ЗАДАЧІ 3 УМОВАМИ НЕВИЗНАЧЕНОСТІТА КОНФЛІКТУ 8.1. Загальна характеристика задач з умовами невизначеності та конфлікту


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 

Загрузка...

В економічній діяльності завжди мають місце невизначеність та ризик щодо майбутніх результатів, особливо щодо майбутньо-го доходу, витрат або прибутку, які можуть бути отримані вна-слідок ринкової купівлі-продажу ресурсів, продукції та послуг.

Припустимо, що потрібно вибрати найкращу з т альтернатив у випадку, коли остаточний результат (цінність) кожної і-ї альте-

рнативи (і = 1, тj буде визначатися j -м конкретним станом ото-чуючого середовища («природи») — у із деякої скінченої множини можливих станів (j = 1,п). Таким чином, у момент при-йняття рішення кожна /-та альтернатива характеризується п-вимірним вектором:

 

і U   =

и1,...,ііу,...,иіп),

 

де ііу — цінність цієї альтернативи, якщо природа опиниться у

своєму J -му стані [7]. Принциповим є те, що в момент прийнят-тя рішення щодо вибору альтернативи конкретний стан, у якому буде знаходитися навколишнє середовище, невідомий, тому по-трібно брати до уваги усю сукупність його можливих станів [11], [13], [23].

Подібні задачі підрозділяються на два класи. Це, по-перше, задачі прийняття рішень за умов невизначеності, коли немає ні-якої інформації про імовірності виникнення КОЖНОГО 3 можливих станів природи. По-друге, це задачі прийняття рішень за умов ри-зику, коли можна дати певну (об’єктивну або суб’єктивну) оцінку імовірнісному розподілу станів природи, тобто коли імовірності виникнення кожного з можливих майбутніх станів оточуючого середовища можна вважати відомими.

Теорія прийняття рішень має набір принципів (критеріїв), що можуть бути використані для розв'язування подібних задач. Пе-ред ознайомленням із ними домовимося інформацію про задачу подавати в зручному для дослідження вигляді — за допомогою матриці цінностей альтернатив (табл. 8.1).

Таблщя 8.1

 

Номер альте-рнативи          Номер можливого стану природи

 

            1          ...         j           ...         п

1          иц                   Uу                   М\п

                                               '■.        \

і           Щ\                   Ujj       ...         иіп

                                               '■.        ;

m         ит\                   ^mj      ...         М-тп

Кожний /'-й рядок цієї матриці характеризує цінність відповід-ної і-і альтернативи з огляду на множину всіх можливих майбут-ніх станів оточуючого середовища. 3 іншого боку, кожний j-й стовпчик матриці цінностей показує цінність усіх альтернатив, якщо природа опиниться саме у своєму j -му стані.

Коли матриця цінностей альтернатив побудована, можна по-чинати порівняння альтернатив з огляду на невизначеність і/або ризик щодо можливих майбутніх станів оточуючого середовища.

Якщо взяти окрему і-ту альтернативу (і е {і,..., т\), то в найгі-

ршому для неї випадку її цінність —    и] - - буде дорівнювати найменшому з чисел ип,...,иіп:

и] =mmuij,       (8-1)

7=1, п

и°      песимістична оцінка і-ї альтернатиеи.

Навпаки, у найбільш сприятливому для г-ої альтернативи ви-падку п цінність буде складати розмір и*, який дорівнює найбі-льшому з чисел ип,...,иіп:

и* =maxuiJ,     (8-2)

7=1, п

тобто оптимістична оцінка і-ої альтернатиеи.

Розглянемо декілька найпоширеніших критеріїв визначення їип-іТєт)ттїітРтк Г121

1)         Максимінний критерій {критерій Вальда, песимістич-

ниії). Відповідно до цього критерію рекомендується обирати таку

з альтернатив і*, песимістична оцінка якої є найкращою:

и" = тахм,0 = тахтіпи^..        (8-3)

і=\,т     і=\,т j=\,n

Такий підхід гарантує, що навіть у найгіршому із станів при-роди результуюча цінність обраного варіанту дій буде не мен-шою, аніж и%.

2)         Максимаксний («оптимістичний») критерій. При засто-суванні цього критерію вибирається альтернатива з найбільшою оптимістичною оцінкою. Цей принцип практично неможливо за-хистити від критики, оскільки очікування лише найсприятливі-ших станів оточуючого середовища, як правило, не виправдову-ються.

3)         Критерій Гуреіца (критерій песимЬму-оптимЬму). Цей принцип являє собою комбінацію позицій крайнього песимізму і краинього оптимізму.

Позначимо через а є [0; 1J число, що характеризує стушнь оп-тимізму, тобто ступінь очікування найкращого зі станів природи, тоді рекомендується обирати таку альтернативу, якій відповідає найбільша зважена песимістично-оптимістична оцінка:

и. = (і - а)мг° + аи*.   (8-4)

Якщо a = 0 , принцип Гурвіца перетворюється в песимістич-ний, при a = 1 - - в оптимістичний критерій. Оскільки ОПР, як правило, відмовляється від позицій крайнього песимізму або крайнього оптимізму, то значення a необхідно обирати усереди-ні проміжку [0;lj. У багатьох випадках значення параметра a доцільно брати з проміжку [0.2; 0.7J. Особливістю вищенаведених критеріїв є те, що для кожної альтернативи вони враховують або ії песимістичну, або оптимістичну, або тільки песимістичну й оп-тимістичну оцінки. Тобто увага приділяється лише двом оцінкам, у той час коли можливих станів природи і, відповідно, різних за значенням оцінок кожна альтернатива може мати багато. Прин-ципи, що буде наведено далі, враховують усі можливі стани при-роди.

4)         Критерій Лапласа. Якщо немає підстав вважати, що кож-

ний окремий стан природи більш імовірний у порівнянні 3 інши-

ми, використовують припущення про те, що імовірність виник-

нення кожного з можливих станів оточуючого середовища одна-кова. Тоді оцінку середньої цінності кожної альтернативи мож-на обчислити за формулою середнього арифметичного можли-вих оцінок у різних станах природи:

—        1   ■£   (85)

Yl j=1

після чого обирати ту з альтернатив, яка має найбільшу середню

5)Критерій Байєса—Лапласа. Якщо є можливість певним чином оцінити імовірності виникнення кожного з можливих ста-нів оточуючого середовища, то замість середньої оцінки цінності кожної альтернативи доцільніше розглядати зважену середню арифметичну оцінку (оцінку Байєса—Лапласа):

=          п

ut = YjPjutj ,    (8.6)

j=1

де pj — імовірність того, що природа опиниться саме в її у'-му

стані [j = 1,nj.

Принцип Байєса—Лапласа рекомендує обирати ту з альтерна-тив, оцінка зваженої середньої арифметичної цінності котрої найбільша.

6) Критерій Ходжеса—Лемана є комбінацією максимінного критерію і критерію Байєса—Лапласа. Він використовує пара-метр р є [0; 1j, що характеризує ступінь довіри ОПР до імовірніс-ного розподілу виникнення можливих станів природи. Відповід-но до критерію Ходжеса—Лемана слід орієнтуватися на ту з альтернатив, що має найбільшу оцінку Ходжеса—Лемана:

 

Ui =

 

(1-PJM;0 +РИг,          (8.7)

 

де щ — песимістична оцінка г-ої альтернативи, а м, — п оцінка за Байєсом—Лапласом.

При р = 1 (повній довірі ОПР до імовірнісного розподілу мож-ливих станів оточуючого середовища) одержуємо принцип Байє-са—Лапласа; при р = 0 (повне ігнорування імовірнісних оці-нок) - повертаємося до песимістичного критерію. Оскільки значення параметра р, які дорівнюють 1 або 0, є винятковими, можна припустити, що ОПР частіше буде погоджуватися з вибо-

ром параметра р із середини проміжку [0; 1j. Широке застосу-вання в цьому відношенні знайшов проміжок [0.3; 0.8J.

Критеріїв (принципів) вибору альтернатив за умов невизначе-ності і/або ризику, подібних до розглянутих, відомо багато. Про-те, оскільки кожний із критеріїв має певні переваги і окремі хиби, вважаємо за доцільне дати узагальнену характеристику задачі прийняття рішень за умов невизначеності і/або ризику, а також обговорити рекомендації щодо використання відповідних прин-ципів (критеріїв) у практичних випадках.

Приклад 8.1. Нехай надана матриця цінностей альтернатив (I частина табл. 8.2), яка визначає прибуток певних грошових одиниць. Необхідно оцінити кожну альтернативу за відповідними критеріями (II частина табл. 8.2)*.

Таблщя 8.2

 

I частина        II частина

ill          Номер стану природи          Оцінки альтернатив за різними критеріями

 

            1          2          3          4          0          *          ~,         Ui        Ui        иг

1          100      0          20        0          0          100      40        30        44        22

2          0          50        60        70        0          70        28        45        34        17

3          30        40        30        60        30        60        42        40        36        33

Песимістичний критерій Вальда                                                  

«Оптимістичний» критерій                                               

Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца ( a = 0,4 )                                              

Критерій Лапласа                           

Критерій Байєса—Лапласа (р1 —0.4,р2 ~03,р3 ~0.2,р4 = 0.1               

Критерій Ходжеса—Лемана ф = 0.5)                                                       

Проаналізуємо II частину табл. 8.2:

— Максимінний критерій Вальда призводить до третьої аль-тернативи, максимінний — «оптимістичний» — до першої; — Критерій Гурвіца — до третьої;

* У подальшому в таблицях 8.3, 8.4 розглядається прибуток певних грошей при пев-них альтернативах та можливому стані природи.

— Критерій Лапласа — до другої; — Критерій Ходжеса—Лемана — до третьої.

Отже, однозначних рекомендацій для подібних ситуацій не іс-нує. Але, оскільки остаточний вибір здійснює ОПР, то було б ко-рисним ознайомити її з пропозиціями, що відповідають різним критеріям. Водночас застерігаємо проти використання такого принципу, за яким перевага віддавалася б тій альтернативі, на яку вказує більшість критеріїв.

Беззаперечним є лише правило про те, що коли одна альтерна-тива залишається гіршою від деякої іншої альтернативи у довіль-ному з можливих станів оточуючого середовища, то першу аль-тернативу потрібно відкинути, оскільки вона домінується другою альтернативою. Ретельного аналізу з точки зору ОПР потребують лише ті альтернативи, що не домінуються іншими.

У багатьох випадках може виявитися корисним максимінний критерій, оскільки він гарантує досягнення найкращого результа-ту в найгіршому з випадків. Але цей критерій не випадково нази-вають песимістичним або підходом занадто обережної ОПР. На-приклад, якщо таблиця цінностей альтернатив буде мати вигляд, показаний у табл. 8.3, то вибір першої альтернативи багатьом може видатися нераціональним.

Таблщя 8.3

 

Номер альтернативи            Номер стану природи

 

            1          2          3          4          5

1          10        2          2          2          2

2          1          10        10        10        10

Максимінний підхід орієнтує нас на вибір першої альтернати-ви. I якщо немає впевненості в практичній неможливості першого стану природи, то це видається правильним. Але, з іншого боку, якщо немає підстав вважати, що імовірність виникнення першого стану природи істотно перевищує імовірність події виникнути од-ному з чотирьох інших станів природи, то чом’ ми повинні відхи-ляти другу альтернативу? Адже в чотирьох із пяти можливих ста-нів природи друга альтернатива є кращою, аніж перша.

Повернемося до правила відкидання альтернатив, що доміну-ються іншими альтернативами. Припустимо, що одна альтерна-тива (перша) не гірша від деякої іншої (другої) у кожному з мож-

ливих станів природи, причому принаймні в одному із станів природи перша альтернатива краща, ніж друга. У подібній ситуа-ції також можна стверджувати, що друга альтернатива доміну-ється першою, тобто другу альтернативу з розгляду можна ви-ключити. Але коли взяти конкретний простий приклад з двома альтернативами і трьома можливими станами природи, у якому векторні оцінки цінностей альтернатив такі: и1 =(1;10;8) і и2 = (1; 10; 5), то побачимо, що перша альтернатива домінує другу, хоч ані критерій Вальда, ані критерій Гурвіца чітко розпізнати цю ситуацію не можуть. Отже, критерії Лапласа, Байєса—Лапла-са і Ходжеса—Лемана мають певну перевагу.

Щодо критерію Лапласа, який ґрунтується на принципі недо-статньої підстави, то тут також слід діяти обережно. Справа в то-му, що принцип недостатньої підстави не можна застосовувати у випадках, коли зовсім нічого не відомо про те, із якою імовірніс-тю може виникнути той чи інший стан оточуючого середовища. Адже у випадку повного незнання імовірностей можна вважати, що задачі 1 і 2, інформація про які наведена нижче в табл. 8.4, описують одну і ту саму ситуацію.

Таблщя 8.4

 

Задача 1                     Задача 2

Номер

альтер-нативи           Можливі стани природи    

            Номер

альтерна-тиви           Можливі стани природи

 

            пер-

ший     другий            третій  четве-ртий    

           

            пер-

ший     довільний, окрім першого

1          6          0          0          0         

            1          6          0

2          0          4          4          4                      2          0          4

Якщо виходити з принципу недостатньої підстави, то в задачі 1 за критерієм Лапласа перевагу слід віддати другій альтернативі:

и1 =— (6 + 0 + 0 + 0) = 1,5; И2 =— (0 + 4 + 4 +4) = 3,

4          4

у той час як у задачі 2 за цим же критерієм кращою виступає пе-рша альтернатива:

-     1 /       \        -      1 /       \

и1=— (6 + 0J = 3; U2 =—\0 + 4)=2 .

2          2

Але якщо немає інформації про імовірності виникнення мож-ливих станів природи, то чому вихідну задачу 1 не можна заміни-ти задачею 2? 3 іншого боку, якщо ОПР вважає, що заміна задачі 1 задачею 2 не є тотожною, то це свідчить про те, що ОПР усе-таки має певне уявлення про імовірності виникнення різних ста-нів природи.

He варто вважати, що навіть об’єктивна інформація про імовірності можливих майбутніх станів оточуючого середови-ща значно спрощує проблему вибору. Наприклад, у ситуації, коли інвестиції в $ 20 тис. можуть з однаковими імовірностями (по 12) або дати нульовий валовий прибуток, або валовий при-буток у розмірі $ 100 тис, тоді очікуваний чистий прибуток

буде складати: —-0н—100-20 = 30 ($,тис). Це нібито свідчить

2 2 про доцільність інвестування $ 20 тис. Але коли один із під-приємців вважає, що втрата ним $ 20 тис. призведе його до ба-нкрутства, а другий підприємець має н.задіяний капітал на су-му, що значно перевищує $ 20 тис, їхня реакція на цю ризиковану пропозицію буде різною.

Одночасно з показником очікуваного прибутку часто ви-користовують показник дисперсії (варіації) можливого при-бутку.