2.1. Прості відсотки та інфляція


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 

Загрузка...

Інфляційні процеси, які характерні для економіки багатьох кра-їн, потребують необхідності враховувати інфляцію у фінансово-інвестиційних розрахунках. Особливо необхідно враховувати вплив інфляції при обчисленні майбутньої вартості кредиту (депозиту) і визначенні реальної ставки відсотків.

Взаємозв’язок інфляції та відсоткових ставок має надзвичайне значення на ринку капіталів, де кредитори (позикодавці) та пози-чальники укладають угоди, в яких зазначаються фіксовані суми пла-тежів у гривнях. Реальна відсоткова ставка залежить від рівня інфля-ції впродовж усього строку кредиту (депозиту). Укладаючи угоду, кредитор і позичальник виходять зі своїх власних сподівань стосовно рівня інфляції. Ці сподівання можуть бути близькими до фактичних економічних реалій, але можуть виявитися і помилковими. І тоді одна зі сторін втрачає, інша — виграє.

Коригування доходів (витрат) для урахуванням інфляції здій-снюється за допомогою рівняння Фішера. Розглянемо ці питання.

Основні поняття фінансових методів розрахунку такі [78, 85, 88, 90, 93, 119, 120]:

– відсоток (англ. interest) — дохід кредитора (інвестора) від надання грошей у борг позичальнику (інвестування грошей). Відсоток є однією з форм більш загального поняття економіч-ного ефекту. Економічний ефект — це різниця між результатом і витратами; – відсоткова ставка (англ. interest rate) — величина, яка характе-ризує інтенсивність нарахування відсотків, вимірюється у від-сотках або у вигляді десяткового дробу.

Порівняно із загальними економічними поняттями «відсоткова ставка» відповідає поняттю економічної ефективності — відно-шенню ефекту до понесених витрат; – нарощування (англ. advance) — збільшення початкової суми у

зв’язку з приєднанням до неї нарахованих відсотків; – дисконтування (англ. discounting) — приведення вартісної ве-личини, яка відноситься до майбутнього, до деякого поперед-нього моменту часу (операція, обернена нарощуванню). Існують різні способи нарахування відсотків від надання коштів у борг. Відповідно використовують різні види відсоткових ставок.

Круш П. В., Клименко О. В., «Інфляція: суть, форми та її оцінка»

Відсотки відрізняються за базою їх нарахування. Використову-ється постійна база та база для розрахунку, яка послідовно змінюєть-ся. В останньому випадку за базу приймається сума, що отримана на попередньому етапі нарощування або дисконтування.

При постійній базі використовують прості відсотки, при змін-ній — складні відсотки.

Простий відсоток розраховується за формулою

J = P-n-j,         (2-1)

д,е   J — простий відсоток;

Р — початковий кредит (депозит);

п — строк кредиту (депозиту) в роках;

j — проста ставка відсотка (десятковий дріб).

Загальна сума виплат із урахуванням нарахованих відсотків S (нарощена сума):

S = P + J = P + P-n-j = P-(l + n-j),     (2-2)

t де   п = —; К

t — кількість днів позики (депозиту);

К - кількість днів у році.

Нарощення за простими відсотками використовують при наданні короткострокових позик (до одного року) чи у випадках, коли від-сотки не приєднуються до суми боргу, а періодично виплачуються кредитору.

Залежно від способу визначення тривалості фінансової операції розраховують точний відсоток ( К = 365,366 днів) або звичайний (комерційний) відсоток ( К = 360 ) з приблизною кількістю днів у місяці (вважають протяжність повного місяця 30 днів або з точним числом днів: (t дорівнює точній кількості календарних днів). Для підрахунку точної кількості днів позики (депозиту) використовують спеціальні таблиці, в яких приведені порядкові номери кожного дня року. Схема нарахування точних відсотків із точною кількістю днів позики застосовується у банках Великобританії, США, Португалії. Схема нарахування звичайних відсотків із точною кількістю днів по-зики дає дещо більший результат і використовується у банках Фран-ції, Бельгії, Іспанії, Швейцарії, Югославії. Схема нарахування зви-

Розділ II. Урахування інфляційного чинника під час прийняття фінансово-інвестиційних рішень

чайних відсотків із наближеною кількістю днів позики — найменш точна та застосовується в банках Німеччини.

Розглянемо, як впливає інфляція на кредитну (депозитну) операцію для випадку простих відсотків і строку кредиту (депо-зиту) один рік.

Загальна сума виплат S за кредитом (депозитом) Р за рік (з (2.2) при п = 1) становить:

S=Р + J = Р + Р-) = Р-{1 + /'),           (2.3)

де j — проста відсоткова ставка. Тобто первісна сума Р при заданій простій відсотковій ставці j за рік перетвориться на суму S. Відсот-кова ставка j виражається в поточних грошових одиницях, тобто не враховує зростання цін (інфляції).

Реальна загальна сума виплат S' за кредитом (депозитом) Р за рік становить:

S' = P + J = P + P-r = P-(1 + r),         (2.4)

де  г — проста реальна відсоткова ставка.

Реальна відсоткова ставка ( г ) визначається порівнянням товар-них еквівалентів один з одним, тобто враховує зростання цін (інфля-цію).

Реальна сума виплат означає, що ту кількість товарів, яку на мо-мент виплати можна купити на суму S, рік тому можна було купити на суму S', тобто

S = — ,           (2.5)

/ де / — індекс інфляції, який показує, у скільки разів збільшення ціни.

У випадку, який розглядається, I = 1 + а , де a — річний приріст цін (темп інфляції); a , виражене у відсотках, назвемо рівнем інфля-ції.

Приклад 2.1. Кожний місяць ціни зростають на 6%. Визначте річний рівень інфляції.

Розв’язання. Темп інфляції за місяць дорівнює аміс = 0,06, індекс інфля-ції за місяць дорівнює Іміс =1 + аміс =1 + 0,06 = 1,06. Індекс інфляції за рік

Круш П. В., Клименко О. В., «Інфляція: суть, форми та її оцінка»

дорівнює   Ipit,=I   Мс =1,0612 =2,012196 = 1 + ар«.  Звідки   apit, = 1,012196 . Отже, річний рівень інфляції досягає 101,2196%.

Приклад 2.2. Як зміниться величина реального доходу, якщо номіналь-ний дохід збільшиться на 12%, а рівень інфляції становитиме 9%? Розв’язання. Зміна реального доходу становитиме:

5'-5 = --5 = — -100 = 2,75%.

/           109

Отже, реальний дохід збільшиться на 2,75%.

Поряд з індексом інфляції розраховують індекс купівельної спро-можності грошей. Індекс купівельної спроможності грошей (Іт) до-

рівнює оберненій величині індексу цін:  іт= — . Звичайно, вказані

індекси повинні відноситися до однакових часових інтервалів. На-приклад, сьогодні отримали 100 грн, а за два роки ціни збільшились у

Т          т          1

два рази, то 1 = 2, а 1кс = —. Отже, реальна купівельна спроможність

2          1

100 грн на момент отримання становитиме 100-— = 50 грн у грошах

дворічної давності.

Установимо зв’язок між ставками г та j . Для цього з (2.3) знай-

демо

1 + і) = 7г.       (2.6)

З (2.5) випливає, що S = S' -I або S = S' ■ (1 + а), яке підставимо у (2.6). Отримаємо

S'

(1 + і) = — (1 + а).     (2.7)

Р

 S' З (2.4) знаходимо, що — = 1 + г. Підставивши у (2.7), отримаємо Р

1 +j = (1 + г)-(1 + а) або

j = r+a + r-a.   (2.8)

Розділ II. Урахування інфляційного чинника під час прийняття фінансово-інвестиційншрішень

Формула (2.8) має назву формули Фішера, в якій сума (а + г-а ) — величина, яку необхідно додати до реальної ставки доходності для компенсації інфляційних втрат. Ця величина називається інфляцій-ною премією.

Знаючи формулу Фішера, можна уникнути поширеної помилки. Часто для підрахунку відсоткової ставки, яка враховуе інфляцію, до величини реальної ставки доходності просто додають величину темпу інфляції. Наприклад, якщо реальна ставка доходності г = 15%, рівень інфляції 8%, то за відсоткову ставку, яка враховуе інфляцію, при-ймається величина г+а = 15% + 8% = 23% . Однак нехтувати добут-ком г ■ а можна тільки у випадку невеликих значень r і a , при яких він становить незначну величину, як у країнах з розвинутою ринковою економікою, де ставки доходності і темпи інфляції невеликі.

Реальна проста відсоткова ставка при вкладі (кредиті) один рік, як випливає з (2.8), знаходиться за формулою

і — а

г =       .           (2.9)

1 + а

Приклад 2.3. Банк пропонує 15% річних за вкладами. Очікується, що ціни за рік зростуть на 8%.

Яка необхідна проста відсоткова ставка, щоб не втратити від інфляції? Чому дорівнює реальна проста відсоткова ставка?

Розв’язання. Щоб отримати 15% реальних (з урахуванням інфляції), не-обхідна проста відсоткова ставка (за формулою (2.8)):

j = r + a + г ■ a = 0,15 + 0,08 + 0,15- 0,08 = 0,242, або 24,2%. З формули (2.9) знаходимо реальну просту відсоткову ставку

j-a    0,15-0,08

г =       =          = 0,0648 , або 6,48%.

1 + а       1 + 0,08

Отже, насправді проста відсоткова ставка за вкладом, якщо врахувати інфляцію, становить 6,48%.

Приклад 2.4. Позичальник одержав від кредитора 30 000 грн на один рік під 16% річних за простою відсотковою ставкою. Індекс інфляції в Україні за даними Держкомстату за підсумками 2007 р. становив 116,6%.

Круш П. В., Клименко О. В., «Інфляція: суть, форми та її оцінка»

Визначте майбутню та реальну суму боргу, втрати кредитора, спричи-нені інфляцією. Яку ставку простих відсотків варто використовувати, щоб реальна прибутковість кредитної операції була 16% річних? Чому дорівнює реальна відсоткова ставка?

Розв’язання. Майбутня вартість боргу з (2.3):

S = Р ■ (1 + і) = 30 000 (1 + 0,16) = 34 800 грн. Реальна сума боргу з (2.5) при / = 1,166 :

S    34 800

S = — =          = 29 845,63 грн.

/       1,166

Втрати кредитора:

S - S' = 34 800 - 29 845,63 = 4954,37 грн.

Щоб реальна прибутковість кредитної операцій становила 16% річних, варто використовувати ставку відсотків (2.8):

j = r + а + r -a = 0,16 + 0,166 + 0,16-0,166 = 0,3526 , або 35,26%.

Реальна відсоткова ставка з (2.9) при a = 16,6% :

)-а    0,06-0,166

г =       =          = -0,0051, або -0,51%.

1 + а       1 + 0,166

Отже, ця кредитна операція приносить збиток 0,51%.

Динаміка індексу інфляції за кілька місяців (років) відображає зміни, які відбуваються в інфляційних процесах. Зрозуміло, що збіль-шення індексу інфляції за певний період порівняно з таким самим попереднім періодом вказує на прискорення інфляції, а зменшення — на зниження її темпів.

Виведемо формули для визначення індексу інфляції.

1. У загальному випадку, якщо відомий річний рівень інфляції a , то за період п років п = па + пь, де па — ціле число років, пь — дробова частина року, що залишилася, то індекс інфляції, який пока-зує, у скільки разів зросли ціни, знаходиться за формулою (за умови збереження середньорічного темпу зростання інфляції a )

Розділ II. Урахування інфляційного чинника під час прийняття фінансово-інвестиційних рішень

I = (1 + a)n.     (2.10)

Якщо розкласти праву частину виразу (2.10) за біномом Ньюто-на, то отримаємо:

I = (1 + а)   =(1 + а)п- -(1 + а)4 =

ч

1 + П-СС+    ь        ь  -СГ+...+    *

пь(пь-1)     2   пь!-ап

п!

(1 + а)в

 

о(а)

Або / =(1 + а)п" ■ (1 + пьа) + о(а), де () ^0 при a ->0 . о(а) — величина, порядку малості менша, ніж а.

Отже, формула для розрахунку індексу інфляції має вигляд:

I = (1 + а)п" -(1 + пь -а).       (2.11)

Зауважимо, що з формули (2.10) при п = 1 маємо I = 1 + а , як у формулі (2.5) для випадку кредиту (депозиту) під просту відсоткову ставку на строк один рік.

2.         Якщо ат — темп інфляції за деякий інтервал часу, то за період,

який становить т таких інтервалів, індекс інфляції дорівнює:

I = (1 + ат)т.   (2.12)

3.         Якщо темп інфляції за деякий інтервал часу аі Ф ak при ІФ k ,

для і, k = 1, 2, ..., т , то індекс інфляції за т таких інтервалів дорів-

нює:

т

/ = ГТ(1+аі).    (2.13)

Приклад 2.5. За даними Держкомстату України, індекс споживчих цін (індекс інфляції) до попереднього місяця в січні 2007 р. становив 100,5%, у лютому — 100,6, у березні — 100,2%.

Визначте індекс споживчих цін за березень 2007 р. до грудня 2006 р.

Розв’язання. За формулою (2.13) індекс споживчих цін за березень 2007 р. до грудня 2006 р. дорівнює:

/ = 1,005-1,006-1,002 = 1,013052, або 101,3%.

Отже, за перші три місяці 2007 р. ціни зросли на 1,3%.

Круш П. В., Клименко О. В., «Інфляція: суть, форми та її оцінка»

Приклад 2.6. Темп інфляції в Україні, за даними Держкомстату, у верес-ні 2007 р. становив 2,2%, у жовтні індекс споживчих цін дорівнював 1,029, у листопаді по відношенню до жовтня ціни знизилися на 0,7%. Визначте, на скільки відсотків зросли ціни за ці три місяці. Чому дорівнює середньомісяч-ний рівень цін?

Розв’язання. За формулою (2.13) індекс споживчих цін за ці три місяці дорівнює:

/= 1,022-1,029-1,022 = 1,074774 .

Отже, за ці три місяці ціни зросли в 1,074774 разу, або на 7,4774%. Середньомісячний темп інфляції за ці три місяці знаходиться як середнє геометричне з місячних індексів споживчих цін:

Ісеред. = v 1,074774 = 1,024328 або 102,4328%.

Отже, ціни в середньому за ці три місяці збільшувалися щомісяця на 2,4328%.

Розглянемо, як впливає інфляція на кредитну (депозитну) операцію для випадку простих відсотків і строку кредиту (депо-зиту) менше року.

Загальна сума виплат з урахуванням нарахованих відсотків зна-ходиться з (2.2). Реальна сума виплат S' за кредитом (депозитом) Р в такому випадку становитиме:

S' = Р-(1 + п-г).         (2.14)

Індекс інфляції, як випливає з формули (2.11), в такому випадку дорівнюватиме:

I = 1 + п-а,     (2.15)

оскільки при и < 1, па=0, а пь = п.

Здійснивши алгебричні перетворення, аналогічні (2.6)-(2.7), знаходимо, що

j = r + a + n-r-a.          (2-16)

3 формули (2.16) можна знайти реальну просту відсоткову став-ку, якщо строк вкладу (кредиту) менший ніж один рік (п < 1):

і-сс      (7Ч

г=        •          (2-17)

1 + п-а

Розділ II. Урахування інфляційного чинника під час прийняття фінансово-інвестиційних рішень

Приклад 2.7. Банк видав клієнтові кредит у сумі 30 000 грн на два місяці. Банк бажає забезпечити реальну ставку доходності 13,7% річних. За даними Держкомстату, інфляція в Україні в лютому 2008 р. становила 2,7, у січні — 2,9%.

Визначте просту відсоткову ставку банку з урахуванням інфляції. Яку суму повинен повернути боржник, якщо кредитний договір передбачає вра-хування інфляції?

Розв’язання. Індекс інфляції за перші два місяці 2008 р., як випливає з (2.13), становив

/= 1,029-1,027 = 1,056783.

З другого боку, з (2.15) індекс інфляції за перші два місяці 2008 р.

2 / = 1 + и-а = 1 + —-а = 1,056783. 12

Звідки a = 0,056783 • 6.

Щоб отримати 13,7% річних реальних, банку необхідна проста відсотко-ва ставка, яку знаходимо з (2.16)

j = r + a + п ■ г ■ a = 0,137 + 0,056783 • 6 + — • 0,137 • 0,056783 • 6 = 0,485477 ,

або 48,5477%.

Розв’язати задачу можна інакше.

З (2.5) знайдемо S = S' ■ I; підставимо S' з (2.14), отримаємо

S = S'■ I = Р-(1 + п-г)-І.       (2.18)

Прирівнявши праві частини співвідношень (2.2) і (2.18), отримаємо рів-няння еквівалентності

1 + n-j = (1 + п-г)-І,   (2.19)

з якого знаходимо просту відсоткову ставку з урахуванням інфляції:

.    (1 + п-г)-І -1

] =       .

п У прикладі

[ 1 + — • 0,137 ] • 1,056783 -1

. = (1 + п-г)-І-1 = ^12           1          = 0485477 , або 48,5477%.

п          2

12 Боржник повинен повернути з урахуванням інфляції:

Круш П. В., Клименко О. В., «Інфляція: суть, форми та її оцінка»

S=P-(1 + n-j) = 30 000-[ 1 + — -0,485477 ] = 32 427,38 грн.