7.3. Планування багаторазової


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 

Загрузка...

заміни обладнання на однотипне

для обмеженого планового періоду

Якщо інтенсивність використання обладнання висока, а три-валість планового періоду велика, доцільно передбачити можли-вість багаторазової заміни обладнання продовж планового пері-оду, якщо це є технічно необхідним або економічно виправ-даним.

Нехай Т— тривалість планового періоду (Т >2), t — номер окремого часового проміжку з цього періоду; t = \,Т . На почат-ку планового періоду встановлено нове обладнання, але з ча-сом його експлуатаційні якості погіршуються, тому постає пи-тання доцільності заміни на нове однотипне. Через j позначатимемо номер часового проміжку експлуатації нового обладнання, якщо рахувати з моменту введення до дії цього обладнання. Нехай Co — вартість нового обладнання, г(у') -експлуатаційні витрати протягом j -го часового проміжку ви-користання цього обладнання, S{j) - - ліквідаційна вартість обладнання через j проміжків часу його експлуатації, j = \,Т. Наведені вартісні показники будемо вважати відомими та не-змінними протягом планового періоду.

Заміну обладнання у плановому періоді можна здійснювати багато разів. Але щоразу кожна така заміна має відбуватися лише на початку відповідного проміжку часу. Отже, у разі необхіднос-ті заміну обладнання можна зробити на початку другого, третьо-го, і так далі, нарешті — на початку останнього Т-то проміжку

часу, тобто є можливість замінювати обладнання навіть (7і- 1) разів упродовж планового періоду.

Задача планування багаторазової заміни обладнання на однотипне полягає у знаходженні саме таких проміжків часу, заміна обладнання в котрих супроводжуватиметься найменшими загальними витратами, пов'язаними з експлуатацією та замінами обладнання протягом усьо-го планового періоду. /Щоб спростити задачу, необхідність дискон-тування різночасових доходів або витрат не враховуватимемо/

Планування багаторазової заміни обладнання зручно здійсню-вати за методом динамічного програмування. Для цього уведемо

функції Zt(j\ j = \,t-\, t = 2,T, які означатимуть оптимальні витрати, пов'язані з експлуатацією та необхідними замінами об-ладнання в період з ?-го до Т-то проміжків часу включно, за умов, що на початок (t -1) -го проміжку часу використовувалося обладнання, якому на кінець (t -1) -го проміжку «виповнюється» j часових проміжків експлуатації.

Наприклад, якщо j = t -1, TO це свідчить про те, що у (t -1) -му часовому проміжку використовувалося обладнання, яке було встановлене ще на початку планового періоду, тобто що досі за-міни цього обладнання не відбувалося. Навпаки, якщо j = 1, то це свідчить про факт оновлення обладнання на початку (t -1) -го проміжку часу. Нарешті, у проміжному випадку, коли 1 < j < (t -1), йтиметься про експлуатацію у (t-V) -му проміжку плано-вого періоду такого обладнання, яке було поновлено на початку (t - j) -го проміжку. Скажімо, Z2 (5) означає, що йдеться про оп-

тимальні витрати за період часу від п'ятого до останнього Т-го проміжку часу включно за умов, що у четвертому проміжку часу використовувалось обладнання, яке було введено в дію на почат-ку третього часового проміжку (рис. 7.2).

 

Момент          останнього               

оновлення обладнання        Період

при визначенні Z. (2)           для визначення        

                        Z,(2)

5         

            1          2          3          4          5                      Т         

                        Г          ланс    вий     ПЄРІ   зд                    Календарний час (у проміжках)

Рис. 7.2.

Метою розв'язування задачі є визначення величини Z2(l). Ос-

новою для цього слугують функціональні рекурентні рівняння, за-

сновані на принципі оптимальності динамічного програмування:

(якщо на початку Г-го

проміжку  часу  будемо

 ,          \Са + г(і)- S(j) -5(1)    замінювати обладнання)

ZJj) = min        ;'          '      (7.17)

[r(j + l)-S(j +1)            (якщо   на  початку   і-го

проміжку часу обладнан-

ня не замінюватимемо)

U = hT -1);

(якщо на початку  ?-го

 [С0 + r(l)-5(7') + Z, ,(1) проміжку  часу  оудемо

Z,0' =min      .    ;'        замінювати обладнання)     10Л

r( /+ l) + z,,1( /+ 1)      /           ^     (7.ІО)

L   ^     г+^      (якщо на початку   ?-го         '

проміжку часу обладнан-

ня не замінюватимемо)

(t = 2,T,   j = \,t — X).

Кожне з рівнянь (7.17), (7.18) охоплює два випадки:

•          або на початку чергового t -го проміжку часу (t = 2, Т) замі-ну обладнання буде проведено (верхній рядок);

•          або у t -му проміжку використовуватиметься обладнання, яке експлуатувалося у попередньому (t - 1)-му проміжку, тобто на початку t -го проміжку заміни обладнання не відбуватиметься (нижній рядок).

У рівняннях (7.17) вираз С0 + r{[)- S(J) - S(l) відповідає витра-там в останньому Т-му часовому проміжку планового періоду у випадку заміни обладнання на початку цього проміжку часу. Ви-раз r(j + l)-S(j + \) відповідає витратам останнього часового проміжку, якщо на ньому заміни обладнання не відбуватиметься. Мінімальний із зазначених виразів визначає оптимальну поведін-ку, якщо брати до уваги лише останній часовий проміжок плано-вого періоду.

В рівняннях (7.18) вираз C0+r(L)-S(J) + Zt+1(V) відповідає витратам протягом періоду \t,T\, якщо на початку ?-го промі-жку часу буде проведено заміну обладнання, після чого в пері-од [ґ + 1,г] сукупні витрати за цей період будуть оптимальними. Вираз r{j +1) + Z(+1 {j +1) дорівнює витратам протягом періоду \t,T\, якщо на початку ?-го проміжку від заміни обладнання

відмовитись, а далі, починаючи з (t + 1)-го проміжку і до кін-ця планового періоду, діяти в оптимальний спосіб. Отже, міні-мум двох зазначених виразів відповідає оптимальному способу дій за весь період часу від ?-го до Т-то часових проміжків включно.

Послідовно опрацьовуючи рівняння (7.17), (7.18) для всіх зна-чень t від Т до 2 /тобто з кінця планового періоду/, знайдемо значення Z2 (1), яке відповідає мінімальним витратам упродовж усього планового періоду, тобто визначає оптимальний план. Це означає, що задачу багаторазової заміни обладнання на однотип-не буде розв'язано.

Примітка. Значення Z2 (1) не включає витрат першого часово-го проміжку, оскільки це первісні витрати обумовлені раніше ух-валеними рішеннями (щодо обладнання, яке використовується на початку планового періоду) та не залежать від плану подальших дій, який підлягає визначенню та оптимізації.

Приклад 7.2. Для періоду тривалістю два роки з покварталь-ною розбивкою визначити оптимальний план заміни обладнання на однотипне за даними, що наведені у табл. 7.2.

Таблщя 7.2

 

Показник, позначення         Квартал періоду експлуатації (/)

 

            1          2          3          4          5          6          7          8

Експлуатаційні  витрати  про-тягом кварталу, r(j)           5          5          6          6          7          8          9          10

Ліквідаційна  вартість   на  кі-нець кварталу, S(j) 95        85        80        75        70        60        50        40

Вартість нового обладнання: Co = 1300

Процес розв'язування задачі подамо таким восьмикроковим (за кількістю проміжків часу — кварталів — в межах планового періоду — двох років) алгоритмом.

1-й крок. Обчислюємо оптимальні витрати Z8 (j), j = 1,7 , для останнього восьмого кварталу планового періоду користуючись формулою (7.17):

• /С0 + г(і) - S{j) - 5(1) \r(j +1) - S(J +1),

тобто

„ , .,       .   [і00 + 5-5Т/)-90 = 15-S(j) [r(j +1) - 0(7 +1).

Результати обчислень заносимо в табл. 7.3. В ній для кожного із значень j від 1 до 7 відповідне значення Z8 (7) у j -му стовп-чику виділено жирним шрифтом. Скажімо, Z8 (6) = -45 - - це мі-німальне з чисел шостого стовпця; воно відповідає рішенню за-мінити на початку восьмого кварталу обладнання, якщо йому «виповнюється» 6 кварталів експлуатації, на нове.

Таблщя 7.3

 

Z8 (7) :            1          2          3          4          5          6          7          Альтер-натива

15 - 5(7)          -75      -70      -65      -60      -55      -45      -35      Замі-нюємо

r(J +1) — S(j +1)        -80      -74      -69      -63      -52      -41      -30      He замі-нюємо

2-й крок. Знаходимо оптимальні витрати Z7 (7), 7 = 1,6, для періоду, що охоплює сьомий та восьмий квартали, користуючись формулою (7.18) при t = 1 та даними табл. 7.2, 7.3:

.  ]С0 + r(l)-5'(7) + Zg(l)

Z7 (7) = vam{   0

[r(J +1) + Zg (7 +1)

тобто

 

 , .        .   fl00 + 5-5(7) + (-80) = 25-5(7) Z,(/) = mn

lr(7 + l) + Zg(7+l).

Результати фіксуємо y табл. 7.4.

Таблщя 7.4

 

 

Z7 (7): 1          2          3          4          5          6          Альтер-натива

25 - 5(7')         -65      -60      -55      -50      -45      -35      Замі-нюємо

r(7 + 1) - 5(7 + 1)       -69      -63      -57      -48      -37      -26      He замі-нюємо

3-й крок. За даними табл. 7.2 і 7.4 знаходимо оптимальні ви-трати Z6 (7), j = 1,5 , для періоду з шостого по восьмий квартали включно за відповідними формулами (7.18):

•   I Q> + пі)— S(j) + Z7 (1)

Zfi(/) = mm<    ,

\r(j +1) + Z7 (j +1)

тобто

 , .        .   [l00 + 5-S( j)+ (-69) = 36-S(J)

ZAi) =mm<      1Ч1Ч

\r(j +1) + Z7 (7 +1)

Результати надано y табл. 7.5.

Таблщя 7.5

 

Z6 (j) : 1          2          3          4          5          Альтернатива

36 - S(j)          -54      -49      -44      -39      -34      Замінюємо

r( j + \) + ZJj +1)         -58      -51      -44      -38      27        He замі-нюємо

Коли наприкінці п'ятого кварталу буде використовуватися об-ладнання, яке знаходиться у експлуатації, то подальша оптима-льна стратегія двоїста:

— можна на початку шостого кварталу замінювати це облад-нання;

— не замінювати.

В обох випадках оптимальні витрати за період з шостого по восьмий квартал однакові.

4-й крок. Обчислюємо оптимальні витрати для періоду з п'ятого по восьмий квартали, користуючись формулою (7.18) та даними табл. 7.2 і 7.5:

.   \С0 + r{y)— S(j) + Z6 (1)

5          \rU+1)+%6 (J+1)'

або

• /100 + 5-5(7') +(-58) = 47-5(7)

5          \rU +1) + %б (J + !)•

Підсумки розрахунків для всіх j = 1,4 подамо у табл. 7.6.

Таблиця 7.6

 

Z5 (j):  1          2          3          4          Альтернатива

47 - S(j)          ^3        -38      -33      -28      Замінюємо

r( / +1) + Z, (/ + 1)      ^6        -38      -33      -27      He замінюємо

Помічаємо, що на початку п'ятого кварталу альтернативна оп-тимальна стратегія може виникнути вже двічі — при j = 2 та при

7 = 3.

5-й крок. Знайдемо оптимальні витрати для періоду з четвер-того по восьмий квартали:

•   \C0 + r\[)-S(j) + Z5(\)

\r{j +1) + Z5 (у +1),

або

.   [100 + 5-S(J) + (-46) = 59-S(J) Z,(j) = mm<

[r(j + l) + Z5(j + 1),

 

де j = 1,3 .

Результуючою є табл. 7.7.

 

Таблщя 7.7

 

 

Z4 (j):  1          2          3          Альтернатива

59 - S(j)          -31      -26      -21      Замінюємо

r( / +1) + ZAj +1)        -33      -27      -22      He замінюємо

Таким чином, на початку четвертого кварталу обладнання мі-

UCFT'TJ ттр   /~* ТТ"1 тт

6-й крок. Обчислюємо оптимальні витрати для періоду з тре-тього по останній квартали та заносимо результати у табл. 7.8:

•  JQ> +r(l)-5,(7') + Z4(l)

3          \rU +1) + z4 (у+1),

тобто

• /100 + 5-5(7)+ (-33) = 72-5(7)

3          \rU +1) + z4 (j+1),

де 7 дорівнює 1 або 2.

Таблщя 7.8

 

Z3 (j) : 1          2          Альтернатива

72 - 5(У)         -18      -13      Замінюємо

r( / +1) + Z, ( / + 1)     -22      -16      He замінюємо

Отже,  на  початку третього   кварталу  обладнання  міняти не слід.

7-й крок. Обчислення оптимальних витрат за період з другого по восьмий квартали, тобто охоплюємо фактично весь плановий період, оскільки витрати першого кварталу обумовлені вже існу-ючим на початок планового періоду обладнанням.

Маємо:

 \Ca+r\\)-S(j) + Z^(X) Z2(i) = mirK

I r(2) + Z3 (2),

тобто

.   [100+ 5-90+ (-2) = -7 z7 (1) = mm

[5 + (-16) = -11,

або Z2(l) = -ll (це другий рядок), що свідчить про недоцільність заміни обладнання на початку другого кварталу.

8-й крок (підсумковий). Потрібно проаналізувати результати розрахунків послідовно на кроках з сьомого по перший та зафік-сувати оптимальний план заміни обладнання:

•          На початку другого кварталу замінювати обладнання не потрібно;

•          На початку третього кварталу замінювати обладнання не потрібно;

•          На початку четвертого кварталу замінювати обладнання теж не треба.

Таким чином, на кінець четвертого кварталу термін експлуа-тації існуючого обладнання складатиме 4 квартали, тобто j = 4. Отже, далі слід звернутися до Zs(4) — табл. 7.6, сформована на четвертому кроці, — з чого робимо такий висновок:

•          На початку п'ятого кварталу обладнання слід замінити.

Внаслідок дії, обраної на початок п'ятого кварталу, наприкінці

п'ятого кварталу термін експлуатації обладнання дорівнюватиме 1 квартал (/ = 1), тобто на третьому кроці у табл. 7.5 слід зверну-тися до Z6(l). Це призведе до висновку:

•          Оптимальна стратегія не передбачає заміну обладнання на

початку шостого кварталу.

Аналогічними міркуваннями за табл. 7.4 і 7.3 послідовно ви-значаємо:

•          На початку сьомого кварталу обладнання міняти не слід /за інформацією про Z7(2)/;

•          Ha початку восьмого кварталу обладнання теж замінювати не слід /за інформацією про Zg(3)/.

Висноеок. Протягом планового періоду, хоча й існує можли-вість мало не щоквартального оновлення, економічно вигідно об-ладнання замінити лише один раз — на початку п'ятого кварталу.

Сукупні витрати за оптимального плану заміни обладнання дорівнюватимуть (грошових одиниць):

Z* = г(і) + г(2) + г(3) + г(4) — 5(4) + С0 + г(1) + г(2) + г(3) + г(4) - 5(4) = = 2-(5 + 5 + 6 + 6 - 75) + 100 = -6,

що відповідає величині Z2(l), якщо до неї додати експлуата-ційні витрати першого кварталу г (1). Дійсно,

Z*= Z2 (1) + г(1) = -11 + 5= -6 (грошових одиниць).

Порівняємо знайдений оптимальний план заміни обладнання з іншим — коли, наприклад, обладнання замінюватиметься на нове щоквартально. За такої стратегії витрати протягом планового пе-ріоду складатимуть:

Z' = г(1) + [С0 + г(1) - 5(1)] • 7 =

= 5 + (100 + 5 - 90)7 = 120 (грошових одиниць),

що значно перевищує рівень оптимальних витрат.

Коли замінювати обладнання на початку третього та шосто-го кварталів, загальні витрати за цим планом будуть такими (у першому рядку обчислено витрати першого та другого кварта-

лів, у другому рядку - витрати третього, четвертого та п'ятого кварталів, у третьому рядку — витрати шостого, сьо-мого та восьмого кварталів):

Z* = r(l) + г(і) + [С0 - S(l) + r(l)] + r(l) + г(з) +

+ [С0 - 5(3) + r(l)] + r(2) + [r(3) - 5(3)] =

= (5 + 5) + (100 - 85 + 5 + 5 + 6) +

+ (100 - 80 + 5 + 5 + 6 - 80) = -3 (грошових одиниць),

що теж значно менше Z', але перевищує оптимальний рівень Z*. Задачу розв’язано.

Вправа. Припустимо, що в додаток до умов прикладу 2 було обрано рішення ніколи не використовувати обладнання понад три квартали. Якою за цих умов буде оптимальна стратегія замі-ни обладнання на період тривалістю два роки?

Вказівка. В табл. 7.2 для періоду з четвертого по восьмий ква-ртали покласти щоквартальні експлуатаційні витрати такими, що дорівнюють досить великому значенню

(наприклад, г(4) = г(5) = г(6) = г(7) = г(8) = 1000),

після чого для визначення оптимальної стратегії заміни облад-нання знову скористатися методом динамічного програмування.