4.6. Комплексна багатопродуктова детермінована статична модель управління запасами


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 

Загрузка...

Система забезпечення, як правило, зберігає запаси продуктів різних номенклатурних груп, кількість яких може коливатися від одиниць до десятків тисяч найменувань. Управління запасами в такому разі є дуже складною і важкою проблемою, тому на прак-тиці фахівці намагаються зменшити кількість найменувань за ра-хунок їх об’єднання за ознакою близьких властивостей та за ін-шими ознаками. Проте проблема управління запасами багато-продуктового складу залишається актуальною.

Розглянемо задачу управління запасами багатопродуктовим складом за умов: дефіцит заборонено, поставки замовлених про-дуктів на склад здійснюються миттєво.

Для побудови відповідної економіко-математичної моделі за-дачі уведемо такі позначення:

п — кількість видів продукції, яка зберігається на складі;

j — номер окремого виду продукції, j = 1,п; г. — інтенсивність попиту на j -ту продукцію; c2j — витрати на зберігання одиниці j -ої продукції протягом одиниці часу;

с

3J

витрати на поставку однієї партії j -ої продукції;

s. — площа, необхідна для зберігання одиниці j -ої продукції;

A — загальна площа складу.

Ці величини вважаються відомими. Невідомими в багатопро-дуктовій детермінованій статичній задачі управління запасами виступають:

Tj — періодичність поставок j -ої продукції;

qs — розмір партії поставок j -ої продукції;

у. — середньодобові витрати, пов’язані із поставками та збе-ріганням j -ої продукції;

z — загальні середньодобові витрати в багатопродуктовій сис-темі управління запасами.

За наведених позначень модель оптимізаційної багатопродуктової детермінованої статичної задачі управління запасами має вигляд:

визначити Tj > 0 , у. > 0, q} > 0 , j = 1, п, що належать області G,

визначеної умовами:

1

TJ + d3 2

1

j = ,n;   (4.20)

4j = rjTj ,   J' = hn \      (4-21)

Yssj4j - A        (4.22)

/=1

та мінімізують функцію цілі

z = £v.->min.   (4.23)

j=\

Після вилучення змінних ys та Г. ,   j = \,п матимемо таку оп-тимізаційну нелінійну задачу: визначити q> 0,   j = 1, п , що задовольняють умову:

Yisj4j -Л         (4.24)

/=1

та мінімізують функцію

Iй        п dijrj

z = —Yld2jq: +Y,—-> min.    (4-25)

2 j=\     j=\   qf

Для розв'язування нелінійної оптимізаційної задачі (4.24)— (4.25) застосуємо узагальнений метод множників Лагранжа. Запи-шемо функцію Лагранжа для задачі (4.24)—(4.25)

1          "     ,     "   "3/Г;

L(q1,...,qn,X) = —*Z*d2 q   + ^        + X

YJSJ4J ~ A |,      (4.26)

7=1

-І^у + І—

2          j=\        j=\   q;

де A, > 0 - - множник Лагранжа, який можна інтерпретувати як штраф у випадку, коли обсяг запасів перевищує місткість складу. 3  теореми  Куна-Таккера  умови  оптимальності  для  задачі (4.20)—(4.23) мають вигляд:

dL     1 ^      dyrJ    ,    Г

            = —а2і            ^ + Ля. =0,    j = \,n;   (4-27)

dqj      2           q.

dL      "            ,    n     .m

— =LiSj4j~^-^\          (4-2o)

CA      j=\

(  n       \

X YJSJ4J~^  =0-        (4.29)

3 рівнянь (4.27) оптимальний розмір партій поставоку'-ої про-дукції визначається за формулою:

 

Ч   =

 

\

 

2rjdV

d2j + 2X*Sj

 

j = \,n,  (4.30)

 

тобто для визначення розв'язку задачі (4.24)—(4.25) лишається знайти оптимальне значення X * множника Лагранжа. Для цього використовують такий підхід:

покладемо X *= 0 , тоді згідно з (4.30) отримуємо:

 

4

 

2rjd3j

d2j

 

j = \,n,  (4-31)

 

що повністю співпадає з розв'язком однопродуктової задачі без додаткових обмежень на місткість складу. Тому, якщо обчислені за формулою (4.31) обсяги поставок задовольнятимуть обмежен-ня (4.28) на місткість складу, багатопродуктову задачу буде розв'язано. Коли ж ці обсяги поставок вимагатимуть для збері-гання площі більшої, аніж А, величину A' поступово збільшу-ють. Таке збільшення призводитиме до зменшення усіх обсягів поставок q } = \п (див. (4.30)), тобто до зменшення площі, по-трібної для зберігання цієї продукції.

Збільшення величини X *  слід здійснювати до тих пір, доки

п

Sjqj - А не перетвориться на нуль, щоб виконувалась

/=1

рівність (4.29). Отже, Х*^=0 —таке значення множника A, яке є коренем нелінійного рівняння:

 

 

 

2rjdV

d2j + 2Х cij

 

 

 

A = 0.  (4.32)

 

Наближення значення кореня рівняння (4.32) можна також ви-значити із використанням підпрограми «Підбір параметра» таб-личного процесора Excel.

Приклад 4.2. Нехай на складі зберігаються запаси продук-ції чотирьох видів. Необхідно визначити стратегію управлін-

ня запасами,   використовуючи   інформацію,   що   наведена   у табл. 4.1.

Таблщя 4.1

 

Номер виду продукції,/         Інтенсив-ність попи-

ту Г-    Питомі витрати на зберігання

d2j       Витрати на поста-вку однієї партії

d3j       Площа для зберіган-ня одиниці продукції

SJ

1          10        3          15        3

2          20        5          10        8

3          30        7          20        5

4          40        4          30        4

Якщо місткість складу A = 300 од. площі, оптимальні обсяги партії поставок визначатимуться розв'язуванням чотирьох одно-продуктових задач і дорівнюватимуть (одиниць продукції):

ql = 10;    q2 «8,94;    q3 «13,09;    qA «24,49.

Місткість складу A = 300 буде достатньою, оскільки загальна потреба в площі для одночасного зберігання продукції у зазначе-них максимально можливих обсягах складатиме:

3 • 10 + 8 • 8,94 + 5 • 13,09 + 4 • 24,49 = 264,93 (од. площі).

Коли ж місткість складу дорівнюватиме 100 од. площі, для пошу-ку оптимальних розмірів поставок продукції потрібно виконати дода-ткові розрахунки. Процес пошуку розв'язку багатопродуктової задачі шляхом збільшення параметра X * показано у табл. 4.2.

Таблиця 4.2

 

Значення параметра

X"        Оптимальні розміри однієї партії поставок           продукції        Потрібна площа складу

 

            <h        І2         ql         <h       

 

0          10        8,944   13,093 24,495 264,99

0,5       7,071   5,547   10        17,321 184,87

1          5,774   4,364   8,402   14,142 150,81

1,5       5          3,714   7,385   12,247 130,63

2          4,472   3,288   6,667   10,954 116,87

2,5       4,082   2,981   6,124   10        106,72

3          3,78     2,747   5,695   9,258   98,82

3,5       3,536   2,561   5,345   8,66     92,46

4          3,333   2,408   5,053   8,165   87,19

4,5       3,162   2,279   4,804   7,746   82,72

3 табл. 4.2 робимо висновок, що оптимальне значення множ-ника Лагранжа X * є дещо меншим від 3 (з дробово-лінійної ап-

роксимації одержимо: Г«3 —             « 2,93).

7'9    . Використовуючи програму «Підбір параметра» Excel, знахо-

димо    більш   точне   рішення:    ^*«2,92;     д*«3,84;     д*«2,78;

q\ ~ 9,37 .

Необхідна площа складу для зберігання усієї продукції у за-значених кількостях складатиме:

11,52 + 22,24 + 29 + 37,48 = 100,24 (од. площі),

що з точністю до похибок округлення відповідає наявній міст-кості складу .4 = 100 од. площі.

Багатопродуктову задачу управління запасами розв'язано.