5.10. Малі вибірки


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 

Загрузка...

Розглянуті вище види вибірок рахували великими за кі-лькістю одиниць обстеження (п≥30). Але на практиці часто зу-стрічаються і з малими вибірками (п<30): наприклад, в техніч-ному нормуванні; агрономічних та зоотехнічних дослідженнях; контролі якості продукції, пов’язаному із знищенням зразків; вибіркових фотографіях робочого дня тощо. В таких випадках для розрахунку помилки вибірки неможливо користуватися тео-ремами закону великих чисел, так як на вибіркову середню ве-ликий вплив являє значення кожної із випадково відібраних одиниць і їх розподіл може значно відрізнятися від нормального закону розподілу. Тому при вибірках невеликого обсягу методи оцінювання результатів вибіркового спостереження мають свою особливість у зрівнянні з методами великих вибірок.

Теоретичні положення для оцінки характеристик малих вибірок вперше розробив англійський статистик В.Госсет (1908р.), який друкував свої праці під псевдонімом Ст’юдента.

Пізніше теоретичні питання малих вибірок були розвинуті Р.Фішером (1925р.) та іншими.

Припускаючи, що вибірки зроблено з нормально розпо-діленої генеральної сукупності, Ст’юдент встановив закон роз-поділу відхилень вибіркових характеристик від генеральних для малих вибірок (відкритий ним розподіл дістав назву t-розподілу Ст ’юдента, що подібний до нормального закону).

Відхилення вибіркової середньої х від генеральної се-редньої х Ст’юдент виразив у вигляді відношення Ст ’юдента. Фактично це коефіцієнт довіри між граничною Δм.в та середньою квадратичною μмв помилками у малої вибірки Ам в = tjuм в :

х-х

t =        ,           (5.30)

Мм.в.

де х - вибіркова середня; х - середня в генеральній су-купності.

Значення t може бути знайдено за математичними таб-лицями розподілу Ст’юдента в залежності від рівня значимості α=1-Р (Р - рівень ймовірності)і числа ступенів вільності (свобо-ди) варіації к=п-1 (п - обсяг малої вибірки).

Середня квадратична помилка для кількостей ознаки малої вибірки μмв визначається за формулою:

Им =

ам.в

п

(5.31)

де а2мв - дисперсія малої вибірки,

Z(xt-x)2

~2 і=1 °м в =

п-1

Ймовірність того, що помилка вибірки буде не більше заданого значення х - х < t/uм в, представляє собою функцію

S(t,n), наведену у таблицях Ст ’юдента в літературі з математи-чної статистики:

S(t,п) = Р(\х - х| < tjUм в ) .   (5.32)

Із таблиць Ст’юдента виходить, що при збільшенні обсягу вибірки розподіл Ст’юдента наближується до нормального закону і при «=20 він мало відрізняється від нормального розпо-ділу.

Слід врахувати, що розподіл Ст’юдента слід використо-вувати тільки в оцінці помилок вибірки, взятої із генеральної сукупності з нормальним законом розподілення ознаки.