6.6. Сітьове планування з урахуванням вартості виконання робіт


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 

Загрузка...

Тривалість виконання окремих робіт може бути скорочена за рахунок залучення додаткових фінансових ресурсів. У таких ви-падках залежність вартості виконання проекту від терміну його виконання є спадною: більшій тривалості виконання проекту від-повідають менші витрати, і навпаки — меншій тривалості вико-нання проекту відповідають більші витрати.

Але при затримці із закінченням проекту можуть мати місце додаткові збитки, пов’язані із штрафами за порушення умов кон-тракту на виконання проекту. Тобто залежність втрат, пов’язаних із запізненням завершення проекту, є зростаючою від тривалості строку виконання проекту.

Постає проблема визначення такої стратегії виконання проек-ту, при якій загальні витрати, що пов’язані із виконанням проекту і з втратами внаслідок затримки із його завершенням, будуть мі-німальними (рис. 6.17).

 

Рівень

мінімальних

загальних

витрат

(3)

Витрати A

 

Оптимальний термін виконання

 

Рис. 6.17

Опрацюємо спочатку питання про оптимізацію сітьового гра-фіка за показником вартості виконання проекту для випадку, ко-ли задано директивний термін завершення всього комплексу ро-бітГ,.

Нехай {1,2,...,п} — множина вершин сітьового графіка, U — множина його дуг. Припустимо, що тривалість ttj роботи (i,j е и) може змінюватись у певних межах від dtJ до DtJ одиниць часу, де DtJ — тривалість виконання цієї роботи, скажімо, у нормативно-му режимі, a dtJ — тривалість її виконання у максимально при-

скореному режимі.

Нехай ctJ — вартість виконання роботи (i,j) у нормальному

режимі, a  ctJ + ActJ — витрати на п виконання у максимально

прискореному режимі. Припустимо, що залежність вартості ztj

від тривалості виконання ttJ є лінійною:

 

zij = cij "'          ^cij,    "ІІ — hi — D« ,

D- — d--

 

(6.17)

 

що ілюструє рисунок 6.18.

 

Вартість

'.]

c + Ac

ij          ij

Z

 

'.]

 

D

 

Тривалість виконання t

 

Рис. 6.18.

Тоді задача оптимізації сітьового графіка за показником міні-мізації загальної вартості z виконання проекту, з урахуванням

вимоги завершення проекту у заданий директивний термін Td, набирає вигляду:

(6.18) (6.19)

Знайти ttj,   гц,   Ті,   Tj,   і, j = \,п , що належать області G , ви-значеної умовами:

if          if

Ti+t9^Tj>   {hj)^U

du <*«< Du;

 

T. > 0 ;    T <T,

 

(6.20)

 

i мінімізують функцію цілі:

 

z =

 

(ijhu

 

cu +

 

Dy-ty

D- - dt-

 

Ac

 

(6.21)

 

Задача (6.18)—(6.21) є задачею лінійного програмування з двосторонніми обмеженнями на ty. Якщо її розв'язок існує, тоб-

то коли є можливість виконати проект за директивний термін Td, результатом розв'язування задачі будуть такі тривалості вико-нання кожної з робіт t*, (і, j)eU, за яких вартість виконання z*

всього проекту буде найменшою.

У загальному випадку задачу оптимізації сітьового графіка з урахуванням часу та вартості можна розглядати як двоцільову проблему:

 

Тп —>min,

z -» min,

 

(6.22)

 

в якій перша цільова функція орієнтує на най скоріше вико-нання проекту (терміну настання кінцевої події), а друга — на мінімізацію витрат, пов'язаних із виконанням проекту. Обме-ження (6.18)—(6.20) визначають множину допустимих планів.

Таким чином, задачу (6.18)—(6.21) слід розглядати лише як спрощений підхід до розв'язання цільової проблеми оптимізації сітьового графіка. Наступним кроком здійснення цільової опти-мізації буде дослідження задачі (6.18)—(6.21) як параметричної відносно директивного терміну виконання проекту Td . Це дозво-лить визначити залежність оптимальноі вартості z від Td (рис. 6.19), що є корисним для узгодження термінів виконання проекту та необхідних для цього витрат.

 

max

n

Z

 

Рис. 6.19.

Приклад 6.5. Розглянемо проект, сітьова модель якого наве-дена на рис. 6.20, а показники тривалості та вартості кожної із робіт надані у табл. 6.7.

2

 

Р-1

 

Р-3

 

 

 

1

Р-2

3

Рис. 6.20.

Таблщя 6.7

 

Робота, дуга   Тривалість, місяців   Вартість, тис. грн

 

            мінімальна     максимальна  максимальна  мінімальна

Р-1 (1, 2)        3          5          10        6

Р-2 (1, 3)        5          8          15        12

Р-3 (2, 3)        3          4          8          5

Необхідно визначити тривалість та вартість виконання проек-ту за умов:

—        тривалість кожної із робіт буде максимальною;

—        тривалість кожної роботи буде мінімальною.

Побудувати графік залежності оптимальної вартості виконан-ня проекту від директивної тривалості його виконання Td .

Розв'язування 1. Побудуємо сітьовий графік проекту, обра-вши за тривалості робіт максимально можливі терміни їх вико-нання. Обчислимо також часові характеристики L, Е усіх подій та повні резерви часу Мусіх робіт подій проекту (рис. 6.21).

5 5

2

 

0 0

1          J

 0         8          ч 0

>          9 9

3

                        1 Рис. 6.21.               

Таким чином, максимальна тривалість виконання проекту Г3тах = 9 (місяців). Оскільки кожна з робіт виконуватиметься з мінімальною вартістю, робимо висновок, що оптимальна вартість проекту при Td > 9 дорівнюватиме 6 + 12 + 5 = 23 (тис. грн).

2. Проаналізуємо тепер проект за умов, коли тривалість вико-нання кожної з робіт буде мінімальною (рис. 6.22).

3 3

2

 

3

 

 0

 

3 0

 

 

 

1

 

4

1 Рис. 6.22.

 

3

 

190

 

Мінімальна тривалість виконання проекту Т3тт = 6 місців. Проте оптимальна вартість виконання проекту за 6 місяців не дорівнюва-тиме сумі максимальних вартостей виконання кожної із робіт 10 + + 15 + 8 = 33 (тис. грн). Це пояснюється тим, що робота (1, 3) не є критичною та має резерв часу М(1, 3) = 1 міс. Отже, якщо цю ро-боту виконати не за 5, а за 6 міс, тривалість виконання проекту не збільшиться. Але зменшиться вартість виконання роботи (1, 3) оскільки  z13  (5 міс.) = 15 тис. грн /табл. 6.7/, a  z13  (6 міс.) =

=  12 ч (15 -12j = 14 (тис. грн) /формула (6.17) та вихідні дані з

8-5 табл. 6.7./, тобто оптимальна вартість виконання проекту за 6 міс. дорівнюватиме 10 + 14 + + 8 = 32 (тис. грн).

3. Щоб побудувати графік залежності оптимальної вартості виконання проекту z* від директивної тривалості його виконання Td(6<Td <9), складемо задачу параметричного лінійного програ-мування, обравши за параметр Td :

Знайти tn, tl3, t23, Тх, Т2, Т3, що належать області G , визначеної умовами:

3 < tn < 5,   5 < tl3 < 8,   3 < t23 < 4 ,

7; + ?12<r2,  ^+^з^Гз,  T2 + t23<T3,

Тх > 0,    Т3< Td і мінімізують функцію цілі:

z = z12 + z13 + z23

 

с       4 ~ ?23

54        3.

де: z,

= 6 ч    4;    z13 = 12 ч            3;

Розв'язок задачі параметричного програмування наведено на рис. 6.23. Бачимо, зокрема, що коли директивну тривалість прое-кту обрати такою, що дорівнює 8 міс. (Td = 8), оптимальна вар-

тість виконання проекту дорівнюватиме 25 тис. грн (z = 25).

 

32 29 z* 26 23 20

67        И

Рис. 6.23.

Досі при плануванні проекту враховувалися лише витрати, що пов'язані із скороченням термінів виконання окремих робіт. Далі опрацюємо питання про те, як додатково врахувати втрати, пов'язані із затримкою з виконанням проекту.

Отже, нехай Td -- нормативний термін завершення проекту, s -- втрати, що пов'язані із затримкою закінчення проекту на одиницю часу понад нормативний термін його виконання.

Час затримки із виконанням проекту t обчислюється за фор-мулою:

Го, якщо Т <Т,, \Тя-Та,шщоТя)Та,

де Тп — термін настання кінцевої п-ої події сітьового графіка.

Тому додаткові витрати через затримку завершення проекту складуть величину st грошових одиниць. Щоб врахувати ці ви-трати при оптимізації сітьового графіка за показником мінімізації загальної вартості, до економіко-математичної моделі (6.18)— (6.22) слід ввести такі корективи:

1)         замінити цільову функцію (6.22) на функцію:

z =   £   zij + st ^ min ,

яка враховує як витрати, що пов'язані із виконанням проекту (пе-рший доданок), так і втрати внаслідок закінчення проекту із запі-зненням понад нормативний термін Td (другий доданок);

2)         обмеження (6.20) (Тп <Td) замінити умовами, які відбива-

ють можливість запізнення із закінченням проекту на термін V.

Tn<Td + t,   t>Q.

В оптимальному плані скоригованої задачі значення t змінної t задовольнятиме умову:

t* = max|0;Т* - Td ]

тобто являтиме собою оптимальний термін можливої затримки із завершенням проекту понад нормативний термін Td, якщо це технологічно необхідно та економічно виправдано.