2. Таблиці смертності та мета їх використання в страхуванні життя


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 

Загрузка...

Актуарна математика страхування життя передбачає викорис-тання селективних та регіональних таблиць смертності, статистичні дані яких є основою для визначення ймовірності дожиття та смерті. Ці показники необхідні для розрахунку страхових тарифів.

Основи теорії актуарних розрахунків були закладені в XVII ст. в працях учених Д.Граунта, Яна де Вітта, Е.Галлея. В 1662 р. Д.Граунт публікує працю „Природні та політичні спосте-реження, здійснені над бюлетенем смертності”. Він уперше обро-бив дані про смертність людей та побудував таблиці смертності. Подальший розвиток теорія актуарних розрахунків отримала в працях англійського астронома та математика Е.Галлея. Він сфо-рмулював визначення основних таблиць смертності. Форма таб-лиці смертності, запропонована Галлеєм, використовується по сьогоднішній день.

У страховій теорії таблиця смертності визначається як упо-рядкований ряд взаємопов'язаних величин, що характеризують зменшення з віком деякої сукупності народжених унаслідок сме-ртності. Таблиця є системою показників, які вимірюють частоту смертності в різні періоди життя та частоту дожиття до кожного наступного віку. Показники таблиці смертності побудовані як опис процесу дожиття та вимирання деякого покоління з фіксова-ною початковою чисельністю народжених (табл. 3.2).

Таблиця 3.2.

Таблиця смертності (гіпотетичні дані)

X         Lx        dx        Qx       Рх

0          100000            1782    0,01782           0,98218

1          96218  185      0,00188           0,99812

...         ....        ...         ...         ....

18        97028  121      0,00125           0,99875

...         ....        ....        ....        ...

20        96773  145      0,00149           0,99851

...         ....        ....        ....        ....

40        92246  374      0,00408           0,99592

41        91872  399      0,00149           0,99851

42        91473  427      0.00467           0,99533

43        91046  458      0,00503           0,99497

44        90588  492      0.00543           0,99457

45        90096  528      0,00586           0,99414

...                     ...                     ...

50        87064  735      0,00844           0,99156

...                     ...                     ...

60        77018  1340    0,01740           0,9826

...                     ...                     ...

85        18900  2616    0,13840           0,8616

X - однорічні вікові групи населення;

Ьх_число осіб, що доживає до кожного наступного віку;

dx - число осіб, що помирає у віці х;

qx - ймовірність смерті при переході від віку X до віку Х+1;

Рх - ймовірність дожиття віку Х+1.

qx = dx / Lx,; рх = [Lx +і] / Lx .

Ймовірність смерті можна також розрахувати шляхом відні-мання від одиниці ймовірності дожиття.

Тепер проаналізуємо дані таблиці смертності. Припустимо, що в деякому році з'явилося 100 000 новонароджених. За табли-цею смертності можна визначити, скільки з них доживе до того чи іншого віку, а також помре кожного року. Важливими інформа-тивним показниками таблиці є ймовірність смерті та ймовірність дожиття до, відповідно, q х та рх.

Використовуючи показники смертності, страхова компанія з високим ступенем імовірності може припустити, що вподовж

найближчого року з 1000 застрахованих у віці 40 років може по-мерти 4 чол., 50 років - 8, 60 років - 17 чоловік. Звичайно, в окремі роки ці цифри можуть бути дещо іншими, але ризик від-хилення незначний. Таким чином, страховій компанії стає відо-мою кількість виплат при страхуванні на випадок смерті. Відзна-чимо, що показники смертності мають варіативний характер для міської та сільської місцевості, для окремих регіонів і особливо для чоловіків та жінок. Усі ці моменти враховуються в більш де-тальних таблицях смертності та знаходять своє відображення при побудові тарифних ставок.

В аналогічному порядку за даними таблиці смертності можна визначити на 1000 застрахованих кількість осіб, що доживає до кожного наступного віку Ця величина буде кількістю виплат у ра-зі страхування на випадок дожиття.

Таким чином, таблиці смертності дають можливість страхо-вій компанії визначити кількість виплат як за випадками смерті, так і за випадками дожиття застрахованих до певного віку.

Вище уже зазначалося, що особливою рисою договорів стра-хування життя є їх довгостроковість. Страхувальники сплачують або всю суму страхової премії відразу при укладенні договорів, або (що буває значно рідше) впродовж усього терміну страхуван-ня. Таким чином, утворюється великий проміжок часу від момен-ту надходження страхових платежів до моменту виконання зобо-в'язань. Страхова компанія отримує в своє розпорядження значні суми тимчасово вільних коштів страхових резервів, які, згідно з чинним законодавством, можуть використовуватися страховиками у фінансовій та інвестиційній діяльності та забезпечувати додат-ковий дохід. Тому при визначенні нетто-ставки страхова компанія повинна врахувати цей дохід. Чим вища норма дохідності, тим менша нетто-ставка.

У статті 2 Закону № 2745 зазначено, гцо в договорі страху-вання життя величина інвестиційного доходу не повинна пере-вищувати 4 % річних.

Договором страхування життя обов'язково передбачається збільшення розміру страхової суми та (або) розміру страхових виплат на суми (бонуси), гцо визначаються страховиком один раз на рік за результатами отриманого інвестщійного доходу від розміщення коштів резервів із страхування життя за вирахуванням витрат страховика на ведення справи врозмірі до 15 % інве-стщійного доходу та обов'язкового відрахування в математичні резерви частки інвестщійного доходу, що відповідає розміру ін-вестщійного доходу який застосовується для розрахунку стра-хового тарифу за цим договором страхування та вразі індексації розміру страхової суми та (або) розміру страхових виплат за офіційним індексом інфляції, відрахування в математичні резерви частки інвестщійного доходу що відповідає такій індексації.

Договором страхування життя також може бути передба-чено збільшення розміру страхової суми та (або) розміру страхо-вих виплат на суми (бонуси), які визначаються страховиком один раз нарік за іншими фінансовими результатами його діяльності (участь у прибутках страховиків).

У табл. 3.3 наведено величини прирощення вкладень (однієї гривні) у кінці кожного року при нормі дохідності 4 % річних, що розраховані за формулою складних відсотків:

МВ= 1Шх(1+і)

де MB - майбутня вартість вкладень;

ПВ- поточна вартість вкладень;

і - норма дохідності;

т- період нарахування відсотків.

Таблиця 3.3. Прирощення вкладень при 4 % норми дохідності

 

Кількість років           Норма дохідності 4 % на рік

1          1,04

3          1.12

5          1.21

10        1.48

Дані таблиці свідчать про залежність темпів збільшення вкладеної суми від величини норми дохідності. По закінченню третього року вкладена сума збільшиться на 12 %, п'ятого року -на 21 %, десятого року - на 48 %. Однак за такою схемою нарахо-вують банки своїм клієнтам відсотки на відкриті вклади, тобто шляхом приєднання до суми вкладу суми нарахованих відсотків. Страхові компанії діють дещо по-іншому Вони враховують отриманий страхувальником дохід при укладенні договору страхуван-ня життя шляхом попереднього зменшення своїх фінансових зо-бов'язань. Тому страхові компанії мають обчислити суму яка по-винна бути внесена на поточний момент для того, щоб через ви-значений договором термін мати потрібну страхову суму Визна-чення невідомої величини здійснюється за допомогою дисконту-вання, що дає змогу обчислити поточну вартість майбутньої ви-плати в 1 грн. Коефіцієнт дисконтування є зворотним до формули нарахування складних відсотків:

1Ш = MB /(1+1) ,

ПВ- поточна вартість майбутніх вишіат;

MB- майбутні вишіати;

і - норма дохідності;

т- рік приведення;

У таблиці 3.4. наведено дисконтуючі множники, величина яких ураховує 4-х відсоткову норму дохідності:

Таблиця 3.4

Дисконтуючі множники

Кількість років страхування Значення множника при 4% норми дохідності

1          0,96

3          0,89

5          0,83

10        0,68

Для обчислення суми, яку необхідно внести сьогодні, розра-ховуючи на отримання через відому кількість років при заплано-ваній дохідності бажаної страхової суми, треба цю суму помно-жити на дисконт. У результаті буде отримана поточна величина майбутньої виплати. Так, для того щоб через 10 років отримати 10 000 грн при нормі дохідності 4 %, необхідно внести зараз 6800 грн (10 000x0,68).

Таким чином, нетто-ставка зі страхування життя обчи-слюється на підставі поточної вартості майбутньої виплати. Розглянемо інший приклад:

Фізична особа у віці 40 років укладає договір страхування на дожиття терміном на 5 років і страховою сумою 1000 грн. На підставі таблиці смертності визначаємо, що до віку 40 років дожило 92 246 осіб. Припустимо, що всі вони будуть застраховані і до ві-ку 45 років доживе 90 096 осіб. Відповідно, кількість страхових виплат буде дорівнювати кількості осіб, що дожили до 45 років, a сума виплат 1000 х 90096 = 90 096 000 грн. Дисконтуючий множ-ник за 5 років при нормі дохідності 4 % становить 0,83. Тоді по-точна вартість майбутніх виплат складатиме:

90 096 000 х 0,83 =74 779 680 грн.

Для накопичення цієї суми кожен страховик при укладенні договору повинен отримати з кожного клієнта: 74 779 680: 92246 = 811 грн.

Сума 811 грн і буде одноразовою нетто-ставкою по страху-ванню на випадок дожиття при відомих величинах:

-          вік застрахованого:

-          термін страхування;

-          норма дохідності;

-          страхова сума.

Аналогічно можна розрахувати одноразовий тариф-нетто по страхуванню на випадок смерті фізичної особи в період дії дого-вору тільки в методиці використовуються показники смертності.

Розглянемо розрахунок на такому прикладі: із 92 246 застра-хованих у віці 40 років протягом першого року помре 374 особи. Відповідно ця цифра є кількістю виплат. Сума майбутніх виплат буде становити 374 х 1000 грн = 374 000 грн, а поточна вартість майбутніх виплат - 374 000 х 0,96 = 359 040 грн. Далі за табли-цею смертності визначаємо. що протягом другого року помре 399 осіб, протягом третього - 427, четвертого - 458, п'ятого - 492 особи. визначаємо розміри страхових виплат у кожному році і складемо їх за 5 років та поділимо на загальну кількість застрахо-ваних:

[(374 х 0,96 + 399 х 0,92 + 427 х 0,89 + 458 х 0,85 + 492 х 0,83): 92246] х 1000 =20,6 грн.

Отримана величина 20,6 грн. є одноразовою нетто-ставкою за договором страхування на випадок смерті фізичної особи. На практиці найчастіше договори страхування життя мають зміша-ний характер, тобто поєднують у собі страхування як на випадок смерті, так і на випадок дожиття. Тому одноразова нетто-ставка в

цьому випадку дорівнює сумі розрахованих нетто-ставок за кож-ним ризиком.

Зазначимо, що одноразовий тариф не завжди зручний для страхувальника. Більшість із них віддають перевагу більш трива-лому терміну виконання своїх зобов'язань, тому в страхуванні життя використовуються не одноразові нетто-ставки, а нетто-ставки розстроченого характеру (річні, щомісячні, щоквартальні).

Для розрахунку річної нетто-ставки страхові компанії вико-ристовують спеціальні коефіцієнти розстрочки, величина яких за-лежить від норми дохідності, віку страхувальника (застраховано-го) та терміну сплати внесків. При цьому сума річних нетто-ставок буде більшою за суму одноразової нетто-ставки, оскільки страхова компанія отримує в своє розпорядження меншу суму грошей і, як наслідок, втрачає частину інвестиційного доходу

У правилах страхування страхові компанії вказують, за зви-чай, щомісячні внески (з урахуванням навантаження), які визна-чаються шляхом ділення річних внесків на 12.

Зазначимо, що на практиці з метою спрощення розрахунків страхових тарифів використовуються спеціальні показники - ко-мутаційні числа, які враховують зв'язок між даними таблиці смертності та дисконтуючими множниками.