Методичні вказівки до рішення типових задач


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 

Загрузка...

Задача 1. Обчислення аналітичних показників дина-мічного ряду. Існують такі дані про виробництво продукції на підприємстві:

Таблиця 7.9

Роки    1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Виробництво                                                                                             

продукції,       46,8     50,9     55,3     58,7     62,4     66,2     70,3     78,9

тис.грн.                                                                                           

Визначити ланцюгові і базисні показники динаміки: а) абсолютний приріст; б) темп зростання; в) темп приросту; г) абсолютне значення одного приросту. Зробити висновки.

Розв’язання

Аналітичні показники динаміки визначимо за формулами (7.1), (7.2), (7.4), (7.5), (7.7), (7.8), (7.10) і запишемо в таблицю:

Таблиця 7.10

                                                          

 

            уі         А;        АІО     Кі        Кі0      Ті         Ті0       Аі

1998    46,8     ...         0          ...         1,00     ...         0          ...

1999    50,9     4,1       4,1       1,088   1,088   8,8       8,8       0,466

2000    55,3     4,4       8,5       1,086   1,182   8,6       18,2     0,512

2001    58,7     3,4       11,9     1,061   1,254   6,1       25,4     0,557

2002    62,4     3,7       15,6     1,063   1,333   6,3       33,3     0,587

2003    66,2     3,8       19,4     1,061   1,414   6,1       41,5     0,623

2004    70,3     4,1       23,5     1,062   1,502   6,2       50,2     0,661

2005    78,9     8,6       32,1     1,122   1,685   12,2     68,6     0,705

Висновок. У 2005 році випуск продукції у порівнянні з 1998 роком збільшився на 32,1 тис. грн, або в 1,686 рази (68,6 %), а порівняно з 2004 роком - на 8,6 тис. грн, або в 1,122 рази (12,2%). Кожний відсоток абсолютного приросту у 2005 році становив 705 грн. Таким чином, розвиток підприємст-ва з випуску продукції є позитивним, а його показники зроста-ють із року в рік.

Задача 2. Розрахунок середніх показників рядів динамі-

ки. За даними задачі 1 визначити середній рівень виробництва продукції за період, що аналізується, а також середній абсолют-ний приріст, середній темп зростання, середній темп приросту. Зробити висновки.

Розв’язання

Оскільки ряд динаміки у табл. 7.10 є інтервальним, то середній рівень виробництва продукції розраховується за фор-мулою середньої арифметичної простої (7.13):

X Уі 46,8 + 50,9 + 55,3 + 58,7 + 62,4 + 66,2 + 70,3 + 78,9

У

п          8

489,5

=          « 61,2 тис.грн.

Середній абсолютний приріст продукції визначається за

формулою (7.17) і складає:

-г Уп ~Уі 78,9-46,8 32,1

Л =      =          =          « 4,58 тис.грн.

п-1      8-1      7

Середній темп зростання за період з 1996 по 2003 роки

розраховується за формулою (7.18):

[у^ J 78,9 7Г

у0 V 46,8

Середній темп приросту за досліджуваний період обчис-ляється за формулою (7.19):

Т = К(%) -100 = 108 -100 = 8% .

Висновки. Середній рівень виробництва продукції за до-сліджуваний період складає 61,2 тис. грн. При цьому середній

J/o,b> 7/ТТ7ТТ

= 7       = у 1,686 «1,08, або 108%.

К = п-1

           

абсолютний приріст випуску продукції за 1998-2005 роки дорів-нює 4,58 тис. грн. Випуск продукції за період щорічно зростав в 1,08 рази (8%), або на 4,58 тис. грн.

Задача 3. Обчислення середньої хронологічної. Є такі дані про товарні запаси у роздрібній сіті торгівельних організа-цій міста та їх рух: на 01.01.2003 р. надійшло товарів на 64,1 тис. грн.; на 01.04.2003 р. відвантажено товарів на 6,3 тис. грн.; на 01.07.2003 р. надійшло товарів на 2,2 тис. грн, на 01.10.2003 р. - на 3,2 тис. грн, а на 01.01.2004 р. - на 9,1 тис. грн. Необхідно: а) побудувати ряд динаміки; б) визначити його вид; в) встановити, чи рівні інтервали між наданими моментами часу; г) встановити середні залишки товарів. Зробити висновки.

Розв’язання

Побудуємо ряд динаміки наявності товарів згідно з умо-вами задачі (тис. грн), рівні якого будуть: 01.01.2003 р. - 64,1; 01.04.2003 р. - 57,8; 01.07.2003 р. - 60,0;

01.10.2003      р. - 63,2;

01.01.2003      р. - 72,3.

Даний ряд динаміки є моментним з рівними інтервалами

(3 міс). Для такого ряду використовується формула для серед-

ньої хронологічної (7.14):

1          1          64,1     72,3

— у1+у2+у3+у4+—у5          + 57,8 + 60,0 + 63,2 +          

- 2       2          2          2

у =        =          =

5-1      4

249,2

=          « 62,3 тис.грн.

Висновок. В середньому щомісячно протягом 2003 року середні залишки товарних запасів становили 62300 грн.

Задача 4. Аналітичне вирівнювання ряду динаміки. Є такі дані про чисельність населення на початок року районного центру області:

Таблиця 7.11

Рік       2001    2002    2003    2004    2005

Чисельність насе-лення, тис. осіб  72        78        83        87        90

Визначити: а) вид лінії тренду; б) параметри рівняння регресії ліній тренду; в) точковий та інтервальний прогноз щодо населення районного центру області у 2005 році.

Розв’язання

Загальне уявлення про характер тенденції зміни явища можна отримати із графічного зображення ряду динаміки (рис. 7.2):

 

90 ~

80 ~

70 -

I I I I I

 

Роки

Рисунок 7.2 – Чисельність населення районного центру області

в 2001-2005 рр.:        фактичні дані;            вирівняні

дані (лінія тренду)

Із графіка видно, що фактичні дані ряду динаміки (точки на рисунку) розміщені близько до прямої лінії. Тоді вирівню-вання ряду динаміки здійснюється за прямою, яка описується рівнянням тренду у вигляді функції Yt=a0+a1t, де а0, а1 – параме-три рівняння тренду, t – порядковий номер періодів часу.

Параметри рівняння прямої, які задовільнюють методу найменших квадратів, знаходяться із рішення такої системи:

'а0п + аі^ = ^у;

де у - фактичні рівні ряду динаміки за табл. 7.11; п - чи-сло рівнів.

Необхідні для розрахунку а0 і а; суми (∑>, ∑у, ∑/, ∑K) розраховано в табл. 7.12. Роки послідовно позначені як 1, 2, 3,

4,5 (п=5).

Таблиця 7.12

Рік       Чисельність населення, тис. осіб, у            Умовна ознака часу, t           t2         yt         Yt        y-Yt     (y-Yf

2001    72        1          1          72        73,0     -1,0     1,0

2002    78        2          4          156      77,5     +0,5     0,25

2003    83        3          9          249      82,0     +1,0     1,0

2004    87        4          16        348      86,5     +0,5     0,25

2005    90        5          25        450      91,0     -1,0     1,0

Всього            410      15        55        1275    410      х          3,50

Використовуючи отримані дані, отримаємо таку систему рівнянь:

5а 0 +15aj =410;

15а0 +55aj =1275.

Із рішення даної системи визначимо параметри лінії тре-нда: а0=68,5; а;=4,5.

Тоді рівняння, що описує пряму лінію тренду, буде мати такий вигляд:

Yt=68,5+4,5t

Підставляючи в це рівняння значення t=\, 2, 3, 4, 5, знайдемо вирівняні (теоретичні) значення Yt (див. табл. 7.12), які покажемо на рис. 7.2.

Розв’язання даної задачі можна скоротити іншим, спро-щеним способом розрахунку параметрів рівняння лінії тренду. Для цього використаємо спосіб відліку часу від умовного початку – середини періоду. Виразимо ознаки часу t у відхиленнях від t=0 в середині ряду динаміки для 2003 року. Система рівнянь спрощується і буде мати вигляд (7.25). Параметри лінії тренду розраховуються за формулами (7.26).

Необхідні для розрахунку а0 і а1 суми наведені в таблиці:

Таблиця 7.13

Рік       Чисельність населення, тис. осіб, у            Умовна ознака часу, t           t2         yt         Yt

2001    72        -2        4          -144    73,0

2002    78        -1        1          -78      77,5

2003    83        0          0          0          82,0

2004    87        1          1          87        86,5

2005    90        2          4          180      91

Всього            410      0          10        45        410

s

           

2>

У 410

           

 4,5.

Ctg

 

 82; a i

n

Рівняння лінійного тренду має вигляд Yt=82+4,5t

і відповідає відліку t від середини ряду динаміки (2003 рік). Так, при t=0 Yt=82 тис. осіб.

Визначимо точковий і інтервальний прогнози на 2007 рік, скориставшись рівнянням тренду при відліку ознаки часу від початку періоду у 2001 році: Yt=68,5+4,5t.

Для 2005 року t=7. Отже, за точковим прогнозом на 2007 рік чисельність населення районного центру становитиме: Yпр=68,5+4,5t=68,5+4,5*7=68,5+31,5=100,0 тис. осіб

Для встановлення інтервального прогнозу на 2007 рік скористаємося залежністю (7.27).

Визначимо залишкове середнє квадратичне відхилення з урахуванням даних табл. 7.12 при п=5 і т=2.

3,50 "V 5-2

           

 V1,167 « 7,05

°є

YJy-Yt)2

 1

n-m

Коефіцієнт довіри t вибирається із статистичних таблиць t-розподілу Ст’юдента в залежності від рівня значимості α=0,05 і числа ступенів вільності (п-т)=5-2=3: t=2,35. Тоді прогнозне значення чисельності населення (тис. осіб) в районному центру області у 2007 році з ймовірність 95% буде знаходитися в ме-жах:

100,0-2,35*1,08≤Yпр≤100,0+2,35*1,08; 97,46≤Yпр≤102,54.

Задача 5. Аналіз сезонних коливань. Є дані про динамі-ку постачання молока (т) за три роки для молокозаводів міста (табл. 7.14). Потрібно: а) визначити індекси сезонності; б) зо-бразити сезонну хвилю постачання молока графічно; в) зроби-ти висновки.

Розв’язання

1. Сезонність постачання молока за три роки (2003-2005 рр.) може бути охарактеризована за допомогою індексів сезонності: процентному відношенню окремих рівнів до серед-нього рівня ряду динаміки. Місячні дані одного року через вплив випадкових факторів можуть бути нетиповими для вияв-лення тенденції розвитку явища. Тому доцільно визначати інде-кси сезонності в середньому за три роки. Спочатку для кожного місяця за три роки обчислимо середню величину постачання молока. Потім визначимо середньорічний рівень для триріччя і обчислимо індекси сезонності:

Таблиця 7.14

            Роки    Всього за три роки, т            У серед-ньому за три роки, уі ,т      Індекс сезонності,

yi Іs = 100% yзаг

 

            2003    2004    2005   

           

           

 

І           120      131      112      363      121,0   78,7

ІІ         125      127      130      382      127,3   82,8

ІІІ        140      152      143      435      145,0   94,3

IV        157      160      162      479      159,7   103,8

V         168      181      175      524      174,7   113,6

VI        181      194      197      572      190,7   124,0

VII       196      201      191      588      196,0   127,4

VIII     183      180      171      534      178,0   115,7

IX        160      165      154      479      159,7   103,8

X         142      148      155      445      148,3   96,4

XI        133      127      140      400      133,3   86,7

XII       115      110      111      336      112,0   72,8

Всьо-го           1820    1876    1841    5537    1845,7 1200

У

серед-ньому   151,7   156,3   153,4   461,4   153,8   100

2. В графі 6 таблиці визначимо середні рівні постачання молока за три роки по місяцях. Середні рівні розраховуються за формулою середньої арифметичної простої:

- І> Уі = ^^ > п

де уі - місячні рівні за три роки; п - число місяців.

Так,

 - Уі+У2+Уз 120 + 131 + 112 363

у січні у і = ——— = =          = 121,0 т;

п          3          3

у лютому

Уі+У2+Уз 125 + 127 + 130 382 ,„„,,

_ s_i     s_j_     s3_ _   _          ^ J2JJ т і т д

п          3          3.         За обчисленими середньомісячними рівнями визначи-

мо загальний середній рівень за три роки (останній рядок гр.6):

yзаг

У]Уі 121,0 + 127,3 + ... + 112,0 1845,7

—— = =          «153,8 т,

п          12        12

або за даними про середні рівні за кожен рік:

yзаг

У]Уі 151,7 + 156,3 + 153,4

 —— =           = 153,8 т.

п          3

у січні Is у лютому Is

4.         Встановимо індекси сезонності постачання молока

(гр.7):

yзаг.

153,8

127,3

           

153,8

y2 yзаг.

Уі 727,0 7ЛЛ

1 100 =           100*78,7%;

           

100 ≈ 82,8% і т.д.

5. Зобразимо сезонну хвилю постачання молока графічно-побудувавши лінійну діаграму (рис. 7.3):

Іs%

140 130 120 110 100

 

90 80

J          I           I           I           I           I           I           I           I           I           1_

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Місяць

Рисунок 7.3 – Сезона хвиля постачання молока на молокозаводи міста

6. Висновки. З даних таблиці і рисунка видно, що сезон-ність постачання молока на молокозаводи міста має чітко вира-жений характер: найбільше молока було поставлено у весняно-літній період, а найменше – в осінньо-зимовий. Максимум пос-тачання припадає на липень, мінімум – на грудень.