5.5. Одноканальна система масового обслуговування з очікуванням


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 

Загрузка...

Системи цього типу діляться на два класи:

розімкнута система з необмеженим джерелом потоку вимог, наприклад, покупці в магазинах, пасажири в метро;

замкнута система має обмежений потік вимог. Наприклад, системи налагодження верстатів у цеху, пристроїв у майстерні і т. ін. В таких системах загальне число циркулюючих вимог кін-цеве і частіше всього постійне.

Нехай потік запитів на обслуговування є випадковим пуасо-нівським потоком з інтенсивністю L

Якщо у момент надходження запиту канал обслуговування вільний, запит потрапляє на обслуговування. У супротивному випадку — коли канал обслуговування зайнятий, запит стає до черги.

Кількість запитів, які можуть одночасно перебувати в чер-зі, не обмежена. За правило обслуговування черги оберемо принцип: «Раніше надійшов — раніше обслуговується». Це означає, що коли канал закінчить обслуговування та звіль-ниться, він почне обслуговувати запит, який потрапив до чер-ги першим.

Тривалість обслуговування одного запиту вважатимемо випа-дковою величиною, яка має експоненційний закон розподілу з параметром ц , який характеризує потенційну продуктивність ка-налу обслуговування і дорівнює середній кількості запитів, яку канал може обслугувати протягом одиниці часу у випадку його безперервної роботи.

Потрібно знайти показники ефективності зазначеної однока-нальної СМО з необмеженою чергою.

Від моменту початку роботи СМО режим її функціонування буде нестаціонарним, у випадку, коли інтенсивність А, вихідно-го потоку запитів на обслуговування перевищує потенційну продуктивність |І каналу обслуговування (к) |І) , нестаціонар-ний режим зберігатиметься і надалі, причому черга та середній час очікування запитами на обслуговування необмежено збі-льшуватимуться. Аналогічний нестаціонарний режим зберіга-тиметься у випадку, коли інтенсивність вихідного потоку 1 до-рівнює продуктивності каналу обслуговування |І(^=|І). Це пояснюється тим, що випадковий характер вихідного потоку та випадкова тривалість часу обслуговування призводитимуть до безкомпенсаційних втрат кожної хвилини простоїв каналу об-слуговування.

У випадку, коли інтенсивність вихідного потоку менша від продуктивності каналу обслуговування (X ( |І), система масового обслуговування через певний час від початку її роботи увійде у стаціонарний режим функціонування. Щоб знайти показни-ки ефективності цієї СМО, розглянемо наступні випадкові події (£= 0, 1, 2,...):

Skit) = {В момент часу t в системі перебуває к запитів},

Skit + At) = {В момент часу (t + At) в системі перебуває к запитів}.

Вважаючи проміжок часу At досить малим, для характеристи-ки стаціонарного стану СМО достатньо оцінити імовірності на-ступних змін стану цієї системи:

1)         Skit) —> Sk+i(t + At) — за проміжок часу At до системи на-дійшов один запит, причому жодний запит цю систему ще не за-лишив;

2)         Sk(t) —> Skit + At) — за проміжок часу At або до системи не надійшло жодного запиту та жодний запит цю систему не зали-шив, або ж до системи надійшов один запит та один запит систе-му залишив;

3)         Sk(t) —> Sk-i(t + At) — протягом At систему залишив один із запитів, але нових запитів до системи не надійшло.

Зазначені переходи СМО зі стану Skit) за проміжок часу At по-казані на рис. 5.5. Усі інші можливі переходи залишили поза ува-гою, оскільки їх імовірності при At —> 0 є нескінченно малими більш високого порядку малості, аніж імовірності переходів, що розглядаються.

Знайдемо імовірності зазначених переходів.

 

Рис. 5.5.

P{Sk{t)^Sk+1{t + At)}*XAt{l-iiAtl

P{Sk(t)-+Sk(t + At)}~ (l-A,A?)(l- ц A?) + A,Л?|ІAt, P{Sk (?) -> Si4 (f + A?)} * (l - X Л?)|І At.

Зараз було враховано імовірності основних подій, які можуть статися в системі за проміжок часу At; ці імовірності наведено у табл. 5.1.

Таблщя 5.1

 

Подія   Імовірність, наближено

He надійшло жодного нового запиту         1 -XAt

Надійшов точно один запит            XAt

He вибуло жодного запиту  1 - \iAt

Вибув точно один запит      \iAt

Наведені  співвідношення  дозволяють   отримати  залежності між імовірностями станів St(t) та Silt + At):

P{Sk (t + At)} * P{Sk (?)}[(l - X At\\ - |i At) + A, A?|i At] + + />{£*_! (t)}X At(l - |i At) + P{Sk+1 (?)}(l - X Л?)|І A?,

якщо k > 1 та

P{50 (ґ + Аґ)} « P{50 (ґ)}(і - A Аґ) + PJSj (ґ)}(і - A АҐ)|ІАҐ , якщо к = 0. Перепишемо ці залежності у такий спосіб:

+ 2Р{5^ (?)}Я, |І At + і5^ (?)}Я, (І - |І А?) + Р{5^+1 (?)}(! - X А?)ц

якщо к > 1 та

P{S0{t + At)}-P{S0(t) At

 

~ -P\S0 (t)}x + PjSj (?))(l - A, Л?)|І , якщо k = 0.

У стаціонарному режимі імовірності станів S^t) системи у часі не змінюються, тому похідні цих імовірностей за змінною часу t мають дорівнювати нупю. Таким чином, після переходу в отри-маних залежностях до границі при At —> 0, їхні ліві частини пере-творяться на нуль, а щодо самих імовірностей P{Sk{t)\, які позна-чимо через рк, одержимо систему лінійних рівнянь:

рк[к+\і) +рк_17^ +рк+1\і=0,   к = 1,2, р0Х + р1\і=0,   к = 0.

(5.19)

Враховуючи додатково рівняння

р0 + /»!••• + Рк +••• = !,        (5.20)

(воно означає, що у будь-який момент часу СМО знаходиться лише в одному і тільки одному з її можливих станів) остаточно знаходимо розв'язок системи (5.19), (5.20):

рк = P\Sk{t)} = (l-p)p*,   к = 0,1,2,...,           (5-21)

де

р = — < 1,      (5-22)

р — показник, який отримав назву навантаження на СМО.

Формули (5.21), (5.22) дозволяють визначити всі показники ефективності одноканальної СМО з необмеженою чергою, коли система перейшла у стаціонарний режим функціонування. A са-ме:

1)         середня кількість запитів у системі:

М=^крк=        ;           (5.23)

2)         середня кількість запитів у черзі (середня довжина черги):

М=0-рп + У(к-і)р,=   ;           (5.24)

tiK      ;Гк    1-р

3) середній час перебування запита в системі:

М        р          1

v =

X     А.(1-р) ц(1-р) 4) середній час очікування у черзі:

(5.25)

М,       р2        р

Ю = 1Г = І(1^) = ^);  (5.26)

5)         середній час обслуговування одного запиту:

v = v — ю = —7        г—т     г = —; (5.27)

іД1-р)    |і(1-р)    |І

6)         середня завантаженість обслуговуючого пристрою (відсо-

ток часу, коли канал обслуговування працює):

1- р0 = р ;       (5.28)

7)         імовірність утворення черги:

P{Sk(?))1} = 1 - р0 - р1 = р2.           (5.29)

Зазначимо, що формулу (5.23) одержуємо, враховуючи умову 0 < р < 1, шляхом перетворень:

CO      CO      CO      CO

ЦкРк = Т.Щ~РР   = 0 +   1к(1-ррк = 1-pjp1^P*-1 =

k=0      k=0      k=\       k=

р

\~* r\^

(1 — PJP

(,'1 — pjf

L1-pj,        (1_p)21_p

Формула (5.24) є результатом таких перетворень:

CO      CO      CO      Г)        /

мч = Т{к~1Рк = ТкРк-ТРк = {1-Р0) =

к=1      к=1      к=1      1 - р

Р     г,   и     м      Р     Р2

[1 - (1 - р )\ =  р -

(1-P)P1

1-p      1-р       1-р

Отже черга починає утворюватись лише тоді, коли кількість запитів, що знаходяться в одноканальній системі, більша від од-ного.

При обчисленні середнього часу перебування запиту в системі або в черзі /формули (5.25)—(5.26)/ враховано, що середня кіль-кість запитів, які надходять до СМО за одинцю часу, є інтенсив-ністю вихідного потоку X.

Формула (5.27) щодо середнього часу обслуговування одного запиту є очевидною, оскільки параметр ц якраз і характеризує продуктивність обслуговуючого пристрою.

Формула (5.28) додатково розкриває зміст р-показника наван-таження на систему /див. також його означення (5.24)/. А саме, значення р збігається з імовірністю події, що в СМО знаходиться принаймні один запит на обслуговування. Коли ж таких запитів є щонайменше два, утвориться черга. Імовірність цієї події обчис-люється за формулою (5.29).

Приклад 5.1. До каси попереднього продажу авіаквитків що-

години у середньому підходить три пасажири: А, = 3. Середня тривалість обслуговування касиром одного пасажира— 15 хви-

лин

касу дорівнюватиме:

60    Л  „         .

ц = — = 4  . іа таких умов згідно з (5.22) навантаження на

X     3 р = — = — . |І     4

Це означає, що у стаціонарному режимі система обслугову-вання пасажирів характеризується такими показниками:

1)середня кількість пасажирів, що перебувають у касовому залі:

0,75

М =     = 3;

1-0,75

2)         середня кількість пасажирів, що стоять у черзі та очікують

на обслуговування:

(0,75)2

мч =    = 2,25 ;

1-0,75

3)         середній час перебування пасажира у касовому залі:

v = —= 1 (год.); 3

4)         а середній час очікування у черзі:

2.25     г          r

ю =      = 0.75 (год.) = 45 (хв.)

3

5)         середній час обслуговування пасажира касиром — 15 хв.;

6)         середня завантаженість каси — 45 хв., тобто в середньому 15 хв. на 1 год. касир вільний від обслуговування;

7)         імовірність утворення черги:

P{Sk{t)> 2} = (0.75)2 =0.5625.

За формулою (5.21) обчислимо імовірності подій, що у касо-вому залі одночасно знаходиться k пасажирів (к = 0, 1, 2,...). Ре-зультати обчислення імовірностей перших десяти із зазначених подій імовірності рк подій, пов'язаних із одночасним перебуван-ням у касовому залі к пасажирів (к = 0, 1,..., 9), якщо встановлена лише одна каса наведені у табл. 5.2.

Таблиця 5.2

 

Кількість пасажирів, к          0123456789

Імовірність, рк                                                                                                                    

Отже, імовірність одночасного перебування у касовому залі

великої кількості пасажирів є досить малою (рк < 0.01 при к > 8),

водночас імовірність утворення черги, коли к = 8 і наявна лише

одна каса, є відчутною (1-

Ро ~ Рі = Ро = 0.5625].

Саме тому середня тривалість очікування в черзі (45 хв.) та

середня тривалість перебування пасажира у касовому залі до за-

кінчення його обслуговування (1 год.) є великими.