5.2. Характеристика вхідного потоку запитів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 

Загрузка...

Потік запитів на обслуговування вважається імовірнісним. Те-

визначальними властивостями:

1) ординарність в кожний момент часу може надійти не більше одного запиту на обслуговування. Тобто виключаються ситуації, коли одноча;но до системи може надійти декілька запи-

Тт2)в^тністТ^слядії- для кожного моменту часу кіль-кість запитів, які надійдуть у майбутньому, не залежить від кіль-

3)^^^н^І—ііо^^;дходження до системи певної кількості запитів за певний проміжок часу залежить лише від довжини цього проміжку та не залежить від моменту часу, коли починається цей проміжок.

Позначимо через п (t) кількість запитів на обслуговування, які надійдуть до сист’ми за проміжок часу [0; і). Це дискретна випа-дкова величина. Зясуємо її закон розподілу. Для цього слід знай-ти наступні функції:

pk\t) = P\n(tj = к], к = 0,1,2,...,

де Р{•} означає імовірність події {•}, pk{t) — імовірність того, що за проміжок часу t до системи надійдуть к запитів на обслуговування. Очевидно, що

0 <pk(f)<1,k = 0,1,2,...,          (5.1)

ЛРк\Ч = 1.      (5.2)

к=0

Розглянемо математичні властивості найпростішого потоку

3аП^Гн«^ГГт™означає, що для проміжку часу [0, At) нескінченно малої довжини At > 0 імовірність події, що до систе-ми надійде точно один запит, є нескінченно малою одного поряд-ку малості з At:

Pi\At) = X At + o(At), (5-3)

a імовірність того, що надійде більше одного запиту, є нескінчено малою вищого порядку малості, аніж At:

J^pk(At) = o(At).        (5-4)

к=2

3 співвідношень (5.2)—(5.4) слідує, що

p0(At) = 1 - X At + o{At).      (5-5)

Відсутність післядії означає, що події, пов'язані із надхо-дженням до системи певних кількостей запитів на проміжках ча-

СУ' SZ^

довжину певного проміжку часу, не беручи до уваги, коли цей

проміжок розпочинається. Це дозволяє записати співвідношення:

рк (t + At) = ]Г рк_, (t)p, (At).           (5-6)

1=0

Зокрема, при к = 0 одержимо:

р0 (t + At) = р0 (t) ■ р0 (At).

Скористаємося рівністю (5.5):

p0(t + At) = р0(ф -XAt + o(At)).

3 цього рівняння слідує:

p0(t + At)- pJt)      .      Ґ\        Ґ \o(At)

^          ^^ = -X рМ) + рп (t I^—.

At        w        w   At

Нехай в останньому рівнянні At —> 0, тоді отримуємо:

P^(t) =-X p0(t).           (5.7)

За початковою умовою р0(0) = 1, яка є наслідком (5.5), знахо-димо розв'язок диференціального рівняння (5.7):

p(t) = e~1'.      (5.8)

Далі з рівняння (5.6), враховуючи співвідношення (5.4), (5.5) і (5.3), при к > 1 одержимо:

Рк (t + АО = рк (t)p0 {At) + рк_, (t)Pl {At) + o{At) = = pk (?)(l - X At + o{At)) + /»^_j {t)(X At + о(Л?)) + o{At), k = 1,2,...'

Розділимо обидві частини кожного з цих рівнянь на At > 0 та перейдемо до границі при At —> 0. це призведе до системи реку-рентних диференціальних рівнянь:

p'k{t) = -Xpk{t) + Xpk_1{t), k = 1, 2,...,       (5-9)

з  початковими умовами   рк{0)=0, к = 1,2,..., які  є наслідком (5.3), (5.4).

Розв'язок системи диференціальних рівнянь (5.9) pk{t), що об-

числюється залученням допоміжних функцій qk(t) = ел  {к = 1,2,...), буде таким:

U  .V:   -1а

pk(t) =-           ,к = 1,2,...        (5.10)

к\

Таким чином, імовірнісний розподіл випадкової величини n(t) — кількості запитів, які надійдуть до СМО за проміжок часу [0; t), визначається функціями (5.8), (5.10), де X — параметр цього розподілу.

З'ясуємо зміст параметру X. Для цього обчислимо середню кі-лькість n(t) запитів, які надійдуть до системи обслуговування за проміжок часу [0; t):

 

 

 k

O+YJ

-(Л   тМ   v^M^l    ->^k{Xtf     4^*И

n\t)= z_,kpk\t)= 2^      = e    £_,    —    = e

k\

k=\

k=0      t=o        k\       k=o    k\

 

= e-%,Xtf^Y    ,   =e-x'XteXt =Xt.     (5.11)

k=\ yt      ly ■

При обчисленні було використано формулу Тейлора розви-нення функції е" за змінною t при to = 0:

і,    ,    ,   о     ^2e°t    Xke°tk  ^{Xt)k~]

e    =\ + Xet +  +          + --- = ZT——\~ ■

2!         k\         k=\\k — \y.

Отже, параметр X показує середню кількість запитів, які на-дійдуть до СМО за одиницю часу:

 

X = и(1)

n{t)Xt

 =         = A =

t           t

 

(5.12)

 

і є характеристикою інтенсивності потоку запитів на обслугову-вання.

Знайдемо дисперсію випадкової кількості запитів, які надхо-дять до системи за одиницю часу:

 

-X

= е

= Є

 е-хХех=Х.

= е

л   к   -X 2 к    Є

к!

а2 [„1] = £ [к - n1jf Рк 1 =±{к- X)

к=0

к+1

к+2

00 к\

2£—

к=0   к!

-X

= е

к=0  к!

» к2\к £=0   к!

к—1

к

X

o+x2z

+ X2

=   к!

к—1

t{k-1)!

CO

^2z

t1{k-1)!

-X

" (к -1 + 1)л

= е

Х + У, 7          \          

-(к-1)!

сс

x2Z

к-1

t2    (k-1)!

к—2

X

Х + Х2^

+*£

к—1

Ґ2(к-2)!      t2{k-1)!       t1{k-1)!

к

к-1

-X

CO      'ї

 Є      A

^ + ^Ет           у

к=1 к!

)

к=2 yt     1J!

 

(5.13)

 

Тобто параметр X є одночасно і дисперсією випадкової кілько-сті запитів, які надходять на обслуговування до системи за оди-ницю часу.

У теорії ймовірностей дискретна еипадкоеа ееличина із зако-ном розподілу

 

Рк

 

 

 

~\   к   —X к    Є

к!

 

к = 0,1,2,...,

 

(5.14)

 

отримала назеу пуасоніеської. Середнє знач—ння і дисперсія пу-

питіе на обслуговування у теорії масового обслуговування теж називають пуасоніеським.

Параметр А, пуасонівського закону розподілу показує, як змі-нюватимуться імовірності рк із зростанням к. Дійсно, з (5.14) отримаємо:

 

іг к+1

к

p

 

 

 

X

к + 1

 

к = 0,1,2,...

 

Таким чином, при 0 < X < 1 послідовність {рк}^=0 спадна, а при X > 1 ця послідовність спочатку зростає, але, починаючи з номера & = |A-1J* вона стає спадною —рис. 5.2.

 

0,4 -

0,35 -

0,3 -    . А,      = 0,2 Х= 0,5                          

0,25 -                          %= 2              

 0,2 -                                       ^Х= 3 

0,15 -                                                

0,1 -                                                  

0,05 -0 -                                 ^Ю^    а~*  о—и     I І=-И    1          1

 

6

п

 

10

 

12

 

Рис. 5.2.