4.7. Динамічна однопродуктова


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 

Загрузка...

У детермінованих задачах управління запасами майбутній по-пит на продукцію вважається відомим, причому він може бути різним в різні проміжки часу протягом планового періоду. Особ-ливо значні коливання стосуються продукції легкої промисловос-ті, попит на яку істотно залежить від сезону.

Процеси планування виробництва та зберігання продукції ма-ють бути узгодженими між собою. Розглянемо ситуацію, коли утворення дефіциту є забороненим, а поточні питомі витрати лишаються незмінними протягом планового періоду. Але враху-ємо додаткові витрати, пов'язані із збільшенням або скороченням обсягів виробництва продукції, а також витрати на зберігання продукції у випадках, коли доцільно утворити певний запас гото-вої продукції перед надправленням її до споживачів.

У припущенні неможливості дефіциту виробниче підприємство може забезпечити поточний попит споживачів трьома способами:

—        виготовляти в кожний проміжок часу саме ту кількість продукції, яка потрібна у цей час споживачам;

—        виготовляти продукцію в однаковій кількості у різні про-міжки часу, зберігаючи інтенсивність виробництва сталою;

—        виготовляти в деякі проміжки часу більше продукції, аніж на той час потрібно споживачам; створити певний запас; цей за-

пас використовувати у проміжки часу, коли обсяги виробництва будуть меншими, аніж попит споживачів.

 

90

90

 

90

70

60

60

60

60

60

60

50

30

30

Приклад 4.3. Нехай попит на костюми, які виготовляє швейна фабрика складає в першому кварталі — 50 тис. одиниць, у друго-му — 90 тис. одиниць, у третьому — 30 тис. одиниць, у четверто-му — 70 тис одиниць. На рис. 4.8 наведено графіки організації ви-робничого процесу за трьома вищенаведеними способами. Показані щоквартальні обсяги виробницгва продукції (чоловічі костюми, тис. одиниць) залежно від обраного підприємством способу задоволення попиту споживачів. A

 

30

 

I

 

II

 

III       IV     квартал

 

I

 

II

 

III       IV     квартал

 

 

 

1) щоквартальні обсяги

виробництва збігаються

із попитом відповідного періоду

 

2) щоквартальні обсяги виробництва однакові

 

 

квартал

3) щоквартальні обсяги виробництва передбачають утворення певних запасів готової продукції

Рис. 4.8.

 

90        *                                

60       

            80       

           

 

            60       

           

           

           

           

           

            55

30       

           

            45       

 

            I           II         III        IV

За першим способом щоквартальний випуск продукції дорів-нює попиту відповідного періоду, тому ніяких запасів не створю-ється. Але значні зміни щоквартальних обсягів виробництва ви-магатимуть додаткових витрат на переналагодження верстатів та на утримання в окремі проміжки часу зайвого обладнання і пер-

Другий спосіб передбачає рівномірний щоквартальний ви-пуск продукції, тобто додаткових витрат на переналагодження обладнання або на утримання в окремі проміжки часу недован-таженого обладнання та незадіяного персоналу не вимагатиме. Але цей спосіб супроводжується загрозою виникнення дефіциту (наприклад, у другому кварталі у кількості 20 тис. од. продукції, якщо щоквартально випускати по 60 тис. костюмів), або утво-ренням значних запасів продукції (наприклад, у першому квар-талі у кількості 20 тис. од. продукції, якщо щоквартально випу-скати по 70 тис. костюмів для уникнення дефіциту у другому

КЙЯПТЯ ТТ1 I

Третій спосіб є проміжним, оскільки він передбачає як коли-вання обсягів виробництва, так і утворення запасів. Задача поля-гає у тому, щоб визначити такі щоквартальні обсяги виробництва для забезпечення попиту, за яких загальні витрати, пов'язані з коливаннями обсягів випуску та із утриманням запасів, були найменшими.

Для побудови економіко-математичної моделі задачі плану-вання випуску та зберігання продукції уведемо позначення:

Т— тривалість планового періоду (наприклад, Т = 4 квартали при складанні плану на один рік з поквартальною деталізацією);

t -- номер окремого проміжку часу в межах планового пері-

оду [t = \,Tj;

rt -- попит на продукцію в t -му часовому проміжку, t = \,Т (вважається відомим);

х0 - - обсяг виробництва продукції в останньому часовому проміжку перед планового періоду, який також відомий.

Шуканими змінними є:

х, — обсяг виробництва продукції в t -му часовому проміжку,

t = \,Т;

у, -- обсяг, на який збільшуватиметься виробництво проду-кції в t -му часовому проміжку у порівнянні з попереднім (t -1) -м проміжком:

yt = maxjO; xt — xt_x},    t = \,T ;

zt — обсяг, на який зменшуватиметься виробництво продукції в t -му часовому проміжку у порівнянні з попереднім (t -1) -м про-міжком:

zt = maxjO; xt_A —xt\,   t = \,T.

Відомими вважаються також:

s0 — запас продукції на кінець передпланового (тобто на по-чаток планового) періоду;

st -     запас  продукції на  кінець   t -го  часового   проміжку,

t = l,T, проте величини st, t = \,T-\ підлягають визначенню.

Випуск продукції xt в кожний t -й проміжок часу, з урахуван-ням запасів st_x на початок цього проміжку, повинен дорівнювати попиту на цей час rt та запасу st, який залишається на кінець цього проміжку. Тому серед обмежень задачі матимемо, в першу чергу, таку групу рівнянь:

xt + J(_J = rt + st ,   t = 1, T.

Наступна група рівнянь відображатиме розміри збільшення у, або зменшення zt обсягів виробництва у відповідні проміж-ки часу:

х,-х,-і=У,-2,>   t = \,T.

Окрім цього система містить вимоги невід'ємності усіх змін-них xt, yt, zt (t = 1,Tj та st[t = 1,T -1 j.

Розглянемо економічний аспект справи. Нехай a — витрати, на одиницю додаткової продукції, пов'язані із збільшенням випу-ску продукції у певному часовому проміжку порівняно до попе-реднього; Ь — витрати, пов'язані зі скороченням на одиницю ви-пуску продукції в одному проміжку часу порівняно до попереднього; с — витрати на зберігання одиниці продукції про-тягом одного часового проміжку. Тоді загальні витрати и, пов'язані із коливанням обсягів виробництва та утримання запа-сів, обчислюються за формулою:

и =

at у, +^Zz< + cY,s, ■

t-\       t-\      t-\

/Величину — c{s0 + st), яка є сталою та незалежною від керова-них змінних, з цільової функції вилучено/.

_..        a          .  n     b        _

шдношення питомих витрат: a = —           1 [3 = — наолижено визна-

c          c

чаються за результатами експертного       оцінювання. Після цього

комплексна задача планування випуску та зберігання продукції

набере вигляду:

знайти

xt > 0, yt>0, zt>0,   t = \,T,   st>0,   t = \,T — \,   (4.33) що належать області G, визначеної умовами:

xt+st-\~st=rt>   t = l,T; (4.34)

xt—xt_l—yt+zt=0,   t = \,T;     (4.35)

та мінімізують функцію:

т          т          т-\

v = а1ІУі +PSZ( + Hsi —> min.         (4.36)

t=\        t=\       t=\

де величини a, p, s0, sT, x0 та rt,t = \,T вважаються відомими.

Модель (4.33)—(4.36) є лінійною і для п розв'язання на конк-ретних даних було застосовано симплекс-метод.

Повернемось до прикладу 4.3 і припустимо додатково, що:

•          обсяг виробництва продукції в останньому кварталі перед-планового періоду: х0 = 45 тис. од. продукції;

•          запас продукції на початок планового періоду: ^о = 10 тис. од. продукції;

•          нормативний запас продукції на кінець планового періоду: S4 = 15 тис. од. продукції;

•          оцінки співвідношення питомих додаткових витрат, пов'язаних із коливаннями обсягів виробництва, та витрат, пов'язаних із зберіганням продукції: а= 2,5; р= 1,5 .

Побудуємо економіко-математичну модель, що оптимізує об-сяги виробництва та запасів продукції виробництва. Знайти:

х1 > 0, х2 > 0, х3 > 0, х4 > 0,

yj > 0,  у2>0, у3>0, у>0,

Zj > 0, z2 > 0, z3 > 0, z4 > 0,

sl > 0,  s2 > 0, s3 > 0,

що належать області G, визначеної умовами:

х1 +10-jj =50,

x2+sl-s2 = 90, х3 + s2 —s3 = 30, x4+s3 -15 = 70,

x1—45 — yl+zl = 0, x2-x1- y2+ z2 = 0, x3 - x2 - y3 + z3 = 0, x4 - x3 - y4 + z4 =0

та мінімізують функцію

v= 2,5^ + y2+ y3 + J>4)+1,5(ZJ +z2+z3+zA)+sl+ s2+s3 —>min.

Розв'язок задачі, який знайдено з використанням електронної таблиці Excel, наведено у табл. 4.3.

Таблщя 4.3

 

Номер кварталу         Запас на початок кварталу  Обсяг виробництва  Обсяг реалізацїі         Запас на кінець кварталу

I           10        65        50        25

II         25        65        90        0

III        0          57,5     30        27,5

IV        27,5     57,5     70        15

Таким чином, економіко-математична модель, що розгляда-ється, дозволяє, з метою повного забезпечення попиту, знайти такий план виробництва та зберігання запасів готової продукції, за якого загальні витрати, пов'язані із коливаннями обсягів виро-бництва та зі зберіганням запасів, є мінімальними. 3 табл. 4.3 можна також зробити висновок про досить високу ритмічність виробництва.

сТаТ„ч1і^°Г;ь^аТлГ„Г?аТа=

Імовірнісні моделі управління запасами розглянемо на при-кладі однопродуктової статичної задачі з миттєвими поставками та забороною дефіциту. Подібні задачі виникають у будь-якої фі-

рми, якщо поставки виробничих ресурсів для неї здійснюються у дискретні моменти часу окремими партіями (наприклад, тканини для швейної фабрики; комплектуючі до тракторного заводу, те-левізори до складу магазину роздрібної торгівлі тощо) [22].

У детермінованому випадку інтенсивність попиту на продук-цію, що зберігається, вважається відомою; позначимо її через г". Якщо витрати на зберігання одиниці продукції протягом одиниці часу дорівнюють с2 грошових одиниць, а витрати на організацію поставок однієї партії продукції - с3 грошових одиниць, тоді оптимальні значення показників циклу зміни обсягу запасів: роз-мір парти поставок q та перюдичність поставок Т обчислюва-тимуться за формулами Уілсона:

 

q   =   I—

 

dn

 

=

 

2d3

* j

r a,

 

(4.37)

 

Між зазначеними двома показниками існує очевидна залеж-ність:

 

q   = г 1

 

(4.38)

 

тобто розмір однієї партії поставки повинен дорівнювати загаль-ному попиту на продукцію протягом часу між суміжними поста-вками.

Графік зміни обсягу запасів у детермінованому випадку буде такий, як це показано на рис. 4.9.

Обсягі запасів

 

 

 

х = г'{Т' -1j

 

Рис. 4.9.

127

 

Оптимальне управління запасами у детермінованому випадку повністю виключає дефіцит продукції, тобто потреби у створені страхового запасу не існує. Проте у реальній практиці існує при-наймні три причини виникнення дефіциту, якщо створення стра-хового запасу продукції не передбачено:

—        можливість зменшення розміру фактичної поставки q порі-вняно до розміру замовлення q* :q< q* (рис. 4.10 a);

—        фактична інтенсивність майбутнього попиту г може пере-вищувати її розрахунковий рівень r* :г)г* (рис. 4.10 б);

—        наступна партія продукції може надійти до складу із запіз-ненням, тобто фактичний період між черг*ими *ставками Т може перевищувати розрахункову тривалість Т : Т > Т (рис. 4.10 в).

Кожна з зазначених причин призводить до виникнення дефіциту.

a) q < q  — r 1

Обсягд запасів

Рис. 4.10 a

 

б) r>r'

Час

Обсяг, запасі

q

 

Рис. 4.10 б

 

Час дефіцит

Обсяг запасів^

 

Рис. 4.10 в

Уникнути дефіциту у недетермінованому випадку можна створенням страхового запасу, який необхідно періодично відно-влювати (рис. 4.11). Постає питання про оптимальний розмір цього запасу, тобто про оптимальне управління запасами у випа-дку ризику.

 

Час

Страховий запас

Обсягі запасів

 

Рис. 4.11.

Щоб побудувати імовірнісну економіко-математичну модель, опишемо відповідну однопродуктову статичну недетерміновану задачу управління запасами докладніше.

Вважатимемо відомою оцінку майбутньої інтенсивності попи-ту г*, але фактичну майбутню інтенсивність попиту г вважати-мемо випадковою величиною, що дорівнює кг* одиниць продук-

 

ції за одиницю часу, де  к — випадкова величина з проміжку \ктіа;ктш\.

Припустимо, що рішення про оптимальнии розмір q черговоі партії поставки продукції обирається саме в момент цієї постав-ки, причому залишок запасів перед поставкою дорівнює Н0 оди-ниць продукції, де Н. — відома величина. Фактичний розмір по-ставки вважатимемо випадковим і таким, що дорівнює рд одиниць продукції, де р — випадкова величина з наперед відомо-го проміжку [pmm;/»maxJ.

Поряд з величиною g неоохідно визначити термін наиолиж-чої майбутньої поставки Т*. Відомо, що фактичний термін цієї поставки дорівнюватиме IT* одиниць часу, де / — випадкова ве-личина з проміжку [/mm;/maxJ. Випадкові величини к, р і / незале-жні одна від одної.

Виникнення дефіциту продукції заборонено.

Потрюно визначити оптимальні значення д і Т , якщо ві-домі витрати на зберігання одиниці продукції протягом одини-ці часу d2 та витрати на організацію поставок однієї партії продукції 4-

За наведених умов загальні витрати у в системі управління за-пасами, з розрахунку на одиницю часу, дорівнюють:

\rln + pq )+\rln + pq  —krll   I  a,

)>=*—^—L*—^—   Ld1 л—— .    (4.39)

■^        ґ\         l           7ГТ7*

I           11

Ці витрати y випадку ризику, що розглядається, являють со-бою випадкову величину. Враховуючи припущення про незалеж-ність випадкових величин к, р і /, знайдемо очікуване значення таких витрат:

 

~~    (тт     ~ *\        І7 *7^*J      d,  „Jll

у = \Н0+ pq jd2          kr 11 а2Л—^- М —

1          Т*     \_1 \

 

(4.40)

 

лТі1     .           ..          і

чин, М -   — очікуване значення випадковоі величини -, яка є

|_/J       /

де р, к  і / — очікувані значення відповідних випадкових вели-чин, М\-\ — очікуване значення ви оберненою до випадкової величини /.

Побудуємо обмеження, яке забороняє утворення дефіциту на-віть при найгірших значеннях усіх недетермінованих некерова-них параметрів (р, к'\ї):

H0+pmiaq*-ктшг*ГшТ*>$    (4.41)

і запишемо імовірнісну однопродуктову статичну модель управ-ління запасами.

Визначити q>0;   Т>0,          (4.42)

що належать області G, що задовольняє умову

Н° +рюіпд>кюяхг'ІюяхТ       (4.43)

і мінімізує функцію

-       (тт        -   \         ІТ   *7^           С3   ./Іі            •

у = \Н0 + pqp2           кг ІТс2 + — м\-\->mm.          (4.44)

2          Т     |_/J

Для визначення оптимальних значень q \ Т скористаємося узагальненим методом множників Лагранжа. Функція Лагранжа для задачі (4.42)—(4.44) має вигляд:

ті   гг л\   ітт     — \,     1т *~TT       d-\ J^ГІІ L\q,l ,к)= \Н0 + pqja2 —kr lld2 + — M\ - -

- X (н0 + pmmq - кшаг*Гшат)

де A, — Лагранжі множник.

Отже задачу умовної оптимізації (4.42)—(4.44) зведено до за-дачі безумовної оптимізації функції L(q,T,X). Ha підставі теоре-

ми Куна—Таккера X*,q*,T' є розв'язком наступної системи:

— = pd2 - X ртш = 0,            (4.46)

а3М\ -

dL        1- ,-    I /J       max , max        лпл

— = —kr la2   ^^- + kn    rl      =0,     (4-4/)

dT       1          T

х(но+ртшд-ктшг1тшт)=0.     (4.48)

3 рівняння (4.46) визначимо X*:

X *=    d1 > 0. (4.49)

ршш   2

1 оді з (4.4о) маємо залежність між q   та Т :

 

ч

 

 

 

 

 

1

Р

 

mm

 

(кшг'ГГ' -Я0).

 

(4.50)

 

Використовуючи рівняння (4.47), отримуємо:

 

<і3А/

 

Гіі

 

 

 

=

 

*     7

r a

 

р

Р

 

           

 

 

max /max

/ max j k        I

 

1

2

 

л

 

(4.51)

 

Отже, оптимальний розрахунковий термін найближчої майбу-тньої поставки Т не залежить від залишкового рівня запасів HQ І є сталим, хоч і дещо меншим від оптимальної періодичності по-ставок у детермінованому випадку. Водночас оптимальний роз-мір замовлення q' залежить від Н0, причому при Н0 = 0 він дещо перевищуватиме рівень замовлення у детермінованому випадку (порівняйте формули (4.50) і (4.51) з формулами (4.37)).

Для практичного використання отриманих результатів скори-стаємося припущенням, що випадкові величини к, р і / є рівномі-рно розподіленими на відповідних проміжках, тоді оцінки для очікуваних значень визначаться у вигляді:

ктт + V

ртіп +р"

к

7 mm    ,   /і]

I

Р

 

2

2

2

max

max

dx

x^/max_/mmj

1

/

I

Лп

м\-\ Ш

г

 

(4.52) (4.53)

711

7

Приклад 4.4. Нехай щоденний попит на ліки є випадковою ве-личиною, що дорівнює кг', де г' = 100 одиниць, а к — рівномірно розподілена випадкова величина з проміжку [0,7; 1,2J. Розмір партії

поставок ліків теж є випадковою величиною і складає 100 • /? відсо-тків від розміру замовлення, де р — рівномірно розподілена випад-кова величина з проміжку [0,8; lj. Термінів виконання замовлення постачальник завжди дотримується точно (тобто / = 1 — детерміно-вана величина). Відомі щодобові витрати на зберігання ліків в апте-ці С2 = 0,1 грн та витрати на оформлення і поставку однієї партії лі-ків сз = 50 грн. Залишок запасів ліків HQ = 10 одиниць. Потрібно визначити оптимальнии розмір поточного замовлення q та опти-мальнии термш наиближчоі маибутньоі поставки Т .

 

Розв'язувзння.   Спочатку за  формулами  (4.52)  обчислимо очікувані значення випадкових величин кір:

0,7 +1,2          —    0,8 + 1

к

Далі, послідовно отримуємо:

 

 

0,9.

0,95;   р

2          2

використовуючи  формули (4.51) і  (4.50),

 

50

ТН

 

 2,39 (доби),

0,9 . „    1  п п,

100-0,1-

1

            1,2       0,95

0,8       2

q --   —(l,2 • 100 • 2,39-10)« 346 (одиниць). 0,8

Отже, поточне замовлення слід зробити на рівні 346 одиниць ліків. Якщо воно буде виконане на 98% (тобто фактично буде по-ставлено 339 одиниць ліків), а щоденний попит протягом най-ближчих днів дорівнюватиме 105 одиниць ліків, то до найближ-чої майбутньої поставки через 2,39 доби запас скоротиться з 10 + + 339 = 349 (одиниць) до 349 - 105-2,39 = 98 (одиниць ліків). Можливу динаміку зміни обсягу запасів ліків в аптеці протягом найближчих десяти майбутніх періодів показано на рис. 4.12.

Отже, наявність страхового запасу дозволяє уникнути дефіци-ту продукції. Причому оптимальна стратегія управління запасами дозволяє мінімізувати середні загальні щодобові витрати, пов'яза-ні із зберіганням продукції та організацією їх поставок.

400     

 

350 300 250 200 150 100 50

10

11

0

Період Рис. 4.12.

0      1