        [4-10]

де е = 2,718281 - число Ейлера, одна з найважливіших сталих математичного аналізу.

Для дослідження темпів зростання нагромадженої суми в ре-зультаті збільшення частоти нарахуванням скористаємось прикла-дом. Розрахуємо нагромаджену суму для різних варіантів нараху-вання відсотків за один рік, якщо вихідна сума 1000 грн. та і=10%. Результати представимо в таблиці 4.1.

 

Таблиця4.1. Темпи зростання нагромадженої суми

Р, грн  Частота нарахування            S, грн  Нагромадження, грн

 

           

           

            базисне          ланцюгове

1000    Щорічне(т=1) 1100,00           -          -

1000    Піврічне (т=2)            1102,50           +2,50   +2,50

1000    Щоквартальне (т=4) 1103,81           +3,81   +1,31

1000    Щомісячне (т=12)     1104,71           +4,71   +0,90

1000    Щоденне (т=365)      1105,16           +5,16   +0,45

1000    Безперервне (т=°°)    1105,17           +5,17   +0,01

Отже, існує пряма залежність між частотою нарахування від-сотків і кінцевою сумою боргу. Водночас темп такого зростання по-стійно зменшується, що підтверджує ланцюгове нагромадження (графа 5).

Неперервне нагромадження часто використовують у проект-ному аналізі. Це доцільно, коли розглядаються багаторазові виплати протягом періоду або нагромаджені суми постійно змінюються.

При розрахунках за складними відсотками цілком ймовірно, що термін позики не дорівнює цілій кількості років. Борг може бути наданий на 40 місяців, або 5,5 року, або на 1 рік і 3 місяці тощо. В таких випадках для встановлення нагромадженої суми використо-вують два підходи:

1)         загальний - за базовою формулою нагромадження;

2)         змішаний - з використанням простих і складних відсот-ків.

При змішаному нарахуванні п представляють, як суму цілої частини і дробової, a S визначається із залежності:

S = P-(\ + i)a-(\ + b-i),

[4.11]

де a - ціла кількість років; b - добова частина року.

Приклад.

Банк надав кредит на 30 місяців в розмірі 100 тис. грн. під 30 % річних на умовах щорічного нарахування відсотків. Яку суму слід повернути в банк після закінчення терміну угоди?

Визначимо кінцеву суму двома способами. При цьому врахує-мо, що 30 місяців = 2,5 року.

1.         Загальний підхід: S = 100• (1 + 0.3)2+05 = 192.69тис. грн.

2.         Змішаний підхід:

S = 100 • (1 + 0.3)2 • (1 + 0.3 • 0.5) = 194.35 тис. грн.

Таким чином, змішана схема є більш вигідною для кредитора.

Розглянуті вище аспекти нарахування відсотків враховують і при дисконтуванні. В проектному аналізі процеси дисконтування мають визначальне значення. їх економічний зміст полягає в насту-пному: майбутні доходи, що очікуються від проекту, повинні бути оцінені з сьогоднішньої позиції. Тобто всі витрати та надходження по проекту мають бути приведені до одного моменту часу (як пра-вило - початку реалізації проекту) і тільки тоді можуть порівнюва-тись між собою.

Базовими формулами дисконтування за простими і складними відсотками відповідно є:

P =      .           [4.12]

(1 + in)

P =      .           [4.13]

(1 + i) n

_          ...         1

Ііри використанні складних відсотків множник                нази-

(1 + i) n

вають дисконтним відсотком або дисконтним множником. Для по-легшення фінансових розрахунків його значення не визначають вла-сноручно, а користуються відповідними таблицями. Подібні таблиці існують і для інших фінансових операцій.

3 базових формул нарахування чи дисконтування не важко ви-значити тривалість позики або прибутковість операції, якщо всі інші складові задані.