6.7. Сітьове планування за умов ризику щодо тривалостей операцій


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 

Загрузка...

У практичному застосуванні сітьового планування виконання проекту часом трапляються ситуації, коли одна або декілька ро-

біт можуть бути не детермінованими. Тобто тривалість ttj роботи i->j є випадковою величиною з проміжку [а;7,йу], яка має р —

розподіл з параметрами а та у.

Функція щільності імовірностей р — розподіленої на відрізку а..,Ь.. випадковоївеличинивизначаєтьсяу вигляді:

fit) = B\t - a- j (b- - tj,    a- < t < b- ,

де B, a, y ) 0; B визначається через параметри розподілу a та у за формулою:

 

В

 

1

 

\(t - at-)a (b- - t)J dt

Графік цієї функції наведено на рис. 6.24.

f\t) = B\t - a., j (bti - tj

 

 

a

\]

 

т

V

 

Ь

\]

 

(

 

Рис. 6.24.

Статистичні характеристики p — розподіленої випадкової ве-личини обчислюються за формулами:

 

— очікуване значення: ttj

 

atJ + (a + у)ту + btj

a +у + 2

— стандартне відхилення: <у-

Ь« — a J,-    | (a + 1)(y + 1)

 

a+Y+2y   a+y+3

 

ДЄ  m„ —

v

ЛИЧИНИ.

 

модальне (найімовірніше) значення цієї випадкової ве-

 

У методі PERT параметри аї уприймають значення:

 

a = 2 + v2,    y = 2 + V2.

Таким чином, для знаходження статистичних характеристик випадкової величини ttJ тривалості роботи і -> j потрібно визна-чити (як правило, експертним методом) лише три її оцінки:

—        оптимістичну (найменше значення) — atJ,

—        песимістичну (найбільше значення) — Ьц,

т„

— модальну (найімовірніше значення)

На основі наведених оцінок статистичні характеристики випа-дкової тривалості ttJ роботи і -» j обчислюються за формулами: — очікуване значення:

—     a.. + Am ■ + b-

ttj =         >       (6.23)

— стандартне відхилення:

fe   — a

С7-. = .           (0-24)

6

Якщо тривалості робіт не детерміновані, тривалість Т вико-нання проекту теж буде не детермінованою, тобто її слід розгля-дати як випадкову величину. Статистичні характеристики цієї випадкової величини обчислюються за результатами досліджен-ня сітьового графіка. Якщо у сітьовому графіку за тривалості ви-конання робіт обрати їх очікувані значення, очікувана тривалість

Т  виконання проекту збігатиметься з довжиною відповідного критичного шляху.

Дисперсію ст2(г) випадкової величини тривалості виконання проекту Т обчислюють у припущенні про статистичну незалеж-ність випадкових термінів виконання окремих робіт. Ця диспер-сія є сумою дисперсій тривалостей тих робіт, які утворюють кри-тичний шлях у сітьовому графіку з очікуваними тривалостями виконання робіт:

а2{т)=   X   о]

де U' — множина дуг, які утворюють критичний шлях.

Примітка. Якщо критичних шляхів декілька, слід обрати шлях із найбільшою дисперсією довжини.

Оскільки на тривалість Т виконання проекту впливає велика кількість різних чинників, вводиться припущення, що Т є норма-льно розподіленою випадковою величиною. Це припущення до-зволяє, зокрема, оцінювати імовірності подій завершення проект-

сігм, які притаманні нормальному розподілу:

           

правило однієі сигми:

РгГ-Т\( а(г)|« 0,6827;

— правило двох сигм:

РгГ -Т\( 2ст(г)|и 0,9545;

—        правило трьох сигм:

РіГ-Г (3ст(г)|и 0,9973.

Приклад 6.6. Розглянемо проект, який складається з восьми робіт. Структурна схема проекту та оцінки тривалостей виконан-ня його робіт наведено у табл. 6.8.

Потрібно визначити:

—        очікувану тривалість виконання проекту;

—        імовірність події, що фактична тривалість не перевищува-тиме очікувану більше ніж на 2 тижні.

Таблщя 6.8

 

Робота            Роботи, які безпосередньо передують заданій      Тривалість виконання, тижнів

 

           

            мінімальна     найімовірніша            максимальна

Р-1      —        3          5          7

Р-2      —        5          8          12

Р-3      —        2          6          7

Р-4      Р-1      7          9          14

Р-5      Р-2      4          6          11

Р-6      Р-3      9          16        20

Р-7      Р-4,Р-5           2          3          4

Р-8      Р-6,Р-7           6          10        18

Розв'язування. Побудуємо сітьову модель проекту (рис. 6.25) та обчислимо за формулами (6.23), (6.24) статистичні характери-стики (очікувані значення і стандартні відхилення) випадко-вих величин — тривалостей виконання кожної із робіт (див. табл. 6.9).

 

 

{ 7  J

 

Рис. 6.25.

Таблщя 6.9

 

Робота            Очікувана тривалість           Стандартне відхилення тривалості

Р-1      5,0       0,67

Р-2      9,5       1,83

Р-3      5,5       0,83

Р-4      9,5       1,17

Р-5      6,5       1,17

Р-6      15,5     1,83

Р-7      3,0       0,33

Р-8      10,5     1,83

Побудуємо сітьовий графік проекту, обравши очікувані три-валості виконання робіт; обчислимо часові характеристики усіх його подій (вершин) і позначимо критичний шлях (рис. 6.26).

 

Рис. 6.26.

Критичний шлях проекту утворюють дуги 1 ^ 4, 4 ^ 6 таб^ 7. Тому очікувана тривалість виконання проекту дорівнює:

Т = 5,5 + 15,5 + 10,5 = 31,5 (тижнів).

Обчислимо дисперсію   ст2(г)  випадкової величини Г-трива-лості виконання проекту:

а2[Т)= 0,832 +1,832 +1,832 =7,4467 .

Отже, стандартне відхилення  <т2(г) випадкової величини Т тривалості виконання проекту дорівнюватиме:

а[Т) = д/7,4467 » 2,73 (тижні).

Обчислимо імовірність події, що проект буде завершено не пі-зніше, аніж за 31,5 + 2 = 33,5 тижнів. Для цього скористаємося функцією розподілу імовірностей нормальної випадкової вели-чини Тз параметрами Т = 31,5 та ст(г) = 2,73. Маємо:

Р{Т < 33,5}= NORMRASP(33,5; 31,5; 2,73; l)= 0,768 ,

тобто шукана імовірність є достатньо високою. Задачу розв'язано.

Запитання для самоперевірки знань та завдання для самостійного розв'язування

1.         Назвгть основнг характеристики задач упорядкування та коор-динацгг.

2.         Сформулюй’е задачу календарного планування та назвгть осно-внг методи гхрозв 'язування.

3.         Назвгть сфери застосування сгтьових графгкгв.

4.         Назвгть основнг елементи сгтьового графгку та запишіть мето-дику побудови сгтьового графіку.

5.         Дайте визначення понять: критичний шлях, часовий резерв.

6.         Яка основна гдея методу гглок та меж? В чому його особли-вгсть?

7.         Як виконуєтьсярозгалуження?

8.         Як змгнюються значення оцгнок при розгалуженні множини до-пустимих розв ’язкгв на підмножинні в методг гглок та меж?

9.         Назвгть ознаки одержання замкнутого г оптимального маршру-тгв у задачг комівояжера.

10.       Як визначається критичний шлях проекту?

 

Шия7