6.2. Регресійний аналіз


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 

Загрузка...

Вивчення кореляційного зв’язку між ознаками почина-ється з регресійного аналізу, який вирішує проблему встанов-лення форми зв’язку, або виду рівняння регресії, та визначення параметрів рівняння регресії.

В регресійному аналізі розрізняють рівняння парної (простої) та множинної (багатофакторної) регресії. Коли зв’язок із результативною ознакою у здійснюється з одним видом фак-торної ознаки х, то рівняння регресії (6.1) має назву рівняння парної регресії. Якщо результативна ознака у пов’язана з декіль-кома видами факторних ознак х, (j=l-m), то така залежність має назву рівняння множинної регресії. Обмежимось розглядом рів-нянь парної регресії, як найбільш простим випадком зв’язку між ознаками, що достатньо широко використовується в статистич-ній практиці обстеження економічних явищ.

Найбільш часто для характеристики кореляційного зв’язку між ознаками використовують такі види рівнянь парної регресії, або кореляційних рівнянь:

а)         лінійний Y = а0+а1х;            (6.2)

б)         параболічний Y = а0 + а,х2;            (6.3)

в)         гіперболічний Y = а0+а}—; (6.4)

х

г)         степеневий Y = а0ха' ,         (6.5)

де ао, аі - параметри рівнянь регресії, які підлягають ви-значенню.

Рівняння (6.2) є лінійним відносно факторної ознаки х і лінія регресії, яка відповідає функції такого виду, буде прямою; рівняння (6.3) - (6.5) - нелінійні і лінії регресії будуть параболою (6.3), гіперболою (6.4), степеневою лінією (6.5). Відповідним перетворенням нелінійні рівняння можна звести до лінійної фо-рми, так як класична теорія кореляції є по своїй суті лінійна.

Параметри а, (/=1-т)в рівняннях регресії визначаються ме-тодом найменших квадратів, який запропоновано в XVIII ст. фран-цузьким математиком Лежандром. Цей метод найкращим чином відповідає кореляційній таблиці і припускає знаходження таких зна-чень параметрів рівняння регресії, при яких сума квадратів відхи-лень табличних (фактичних) значень результативної ознаки у від теоретичних Y за лінією регресії була б мінімальною:

S = ^(y-Y)2 =тіп .      (6.6)

Функція S параметрів рівняння регресії а; буде мінімаль-

ною тоді, коли виконуються необхідні умови знаходження екст-

ремуму цієї функції - дорівнення нулю перших похідних функ-

ції за параметрами:

8S 8S

            = 0;      = 0.      (6.7)

да0      да}

Із цих умов визначається система нормальних рівнянь для знаходження параметрів ао та а;.

У випадку лінійного виду рівняння регресії (6.2), який ві-дповідає лінійній залежності між ознаками (рис. б.І.а), система нормальних рівнянь записується у вигляді:

\па0+а]^Х = ^у;

(6.8) а0£х + а72У=2>,

де п - кількість одиниць сукупності (тобто заданих пар значень х і у).

Розв’язавши цю систему, знаходимо такі значення пара-метрів:

ап=      ;           ,' аі =   ;           , (6.9)

або

ху - х * у

ап=у-а,х; а, =  ,

х2-(х)2

де ху - середня із добутку факторної ознаки на резуль-тативну; х2 - середня із суми квадратів факторної ознаки; (х)2 - квадрат середньої із факторної ознаки.

Використавши рівняння регресії (6.1), можна знайти теоре-тичне значення Гдля будь-якого значення факторної ознаки х.

а0

х

а) лінійна залежність

 

х

б) параболічна залежність

 

у

у

 

х

х

 

в) гіперболічна залежність

г) степенева залежність

Рисунок 6.1 – Приклади видів ліній регресії

У рівнянні регресії параметр ао економічного змісту не має, а геометрично він відповідає значенню ординати ліній ре-гресії Y при х=0. Параметр а1 називається коефіцієнтом регресії і показує зміну результативної ознаки Y при зміні факторної ознаки х на одиницю; геометрично параметр а1 відповідає куту нахилу (в радіанах) прямої лінії регресії до горизонтальної осі.

Для оцінки впливу факторної ознаки на результативну може розраховуватись коефіцієнт еластичності в середньому для усієї сукупності:

Ке =а1

(6.10)

де x, y – середні величини фактичних даних відповідно за факторною та результативною ознаками в цілому для сукуп-ності.

Коефіцієнт еластичності показує, на скільки процентів у середньому зміниться результативна ознака при зміні факторної ознаки на 1%.

Прикладами використання лінійного рівняння регресії є такі залежності: між електроозброєністю праці (х) на 1 робітни-ка і випуском готової продукції (у) для однорідних підприємств; між стажем роботи (х) та виробкою 1 робітника за зміну (у) то-що.

У разі використання параболічного виду рівняння регре-сії (6.3), який відповідає параболічній залежності між ознаками (рис. 6.1.б), його лінеаризацію здійснимо заміною факторної ознаки: х;=х2 Тоді система нормальних рівнянь відносно неві-домих параметрів ао та а; запишеться у вигляді, подібному (6.8), з заміною х та х;:

(6.11)

Параметри а0 і а;розраховуються за формулами (6.9), в яких необхідно замість ознаки х підставити

Прикладами використання параболічного рівняння ре-гресії є такі залежності: між випуском продукції (х) та собіварті-стю одного виробу; між товарооборотом (х) і товарним запасом (у) тощо.

При гіперболічному виді рівняння регресії (6.4), який ві-дповідає гіперболічній залежності між ознаками (рис. 6.1, в), лінеарізована система нормальних рівнянь відносно параметрів а0 і а; запишеться у вигляді (6.10), де під ознакою х; слід розумі-

ти х, = — . Параметри а0 і аг розраховуються за формулами (6.9),

х

 1 в яких замість ознаки х необхідно підставити х7 = — .

х

Прикладами використання гіперболічного рівняння ре-гресії можуть бути залежності: між товарообігом (х) і рівнем витрат обігу в процентах до товарообігу (у); між випуском про-дукції (х) і витратами матеріалу (у) тощо.

У випадку використання рівняння регресії степеневого виду (6.5), що відповідає степеневій залежності між ознаками

(рис. 6.1, г), лінеарізована система нормальних рівнянь запи-шеться у вигляді:

nb0+a1YJX1=Yjyi>

(6.12)

60Vx7 + a7Vx72 = VIJJJ.

де b0 = Ig a0; Xj = Ig x; y1 = Ig y.

Рішення системи відповідає формулам (6.9), в яких за-мість х і у необхідно підставити х7 і уh а замість а0 - підставити Ь0. Після розрахунку параметру Ь0 із співвідношення b0 = Ig а0

визначається значення а0 з використанням таблиць логарифмів.

Прикладами використання степеневого рівняння регресії є: між основними засобами однорідних підприємств (х) та їх продукцією (у); між фондом заробітної плати (х) і випуском продукції (у) тощо.

Для вибору виду рівняння регресії необхідно побудувати графік залежності фактичних даних y=f(x) і за групуванням то-чок на графіку встановити візуально, до якого виду (лінійного чи нелінійного) можна віднести лінію регресії.