Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_6ef20df3681ab859e8fdb96bd54d6072, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
3.6. Проблема оптимізації рентабельності підприємства : Дослідження операцій : Бібліотека для студентів

3.6. Проблема оптимізації рентабельності підприємства


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 

Загрузка...

Поряд з показниками доходу та прибутку важливою характери-стикою економічної діяльності суб’єкта господарювання є рента-бельність. Цей показник обчислюється як відношення прибутку до виробничих витрат, тобто до загальної собівартості виробництва.

Приилад 3.3. Нехай маємо такі техніко-економічні показни-ки процесу виробництва продукції (табл. 3.4).

Таблщя 3.4

 

Показник        Вид продукції            Примітки

 

            П1       ГІ2      П3      

 

Ціна реалізації, грн    10        12        15        1. Рентабельність —       це відношення   прибутку  до загальної собівартості

Собівартість   виробни-цтва  одиниці  продук-ції, грн    6          7          8         

 

Питомі витрати вироб-

ничих ресурсів:

Р1

Р2        3

2          2 1       4 3       2. Обсяги       виробничого споживання ресурсів: Р1 — 150 од. Р2 — 100од

Необхідно визначити виробничу програму, що максимізує ре-нтабельність за даними табл. 3.4.

Побудуємо відповідну економіко-математичну модель. Визначити

х. > 0,   і = 1,3 ,

що належать області G , яка визначається умовами:

3x1 + 2х2 + 4х3 < 150, 2x1 +х2 +3х3 < 100

і максимізують функцію рентабельності

 

R

 

(lO - 6)xj + (12 - l)x2 + (15 - 8)л 6xj + 7х2 + 8х3

 

—> max,

 

де Xj — обсяг виробництва та реалізації і -ої продукції \і = 1,3 ]. Обмеження наведеної задачі є лінійним, проте цільова функ-

. Застосуємо для

ція є дробово-лінійною відносно змінних

їх розв'язування метод дробово-лінійного програмування (роз-діл 2.2).

По-перше, з'ясуємо межі варіації, що належать знаменнику на множині допустимих планів, для цього розв'яжемо дві задачі, a саме:

U = 6xj + 7х2 + 8х3 —> а)тах,    б)тіп;

3xj + 2х2 + 4х3 =150, 2xj +х2 +3х3 =100, Xj,x2,x3 > 0.

 

Оберемо базис Б =

 

14> 4 J

 

Маємо: detB

 

3   2 2   1

 

-1*0,

 

 

 

В 1 =

 

3   2 2   1

 

-

 

Г-1   2

[2-3

 

50 0

Г-1   2ІГ1503   2   4

ОТЖЄ   5   ^

 

10   2 0   1-1

[ 2-3J[

100

2   13

Для розв'язування задачі з цільовою функцією б), тобто U = 6xj + 7х2 + 8х3 ->• min. Складемо симплекс-таблицю 3.5, яка відповідає базису

{AAY

Таблщя 3.5

 

                                   6          7          8         

Б          сБ        Ь          А,        ^2        А3       0

А]        6          50        1          0          2*        25

А2       7          0          0          1          1          —

Д         300      0          0          -3       

Всі А-оцінки недодатні, тому U^in = 300.

Розглянемо задачу з цільовою функцією, що прямує до мак-симуму,

U = 6xj + 7х2 + 8х3 —> max .

Згідно з процедурою симплекс-методу на місце вектора^і вве-демо в базис вектор А^. Отримуємо нову симплекс-таблицю 3.6.

Таблщя 3.6

 

                                   6          7          8         

Б          сБ        Ь          А,        А2       А3       в

А3       8          25        /2         0          1         

А2       7          25        /2         10       

Д         375      3/ /2     00       

Всі А-оцінки невід’ємні, тому и^ш = 375.

Отже, функція, що належить знаменнику ЗДЛП, додатна та обмежена зверху на множині допустимих планів. Перейдемо від ЗДЛП до ЗЛП. Складаємо допоміжну ЗЛП.

Знайти уі > 0, і = 1,4, що належать області G, що визначена об-меженнями:

Зу1 +2у2 +4у3 -\50у4 =0, 2у1 + у2 +3у3 -ІОО^ =0, 6у1 + 1у2 + 8j;3 = 1,

і максимізують функцію R = Аух + 5уг + 7у3 . Для базису Б = {Д, А2 Ал\ маємо:

 

В

 

3 2 -150 2 1 -100 6 7      0

 

det В = 0    1200 - 2100 +

 

+ 900 + 2100 - 0 = -300 Ф 0,

 

-700   1050   50 + 600   -900   0

-8      +9    +1

 

300

 

в

 

1

300

В-%А} =

 

 8    ~\Т

700 -600

1

50      0

1050   900   -9     =1 300

-700   1050   50

600   -900   0

-8      9    1

03 2 4 -150 02 1 3 -100 16   7   8      0

 

6    1   0   5      0

 

0   1-1 0

'300

0   0   V           1

1 100

Для розв’язування допоміжної ЗЛП складемо симплекс-таб-лицю 3.7 та застосуємо симплекс-метод.

Таблщя 3.7

 

                                   4          5          7          0         

Б          св        Ь          ^          Л         А3       А4       0

А]        4          1 /6      1          0          5/ /2     0          \/ 1 15*

А2       5          0          0          1          1          0          —

А4       0          1/

/300     0          0          1 600   1          —

Д         2/ /3     0          0          -2*      0         

 

А3       7          1/ /15   2/ /5     0          1          0         

А2       5          1/ /15   2/ /5     1          0          0         

А4       0          4/ /1500           2/ /500 0          0          1         

Д         4/ /5     4/ /5     0          0          0         

 

Розв’язок допоміжної ЗЛП:

—*    [     1    1      4   ^і     _  .           4          1  ,

у =  0,—,—,    .   Пересвідчимося,   що    у4 =       =          )0.

^    15  15 1500у)       1500     375

Розв’язку у* відповідає R* = 4

5. Отже, розв’язок вихідної ЗДЛП:

1

х1 = 0, х2=    4    = 25, х3 = 25, 1500

s(-*\     /~Л      п*       \    )    300    4

j\x   N300, U\х    =375, л  =—т^г = 375 - 5

V    )    \    )      U\x\

Зауеаження щодо розе'язуеання задач дробоео-лінійного про-

1)Якщо множина Хмістить такі плани, в яких функція U[xj

_          .   .„      ,          .           f\x)

перетворюється на нуль, тоді дрооово-ліншна функція z = —f=\ роз-

. щ

глядається лише на шдмножині Х0 множини X, де цільова функ-ція є визначеною: Х0 = а е х\и[х)ф 0 }.

Припустимо, що функція и[х) не може набувати на множині X від’ємних значень, тобто

U       0 для всіх х е X.

.           —(') —(")

Оберемо два довільних плани х  ,х   еХ0. Після переходу від

ЗДЛП до допоміжної задачі лінійного програмування матимемо імплікацію:

z(x   )) z(x   ) => z(y   )) z(y   ).

—*

Це означає, що у разі існування оптимального плану у   допо-

—*

міжної ЗЛП, який задовольняє умову: j/+1)0, план х , що відпо-

—*

відає плану у , максимізує дробово-лінійну функцію на множині Х0. Тобто сфера застосування допоміжної ЗДЛП дещо розширю-ється.

Приилад 3.4. Розв'язати задачу, якій відповідає наступна економіко-математична модель.

Визначити х. > 0,   і = 1,3, які в області G , що визначена обмеженнями:

2xj +х2 +3х3 <12, Xj + 4х2 + 2х3 < 8,

,          .           5х, - х1 + 2xq

максимізують функцію z = —          .

4xj + х2 + Зх3

Виключимо х.(г = 1,3], в яких функція 4xj+x2+3x3 перетворю-ється на нуль /за обмежень невід'ємності кожної із змінних це відбуватиметься лише в точці (0, 0, 0)/.

Введемо нові змінні:

х.         .           1

УІ =     ,1 = 1,2,3;    _у4 _

4xj + х2 + Зх3 4xj + х2 + Зх3

та розглянемо допоміжну ЗЛП: визначити уі > 0, і = 1,4 , які в об-ласті G , що визначається обмеженнями:

2у1 + у2 + 3_у3 < 12_у4 , У\ + ^Уі + З-Уз — ^Ул J 4у1 + у2 + 3_у3 = 1,

максимізують функцію z = 5^ - у2 + 2_у3.

Запишемо задачу у канонічній формі і побудуємо М-задачу:

z = 5уі - у2 + 2у3 - My-! —» max, 2ji + J2 + 3j - 12y4 + y5 = 0, jj + 4y2 + 2y3 - 8y4 + y6 = 0,

4Л +y2+3y3 + y7=l,

УІ ^ 0,    г = 1,7,

де M> 0 — досить велике число.

Симплекс-методом знайдемо оптимальний розв'язок цієї задачі:

Ул = Тіо, У*і = УІ = 0, у! = %,) 0, у! = 0, уі = у, - ,

-71    /12 ^2    -^        -^4    /24'     -^            •76    /12

^7 = 0 (штучна змінна).

Оскільки у*л) 0, обчислюємо розв'язок вихідної ЗДЛП:

3/ хі = JTTL- = 6,   х*п = х*. = 0, йому відповідає z* = У .

1/         23        ^          /4

/24

2) Наведений підхід зведення ЗДЛП до допоміжної ЗЛП може використовуватись, якщо цільова функція ЗДЛП має вигляд:

п С0 + X СІХІ

z =       —        ,           (3.32)

do + X ^Л

і=\

де Co і t/o — задані числа, тобто маємо узагальнену дробово-лінійну функцію.

Щоб перейти до вже розглянутого випадку, введемо до ЗДЛП нову змінну хо з додатковим обмеженням

х0 = 1. (3.33)

Тоді цільова функція (3.32) набуває вигляду:

п С0Х0 +YjCiXi

z =       ,

d0x0 + ^Zjdtxr

і=\

після чого можна виконувати дослідження нової ЗДЛП з (п + 1) змінними та переходити до відповідної допоміжної ЗЛП.

Використовуючи формули (2.17), визначаємо змінні допоміж-ної ЗЛП:

Уп =    ,

 

d0x0 + YJ dtxt

і=\

Хі        ■       ~л         

V;    = '           ,           1=\,П,

d0x0 + YJ dtxt

V

J га+1

і=\ 1

і і=1

d0x0 + ^ dtxr

истема обмежень допоміжної ЗЛП міститиме:

1)         групу   обмежень,   що   випливають   з   обмежень   вихідної

ЗДЛП: '

п                    

Y1 Щ]УІ = b,yn+1,   j = 1, т;

і=

2)         додаткове обмеження, яке пов’язане з функцією, що нале-

жить знаменнику цільової функції ЗДЛП:

d0y0 +   1 diyi = 1;

і=

3) обмеження, що визначається вимогою (3.33):

У0 = У„+1 .

Останнє свідчить про те, що змінну у0 у допоміжну ЗЛП мож-на не виводити. Отже перехід від ЗДЛП з цільовою функцією (3.32) здійснюється до ЗЛП виду:

визначити уі > 0,   і = 1, п +1,          (3.34)

які належать області G, що визначається умовами:

п                    

2аііУі = ^ІУП+1 ,   J=1,m ,     (3.35)

і=1

п

d0yn+1 + Y1 dtyi = 1, (3.36)

і=

та максимізують функцію

п

z = с0уп+1 + ~}^СІУІ .         (3.37)

і=1

Розв’язок ЗЛП (3.34)—(3.37), за виконанням умови у*+1>0, визначає розв’язок вихідної ЗДЛП з цільовою функцією (3.32) за правилом:

 

*          Уі        •

X- =    ,    1 =1,п ,

Уп+1

z  = с0уп+1 + z_lciyi

і=1

(3.38)

Для обчислення z* можна скористатися і формулою (3.32), якщо покласти xt = х* для всіх і = 1, п .

Приилад 3.5. Визначити х\, що задовольняє умову: 3 < х\ < 4 та максимізує функцію

 

z =

 

5 + Xj 7 + 2х

 

Усі передумови переходу від цієї ЗДЛП до ЗЛП виконано: множина допустимих розв'язків є відрізок [3, 4], тобто непорож-ня, функція 7 + 2*і додатна цій множині. Допоміжна ЗЛП має ви-гляд:

z = 5у2 + у1—> max , Якщо Зу2 < ух < 4у2 ,

1у2+2у1=\. Для розв'язування допоміжної ЗЛП застосовуємо графічний метод (рис. 3.2).

 

 

Уі   >   3j2

 

Рис. 3.2.

Множиною допустимих планів допоміжної ЗЛП є відрізок [А, В] прямої 2у\ +7у2 = 1, який відтинається від цієї прямої перети-ном п променями у\ = Зу2 (точка А та у\ = 4у2 (точка В). Цільо-

ва функція   має   максимальне   значення    z* = §/-    в   точці   A

'13

VІ     /13''J1     /83/'

 

Оскільки у\ > 0, розв'язком ЗДЛП є

 

 

 

ZL

 

3, йому відпові-

 

 

 

дає z

 

 

 

5 + 3      8

 

7 + 6     13

 



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_6ef20df3681ab859e8fdb96bd54d6072, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0