БАГАТОЦІЛЬОВІЗАДАЧІ ТА МЕТОДИ ЇХ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ 9.1. Постановка задачі та її властивості

Розглядаючи задачі прийняття рішень в попередніх темах, припускалася наявність одного показника, з допомогою якого вибирався той чи інший розв'язок. Визнаючи такий показник домінуючим при оцінці функціонування досліджуваного про-цесу або явища, всі інші показники вважались менш важливим або взагалі несуттєвими. Але, як показала практика плануван-ня і управління, апріорні міркування вибору єдиного показни-ка є мало ефективними. Тому, починаючи з 60-х pp. минулого століття, велика увага приділяється дослідженню і розробці методів розв’язування та аналізу багатоцільових моделей [16], [22], [25].

В якості прикладу виникнення багатоцільових моделей роз-глянемо задачу об’ємного планування для підприємства, що ви-пускає комплектну продукцію. Слід зауважити, що випуск ком-плектів продукції для оцінки діяльності підприємства відіграє істотну роль.

Будемо вважати заданими пропорції в структурі реалізації, які вимагають, щоб на кі одиниць продукції і -го виду поставлялось

кр одиниць продукції р -го виду, І Ф р, і,р = \,п.

Така вимога є природною для підприємств, що випускають напівфабрикати і комплектуючі вироби для підприємств по виго-товленню продукції кінцевого споживання. Така проблема є ха-рактерною, зокрема, для підприємств будівельної індустрії.

Математичну вимогу комплектності випуску відображає фун-кція:

Fj(x) = max—-,           ("•!)

І=І,П кі

де х. — кількість виробів і -го найменування.

Але для оцінки якості функціонування підприємства важливе значення має функція прибутку, яка дає вартісну оцінку:

—        п

^2 (х)= Tjcixt^ max,    (9-2)

і=\

де с. - - прибуток від реалізації одиниці вибору і -го наймену-

вання, і = \,п; xt — кількість виробів г'-го найменування, що за-довольняють обмеження:

х. > 0 , і = \,п; (9-3)

п                    

Yjayxi-bj  j = l,m ,       (9-4)

і=\

де atJ - - інтенсивність споживання j -тих факторів виробництва на одиницю випуску і -тих виробів;

bj — наявність j -тих факторів виробництва на інтервалі пла-

нування, j = \,т.

Особливістю багатоцільових моделей є несумісність цілей, які враховуються при постановці і формалізації задачі. Дійсно, розв'язок, при якому досягається максимум по одному з показни-ків, як правило, не відповідає екстремальним значенням інших показників.

Отже, формулювання «максимізувати ефект при мінімальних витратах» не відповідає дійсності.

Правильніше — сформулювати вимогу до розв'язку багатоці-льових моделей у вигляді:

—        «досягнення максимального ефекту при втратах, які не пе-ревищують заданої величини»;

—        «досягнення ефекту не менше заданого при мінімальних витратах».

У загальному випадку не існує розв'язку, при якому одночас-но досягався б максимум або мінімум відразу по декількох пока-зниках, а існують тільки компромісні розв 'язки.

Поняття оптимального розв'язку замінюється поняттям ефек-тивного або компромісного розв'язку.

Визначення. х0 є ефективним розв’язком багатоцільо-вої задачі, якщо не існує іншого розв'язку, який би не посту-пався хо по всіх показниках і переважав його хоча б по одно-му з них.

Множина ефективних розв’язків   |х0) називається ефектие-

ною множиною, а область значень показників F. (х), і = 1, т , що відповідають ефективній множині, — множиною Парето.

Побудова множини Парето досить часто викликає труднощі, a тому ведуть пошук наближеного його варіанту.

Геометрично компромісний розв’язок представляється точкою на гіперплощині, яка приходиться на ті вершини многогранника обмежень, що відповідають різним розв’язкам багатоцільової за-дачі. Ця точка в загальному випадку лежить усередині многог-ранника і притому досить далеко від його граней. Отже навіть при всіх лінійних обмеженнях і лінійних функціях цілі багатоці-льова задача не є задачею лінійного програмування, а тому вима-гає специфічних методів розв’язування.