Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_0055837bc04183056d11cb4464a54f11, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
ЗАДАЧІ ТА МОДЕЛІ ОПТИМАЛЬНОГО Р03П0ДІЛУ РЕСУРСІВ 3.1. Характеристика основних типів задач : Дослідження операцій : Бібліотека для студентів

ЗАДАЧІ ТА МОДЕЛІ ОПТИМАЛЬНОГО Р03П0ДІЛУ РЕСУРСІВ 3.1. Характеристика основних типів задач


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 

Загрузка...

Задачі прийняття оптимальних рішень виникають майже по-стійно у практичній діяльності людини і суспільства [24]. Класич-ним прикладом таких задач є розміщення пунктів відправлення продукції споживачам при визначених умовах постачання. Мінімі-зація витрат на постачання розглядається у комплексі з іншими за-дачами, що мають безпосереднє відношення до управління поста-чанням. Наприклад, необхідно розробити виробничо-технологічні графіки виробництва необхідних сумішей. Дуже часто матеріаль-но-вартісні взаємини в задачах розподілу добре визначаються лі-нійними моделями, що дозволяє застосовувати для їх розв’язування методи лінійного програмування. Але в таких випадках, коли лі-нійні співвідношення не є адекватними, необхідно застосувати інші методи. У цьому розділі розглядаються практичні задачі, що розв’язуються лінійними та нелінійними методами [19], [25].

Задача визначення оптимального асортименту розгляда-ється  в  припущенні,  що  існує т  видів  ресурсів  в  кількості

bj(j = 1,т); п видів продуктів. Надана матриця А(аі}), де atj ви-

значає інтенсивність використання j -го ресурсу на одиницю і-то

продукту, і = 1, п .

Ефективність реалізації одиниці і-то продукту визначається показником сі(і = 1,п). Необхідно визначити план виробництва (оптимальний асортимент), при якому сумарна ефективність має найбільше значення [14].

Позначимо х. — кількість одиниць і-то продукту, що вироб-ляє підприємство, тоді економіко-математична модель приймає вигляд: знайти хі > 0, що задовольняють умови:

п                    

YjaijXi - bj,   j — 1,m (3.1)

г=1

та максимізують функцію цілі

—        п

F(x) = YJcixi    (3-2)

і=\

В цю модель можуть бути включені, наприклад, обмеження на обсяг реалізації всіх або деяких продуктів:

хі >хі0,   і = \,п,   щ<п;

умова комплектності

Xj: х2:...: хп = кх: к2:...: кп, де кі — задані числа.

Модель (3.1)—(3.2) є лінійною, а шуканий розв'язок повинен задовольняти умови (3.1) й максимізувати функцію (3.2), проте

такі значення хі   (і = \,п) не обов'язково є єдиними можливими, тобто можуть існувати альтернативні оптимальні розв'язки.

Дійсно, керівник підприємства може поставити питання: як позначиться на ефективності виробництва збільшення (зменшен-ня) деяких ресурсів або зміни в технологічному процесі? При розв'язуванні багатьох практичних задач методом лінійного про-грамування ці питання мають велике значення.

Задача про оптимізацію складання сумішей

Задачі про суміші — це узагальнена назва великого кола про-блем, які знайшли застосування в найрізноманітніших сферах людської діяльності:

—        багато технологічних процесів передбачають приготування сумішей з метою створення сприятливих умов протікання хіміч-них реакцій, а також з метою одержання продукції, яка відповідає раніше визначеним властивостям;

—        проблема приготування сумішей є однією з найважливіших для тваринницьких ферм.

Включення цієї задачі в даний розділ значною мірою поясню-ється також тим, що по-перше, це одна з провідних практичних задач, поставлених і розв'язаних, як оптимізаційна задача. По-друге, парадоксальний розв'язок п показав, як важливо на етапі моделювання помітити істотні риси процесу і відобразити їх у моделі.

Задачі про суміші розглядаються тут стосовно великої тва-ринницької ферми і підприємства, яке виплавляє сталь. Такі діа-

метрально протилежні сфери застосування дозволяють підкрес-лити можливості економіко-математичного моделювання.

Математичним моделям складання сумішей, як правило, на-дають лінійного вигляду. Використовувати такі моделі слід дуже обережно, оскільки фізичні закономірності процесів часто носять нелінійний характер, що буде показано в моделі складання шихти для виплавки сталі.

Задача складання раціону відгодівлі тварин

Велика тваринницька ферма закуповує різні види зернопроду-ктів для приготування комбікормів. Кожний вид продуктів, які закуповуються, містить різні компоненти—інгредієнти, що хара-ктеризують їх властивості як факторів відгодівлі. До того ж ко-жен можливий компонент суміші має ціну. Отже, задача полягає у визначенні кількості продуктів відгодівлі, які закуповуються для того, щоб одержаний комбікорм задовольняв певні вимоги і був найдешевший. Припустимо, що період відгодівлі дорівнює Т дням, тоді природно ставити питання про закупівлю на весь пері-од відгодівлі [22].

Для побудови економіко-математичної моделі введемо такі позначення:  atj — інгредієнт, який характеризує одиницю ваги

j -го продукту відгодівлі no і -му показнику за весь період відго-дівлі, с. — ціна одиниці ваги j -го продукту відгодівлі, Ьі — не-

обхідна кількість z'-го показника за період відгодівлі.

Тоді можна записати модель, яка відповідає поставленій про-блемі.

В області G , визначеній умовами вигляду

m         1

1ciyXj >bii = ,n,           (3.3)

j=

знайтиху>0,   j = 1,m (3.4)

такі, за яких мінімізується цільова функція

m

F(x) = Y1CJXJ .         (3.5)

j=

Тут Xj — кількість 7-го компонента відгодівлі, який закупо-вується для поголів’я ферми на весь період відгодівлі.

Ця спрощена модель дозволяє керуючому фермою одержати уявлення про вартість відгодівлі тварин.

Однак природно припустити, що на інтервалі відгодівлі вплив різних інгредієнтів на тварин не однаковий. Більше того, кіль-кість комбікормів, яка використовується, не є постійною на всьому інтервалі відгодівлі. У такому випадку цікаво розглянути цю проблему в такій постановці.

Нехай a(p — характеристика одиниці j -го компонента за і-м

показником у t -й день відгодівлі, Ь( ) — мінімально необхідна кількість /-го показника в t -й день відгодівлі; с^ — ціна одиниці

ваги j -го компонента відгодівлі в t -й день; Q(t) — кількість не-обхідної суміші в t -й день відгодівлі.

Тоді одержуємо таку модель: в області G, визначеної умо-вами:

Y^a( )x(p >Ц') ,    і = 1,п,    t = 1,T    (3.6)

j=1

YJXP^Q  ,      (3.7)

треба знайти хр) > 0,   j = 1,т,   t = 1,T        (3.8)

такі, при яких функція вартості відгодівлі

F(x) = 1111СРХР       (3.9)

j=1t=1

досягає мінімального значення.

Неважко побачити, що прагнення одержати максимальну про-дуктивність ферми приводить до розгляду двоцільової моделі, в якій додатково вводиться функція

ф(Х) = S S ^РхР ,       (3.10)

t=1 }=1

яка повинна бути спрямована до максимуму.

Тут а(,) — приріст тварини, який вийде в t -й день від одиниці ваги суміші j.

Розв’язок задачі (3.6)—(3.10) (якщо він існує) називається оп-тимальним за Парето. Методи розв’язування таких задач розгля-нутоутемі 9 [16].

Задача складання шихти для металургійного підприємства

Шихта — робоча суміш, завантаження і переробка якої в тех-нологічній установці дозволяє одержати кінцеву продукцію з за-даними властивостями. Оптимізація складу шихти — актуальна проблема для багатьох галузей виробництва. Вона становить ін-терес для чавуноливарних підприємств, де на базі різних вихід-них матеріалів складаються суміші для завантаження в плавильну піч для виплавки сталі [22].

Шихта в даному виробництві складається із доменного чавуну, стального скрапу, ливарного брухту, відходів замкнутого виробни-чого циклу і феросплавів. Потрапляючи до плавильної печі, вона проходить різні зони і в останній розплавляється. Рідкий метал по-винен мати властивості, які задаються у вигляді обмежень за пев-ними компонентами (вуглець, ьфемній, марганець, фосфор, сірка).

Для побудови моделі введемо такі позначення: хі   (і = 1,т) -кількість /'-ої складової суміші, яка завантажується; Ь — обов’я-зковий норматив— величина «холодної садки» — певний для

печі заданої продуктивності; и-,   v.(y = 1,5) —відповідно нижня і

верхня межа вмісту j -го компонента в хімічному складі металу

(в цієї задачі 7 = 1,5), atj — кількість j -го компонента в одиниці

г'-ої складової суміші.

Процес виплавляння відбувається за високих температур і су-проводжується окислювально-відновними реакціями, в результа-ті чого кількість кремнію і марганцю зменшується порівняно з кількістю в суміші, а вміст сірки і вуглецю збільшується. Для врахування цих явищ введемо коефіцієнти q., які визначаються

емпіричним шляхом; для елементів, для яких відбувається віднов-лення, вони додатні, а якщо відбувається окислення — вони від’ємні. Найважливішим показником якості кінцевого продукту є вміст вуглецю (Sc) при температурі 1152°C. Окрім того, якщо Sc = 4,26%, то відбувається формування кращих кристалічних властивостей. I, нарешті, існують обмеження у співвідношеннях між деякими інгредієнтами суміші.

Враховуючи ці зауваження, запишемо економіко-математичну модель.

В області G , визначеній умовами:

т

Zx, = ^ (3.11)

і=1

m                    

(1 + q-)u-<'£daj-xj<(1 + q-)V,    j = 1,5         (3.12)

-1

$c = 2 (1 + ?1)ai1xi(4,26 - (^^b (1 + q )ayXj))

1=1      /=2г=2 (3.13)

2 (1 + ?3 )Яг3Хг = 1,7X (1 + 45 )ai5Xi + a1,            (3.14)

знайти x. > 0,   i = 1,m           (3.15)

такі, при яких мінімізується сумарна вартість шихти, тобто функція

т

F(x) =   1 cixt . (3.16)

і=

У моделі (3.11)—(3.16) bj(j = 2,5) є коефіцієнти, які показують

вплив відповідного елемента на вуглець, а вираз у круглій дужці обмеження (3.13) визначає їх сумарний вплив на зміщення показ-ника по вуглецю. Величина а1 в (3.14) визначається емпіричним шляхом і вважається відомою для металургійного процесу. с. (г' = 1,т) — ціна одиниці ваги відповідного виду сировинного ресурсу, який входить у шихту.

Характерна відмінність моделі (3.11)—(3.16) від (3.6)—(3.10) полягає в необхідності враховувати технологічні умови форму-вання властивостей кінцевої продукції в умовах високотемпера-турного режиму.

Оптимізація балансових задач

Оптимальні балансоеі моделі побудовані для економіки, що складається з и-галузей. У спрощеній постановці вважають, що існує   матриця   постійних   технологічних   коефіцієнтів-витрат

A = щ. , де atj — витрати продукції г-ої галузі на виготовлення одиниці продукції j -ої галузі. Виробничі потужності /-ої галузі обмежують її валовий випуск величиною di (і = 1, гі), вартість одиниці кінцевої продукції /-ої галузі сі.

Визначити оптимальний валовий обсяг продукції кожної галу-зі, при якому максимізується функція цілі — сума грошей, що отримує народне господарство від загальної продукції.

Позначимо    X = (х1,.,.,хп) -      вектор   валового    продукту,

Y         = (у1,.,.,уп) — вектор кінцевого продукту. Між векторами X і

Y         існує зв’язок:

X = AX + Y,

де АХ — продукт, що втрачається на споживання. Економіко-математична модель має вигляд:

Визначити X = (Е - A)~1 Y <d,   Y > 0, що максимізують функ-

—        п

цію F(Y) = ^СІУІ .

і=1

Е — одинична матриця.



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_0055837bc04183056d11cb4464a54f11, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0