7.4. Методи обробки динамічних рядів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 

Загрузка...

При аналізі рядів динаміки важливо виявити загальну тенденцію розвитку (тренд) соціально-економічного явища, тобто встановити, в якому напрямку (зростає, зменшується) і за якою залежністю (лінійна чи нелінійна) вона змінюється. Ця за-дача в статистиці називається вирівнюванням динамічних рядів. Часто рівні ряду з часом змінюються (коливаються), але ця змі-на для різних явищ неоднакова і може визиватися різними при-чинами. Говорять, що динаміка ряду включає три компоненти: тенденцію (або тривалочасовий рух); короткочасовий система-тичний рух; несистематичний випадковий рух. Вивчаючи ряди динаміки, дослідники намагаються виявити головним чином загальну тенденцію (тренд) у змінах рівнів ряду, тобто основну закономірність розвитку явища, яка вільна від дії різних випад-кових факторів. Для цього ряди динаміки підлягають спеціаль-ній обробці - вирівнюванню. Вона дозволяє характеризувати особливості зміни за часом динамічного ряду в найбільш зага-льному вигляді, вважаючи, що через фактор часу можна переда-ти вплив усіх головних факторів.

До способів і методів вирівнювання динамічних рядів

можуть бути віднесені такі:

а)         збільшення інтервалів;

б)         обчислення середніх рівнів для збільшених інтервалів;

в)         визначення ковзкої (плинної, рухомої) середньої;

г)         аналітичне вирівнювання.

Найбільш простим способом вирівнювання рядів є збі-льшення їх інтервалів. Суть цього підходу полягає в тому, що первинний ряд динаміки перетворюється і замінюється іншим, рівні якого відносяться до більших за тривалістю періодів часу (денні інтервали замінюються на п’яти- або десятиденними, мі-сячні інтервали – квартальними і т.і.). Знов утворений ряд буде містити збільшені рівні, які отримані підсумуванням рівнів пер-винного ряду абсолютних величин. При цьому відхилення в рів-нях, обумовлених випадковими причинами, взаємно гасяться, згладжуються і більш ясно виявляються в дії основні фактори зміни рівнів, тобто загальна тенденція.

Розглянемо використання способу збільшення інтервалів за даними реалізації телевізорів в магазинах міста (шт.):

 

Січень 366      Липень           380

Лютий            310      Серпень         381

Березень         296      Вересень        392

Квітень           380      Жовтень         444

Травень          336      Листопад       382

Червень          295      Грудень          398

Різні напрями змін за окремими місяцями рівнів даного ряду динаміки затруднює висновки про основну тенденцію про-дажу телевізорів. Рішення цієї задачі спрощується, якщо відпо-відні місячні рівні поєднати у квартальні: І квартал – 972 шт.; ІІ квартал – 1011 шт.; ІІ квартал – 1153 шт.; IV квартал – 1224 шт. Після збільшення інтервалів основна тенденція зрос-тання продажу телевізорів стає явною: 972<1011<1153<1224.

Частковим випадком розглянутого способу є обчислення середніх рівнів для збільшених інтервалів. При цьому збільшені рівні ряду динаміки замінюються середніми рівнями збільшених інтервалів.

Одним із розповсюджених простих методів вирівнюван-ня динамічних рядів є їх згладжування за допомогою ковзкої середньої. Суть методу полягає в тому, що для первинного ряду динаміки формуються збільшенні інтервали, які складаються з однакової кількості рівнів т. Кожен послідовний інтервал отри-мується послідовним зміщенням від початкового на один рівень. Тоді для нових інтервалів розраховуються середні рівнів

y, + y7 +... + ym

Уі =——         , У2

y2 + y3 + ...+ ym+1

і т.д., які як би

mm “згладжують” інтервали і “плинуть” по динамічному ряду з кро-ком, рівним одиниці. Дістається новий ряд, зіставлений із ковз-них середніх. Кожна із середніх відноситься до середини укруп-неного інтервалу, тому технічно зручніше зіставляти збільшені інтервали із непарної кількості рівнів т (три, п’ять, сім тощо). Знаходження ковзної середньої для парної кількості рівнів скла-дає незручність, обумовлену тим, що середня може бути відне-сена між двома рівнями і тому необхідна додаткова процедура – центрування: обчислення середньої із двох суміжних середніх для кожного інтервалу. В результаті новий динамічний ряд, по-будований із ковзних середніх, дає виразну тенденцію розвитку явища за рахунок усування коливань рівнів внаслідок випадко-вих причин. Це наочно проявляється при графічному зображен-ні фактичних та згладжуваних даних при виявленні тенденції розвитку явища (збільшення або зменшення за часом).

Використання цього методу розглянемо за даними про реалізацію продуктів харчування в магазинах міста (тис. грн.):

Таблиця 7.7

Квартал          Роки

 

            2002    2003    2004    2005

І           175      247      420      426

ІІ         263      298      441      449

ІІІ        326      366      453      482

IV        297      341      399      460

Особливістю даних табл. 7.7 є періодична зміна кварта-льних рівнів: збільшення продажу у ІІ та ІІІ кварталах і знижен-ня у IV кварталі. Основна тенденція тут не проглядається.

Для виявлення тенденції розвитку методом ковзної сере-дньої перш за все кількість рівнів первинного ряду об’єднується у збільшених інтервалах. Звичайно для характеристики розвитку товарообороту магазинів за роками зіставляються інтервали з чотирьох річних кварталів. Тому при використанні методу ковз-ної середньої їх розрахунок полягає у визначенні середніх вели-чин із чотирьох рівнів ряду з відкиданням при розрахунку кож-ної нової ковзної середньої одного рівня ліворуч і приєднання одного рівня праворуч:

y1 +y2 +y3 +у4           y2 +y3 +y4 +у5

y1 =     ; y2 =   і т.д.

В нашому прикладі розраховується 13 ковзних середніх

(табл. 7.8, гр.3):

Таблиця 7.8

Рік, квартал    Вихідні рівні уі           Ковзні середні уkі     Згладжені рівні з центруванням у3і

1-й рік                       

І кв.     175      -          -

ІІ         263      1061/4=265,2 -

ІІІ        326      1133/4=283,2 274,2

ІV        297      1168/4=292,0 287,6

2-й рік                       

І кв.     247      1208/4=302,0 297,0

ІІ         298      1252/4=313,0 307,5

ІІІ        366      1425/4=356,2 334,6

ІV        341      1568/4=392,0 374,1

3-й рік                       

І кв.     420                  402,9

ІІ         441      1655/4=413,8 421,0

ІІІ        453      1713/4=428,2 429,0

ІV        399      1719/4=429,2 430,8

4-й рік                       

І кв.     446      1727/4=431,8 435,4

ІІ         449      1756/4=439,0 446,6

ІІІ        482      1817/4=454,2 -

ІV        460      -          -

Для парного числа рівнів кожне значення ковзної серед-ньої припадає на проміжок між двома суміжними кварталами. Так, перша ковзна середня (265,2) лежить між кварталами ІІ і ІІІ, друга (283,2) – між кварталами ІІІ і ІV і т.д. Для знаходження зглажуванних рівнів виконується центрування (графа 4). Для ІІІ кварталу розраховується середнє значення між першою та дру-гою ковзними середніми: (265,2+283,2)/2=274,2 тис.грн.; для ІV кварталу центрується друга та третя ковзні середні: (283,2+292,0)/2=287,6 тис.грн. і т.д.

Отримані дані згладжених рівнів знаходяться в гр. 4 (див. табл. 7.8). Із їх графічного зображення проявляється тен-денція розвитку торгівлі магазинами міста з використанням ме-тоду ковзної середньої (рис. 7.2).

у, тис.грн 50 0

/I

-фактичні дані

300 j-  \**г згладжувані рівні методом ко-

взної середньої

200 ~

100

I I I I I I I I I I I I I I I I

I II III IV I II III IV I II III VI I II III VI Квартал

2002р. 2003р. 2004р. 2005р.            Рік

Рисунок 7.2 – Реалізація продуктів харчування за роками

Недоліком вирівняного ряду методом ковзної серед-ньої є те, що такий ряд “скорочується” порівняно з первинним

n -1

на        рівнів ряду з одного та другого кінця (під п розуміють кількість рівнів первинного ряду, з яких визначають ков-зні середні).

Використання в аналізі рядів динаміки способу збіль-шення інтервалів та методу ковзної середньої дозволяє виявити тренд для його опису, але отримати узагальнюючу статистичну оцінку тренду цими підходами неможливо. Вирішення цієї зада-чі – вимір тренда – досягається методом аналітичного вирівню-вання.

Суть аналітичного вирівнювання динамічних рядів поля-гає в тому, що фактичні рівні ряду замінюються плавними рів-нями, обчисленими на основі певної прямої чи кривої, обраної в припущенні, що вона найточніше відображає загальну тенден-цію явища.

В основі методу лежить встановлення функціональної залежності рівнів ряду від часу Yt = f (t ) з використанням коре-ляційно-регресивного аналізу, який описано в главі 6. При цьо-му на практиці застосовуються найчастіше математичні функції такого виду:

а)         лінійна Yt = a0 + a1t ;           (7.20)

б)         параболічна Yt = a0 + a1t2 ; (7.21)

в)         гіперболічна Yt = a0 + a1 ;   (7.22)

t

г)         степенева Yt = a0 a1t ,          (7.23)

де а0 , а1 – параметри, які знаходяться методом най-

менших квадратів; t – порядковий номер періоду.

На основі теоретичного аналізу виявляється характер ро-звитку явища за часом і на цій основі вибирається той чи інший вид аналітичної функції (7.20)–(7.23). Практикою статистичних досліджень встановлено, що прийняття тої чи іншої аналітичної функції здійснюється за таких умов, наприклад:

- вирівнювати динамічні ряди за рівнянням прямої лінії

(7.20) доцільно тоді, коли більш або менш постійні ланцюгові абсолютні приросту, тобто тоді, коли рівні ряду змінюються приблизно в арифметичній прогресії;

-          вирівнювання динамічних рядів за рівнянням квадра-тичної параболи (7.21) необхідно використовувати у тих випад-ках, коли зміна рівнів ряду відбувається з приблизно рівномір-ним прискоренням або уповільненням ланцюгових абсолютних приростів;

-          вирівнювання за ступеневою функцією (7.23) доцільно використовувати тоді, коли рівні ряду динаміки виявляють тен-денцію до сталості ланцюгових темпів зростання, тобто у випа-дку зміни рівнів ряду динаміки в геометричній прогресії.

Розрахунок параметрів математичних функцій (7.20) -(7.23) здійснюється методом найменших квадратів. Він дає мо-жливість знайти ту залежність, яка найближче проходить до то-чок фактичних даних на графіку в осях координат “t - у”, тобто дає найменшу суму квадратів відхилень фактичних значень ре-зультативної ознаки у від вирівняних (теоретичних) значень Yt:

^(у - Yt )2 = тіп .        (7.24)

На основі цієї умови, як описано в главі 6, отримають систему нормальних рівнянь для розрахунку параметрів а0 та аг виду (6.9), де в якості фактора х виступає час t. Значення пара-метрів відповідає залежностям типу (6.2)-(6.5) з урахуванням відповідних перетворень факторів х на t.

Вирівнювання рядів динаміки за методом найменших квадратів, як і вирівнювання за допомогою інших прийомів, має здійснюватись в межах одноякісних періодів. Якщо в динаміч-ному ряду є якісно специфічні періоди, то виявляти тенденцію доцільно в межах кожного з них.

Розрахунок параметрів а0 та а; в рівняннях (7.20) -(7.23) можна значно спростити, якщо відлік часу t=0 здійсню-вати з середини динамічного ряду. Тоді значення t, розміщені вище середини, будуть від’ємними, а нижче - додатними. В обох випадках ∑^=0. Для цього рівень, що перебуває в сере-дині ряду динаміки, беруть за умовний початок відліку або нульове значення. Для того, щоб сума показників часу дорів-нювала нулю, умовні позначення потрібно давати таким чином: при непарному числі рівнів ряду динаміки, щоб дістати умови ∑>=0, рівень, що перебуває в середині ряду, прирівню-ють до нуля, а рівні, розташовані вище його, позначають чис-лами із знаком “мінус” (-1; -2; -3 тощо), а нижче - числами із знаком “плюс” (+1; +2; +3 і т.д.); при парному числі рівнів ряду динаміки рівні, що лежать вище середнього значення (воно перебуває в середині між двома середніми датами), по-значають натуральними числами із знаком “мінус” (-1; -3; -5 тощо), а рівні, що лежать нижче середнього значення - нату-ральними числами із знаком “плюс” (+1; +2; +3 і т.д.).

За умовою, що ∑t=0, система нормальних рівнянь спро-щується, набуваючи у випадку лінійної залежності (7.20) такого вигляду:

(7.25)

Звідки

ЙЛ=^-; а, =    .           (7.26)

У випадку криволінійних залежностей (7.21) - (7.23) не-обхідно враховувати умови лінеаризації та нового значення па-раметру tt замість t у наведених формулах.

В практичній діяльності може виникнути необхідність інтерполяції або екстраполяції рядів динаміки. Найдосконалі-шим при цьому є вирівнювання їх за певним аналітичним рів-нянням.

Інтерполяція - це знаходження відсутніх проміжних рі-внів ряду. Знаючи рівняння тренду для обчислення теоретичних рівнів і підставляючи в нього проміжне значення t між задани-ми, можна визначити йому відповідаючий теоретичний рівень результативного фактору Yt.

Екстраполяція використовується при прогнозуванні су-спільних явищ у майбутньому з припущенням, що виявлена те-нденція буде зберігатися і надалі за межами досліджуваного ря-ду динаміки. При цьому значення t за межами динамічного ряду підставляють у трендове рівняння і отримують точкове прогнозне значення рівня тренду Yпр у майбутньому.

На практиці результат екстраполяції прогнозованих рів-нів соціально-економічних явищ звичайно виконують інтерва-льними оцінками. Для визначення меж інтервалів використову-ється інтервальна нерівність:

Yt - taE < Yпр < Yt + taE,     (7.27)

де t - коефіцієнт довіри за розподілом Ст’юдента; σε -

залишкове      середнє          квадратичне  відхилення

T(y-Yt)2

 

^          ; п - кількість рівнів розглядаємого (базис-

(п-т)

ного) ряду динаміки; т - кількість параметрів теоретичної зале-жності тренду; (п-т) - число ступенів вільності; Yt - дискретне (точкове) значення прогнозного рівня.

Коефіцієнт довіри t вибирається із статистичних таблиць розподілу Ст’юдента в залежності від числа ступенів вільності (п-т) і рівня значимості α (0,01 або 0,05).

Тоді остаточно, з ймовірністю Р = 1-а прогнозний рі-вень тренду у майбутньому Yt - буде знаходитись у межах: вер-хня межа складає (Yt + tas ), нижня межа - (Yt - tas ).