5.5. Проста випадкова вибірка


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 

Загрузка...

Поняття і категорії, які лежать в основі простої випадко-вої вибірки, є вихідними при розробці інших видів вибіркового спостереження. Проста випадкова вибірка є однією з найпоши-рених видів відбору із генеральної сукупності.

При простій випадковій вибірці відбір одиниць здійсню-ється із всієї маси одиниць генеральної сукупності без поперед-нього розподілення її на будь-які групи і одиниці відбору спів-падають з одиницями обстеження.

Як зазначалось, з практичної точки зору перевага віддається простій безповторній вибіркі, яка може формуватися на основі же-ребкування одиниць сукупності або при використанні таблиць випа-дкових чисел (їх можуть замінити таблиці логарифмів).

Необхідно особливо підкреслити, що важливою умовою репрезентативності випадкового відбору є те, що кожній одини-ці генеральної сукупності надається однакова можливість пот-рапити у вибіркову сукупність. Саме принцип випадковості по-падання будь-якої одиниці генеральної сукупності у вибірку за-побігає виникненню систематичних помилок відбору.

Одним із прикладів використання простої випадкової вибірки є проведення тиражів виграшів грошово-речової лоте-реї, при якій забезпечується однакова можливість попадання в тираж будь-якого номеру лотерейного квитка.

При простій випадковій вибірці (як і в інших видах вибі-ркового спостереження) можливо рішення таких задач:

1)         визначення помилки вибіркового спостереження;

2)         визначення меж генеральних характеристик на основі вибіркових із заданою довірчою ймовірністю (ступенем надійності);

3)         визначення довірчої ймовірності того, що генеральні ха-рактеристики можуть відрізнятися від відбіркових не більш певної заданої величини;

4)         знаходження необхідної чисельності вибірки, яка б з практичною достовірністю забезпечувала задану точ-ність вибіркових характеристик. Вирішення зазначених задач може проводитись як по

відношенню до генеральної середньої арифметичної х , так і до частки р . Розглянемо перераховані задачі у відповідності до безповторної вибірки, яка на практиці зустрічається найбільш часто.

При вирішенні першої задачі в математичній статистиці доводиться, що при великій кількості одиниць вибіркової суку-пності (n≥30) середня квадратична помилка безповторної вибір-ки μ визначається за формулами:

а) для середньої jux

zz

aв [ , и

1— ;    (5.12)

N

 \w(l-w) , Й 1

б) для частки juw = I—         -\1       .           (5.13)

На основі теореми Ляпунова (5.9) гранична помилка ви-бірки A = tju. Коефіцієнт довіри t при визначенні граничної по-милки залежить від прийнятого рівня ймовірності Р: так, при t=1,0 значення ймовірності Р = 0,683; t = 1,96 - для ймовірності Р = 0,950; ґ=2,0 - для ймовірності Р = 0,954; t = 3,0 - для ймовір-ності Р = 0,997.

Одним з основних напрямків дослідження при викорис-танні вибіркового методу є оцінка за даними вибірки характери-стик генеральної сукупності, що відноситься до можливостей зазначеної другої задачі.

Величини генеральної середньої та частки можуть бути представлені інтервальною оцінкою у вигляді визначення довірчого інтервалу із заданого рівня довірчої ймовірності Р:

а)         для середньої х - Ах < х < х + Ах;    (5.14)

б)         для частки w - Aw < р < w + Aw .   (5.15)

Формули (5.14) і (5.15) встановлюють межі, в яких при

заданій довірчій ймовірності знаходиться невідома величина оцінюваного параметру: середньої хабо частки р в генеральній сукупності. Ймовірність того, що величина генеральної серед-ньої або частки вийде за довірчі межі, дорівнює а = 1-Р і на-зивається рівнем значимості (істотності). Для ймовірності Р = 0,950 або Р = 0,954 рівень значимості дорівнює відповідно 0,050 (або 5,0%) та 0,046 (або 4,6%), і перевищення меж у довірчих інтервалах (5.14), (5.15), що має таку ймовірність, практично неможливе.

Іноді доводиться вирішувати третю задачу, коли необ-хідно визначити довірчу ймовірність того, що генеральні харак-теристики відрізняються від вибіркових не більше заданої вели-чини Р.

Довірча ймовірність Р, яку необхідно обчислити за тео-

ремою Ляпунова, є функцією від коефіцієнта t\, Р = Ф(t), де

Ф(t) - інтеграл Лапласа (5.11). Значення t у свою чергу може

A бути визначено через граничну та стандартну помилки t = —,

М

обчисленими відносно середньої або частки. Нарешті, за найде-

ним значенням t із довідкових таблиць знаходиться інтеграл Ла-

пласа, який відповідає розшукуваній ймовірності Р, яка порів-

нюється із заданою величиною.

Однією із основних задач вибіркового методу є визна-

чення чисельності вибірки п (четверта задача в нашій класифі-

кації). У випадку безповторного відбору чисельність вибірки

здійснюється за формулами:

а)         для середньої п =                              ;           (5.16)

A2xN + t2a2в

 t2N(l-w)w

б)         для частки п = —      —        .           (5.17)

AWN +1 w(l - w)

Область застосування простої випадкової вибірки надзви-чайно широка: перевірки різних одиниць сукупностей; багаточисе-льні обстеження підприємств, установ, їх працюючих, населення; дослідження в сільськогосподарських задачах (якості продукції, польових дослідженнях, визначення втрат урожаю тощо).