4.4. Показники варіації


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 

Загрузка...

Після встановлення середньої величини (х,М0Ме) ви-никає питання, в якій мірі індивідуальні значення ознаки відріз-няються між собою та від середньої. Для цього розраховують показники варіації.

Варіацією ознаки називають різницю у числових зна-ченнях ознак одиниць сукупності та їх коливання навколо сере-дньої величини, що характеризує сукупність. Чим менша варіа-ція, тим одноріднішою є сукупність і більш надійною (типовою) є середня величина.

До основних абсолютних і відносних показників, що ха-рактеризують варіацію, є такі: розмах варіації; середнє лінійне відхилення; дисперсія; середнє квадратичне відхилення; коефі-цієнт варіації тощо.

Розмах варіації - це різниця між найбільшим та най-меншим значеннями ознаки:

R=xmax-xmin. (4.10)

Величина показника залежить тільки від крайніх значень

ознаки і не враховує всіх значень, що містяться між ними.

Досконалішим є визначення варіації через інші показни-

ки, які дають змогу усунути недолік розмаху варіації.

Середнє лінійне відхилення являє собою середню ариф-

метичну з абсолютних значень усіх відхилень індивідуальних

значень ознаки від середньої:

V         |х-х|

а)         просте: d = ^^            ;           (4.11)

п

V         |х - x\f

б)         зважене: d = ' —.       (4.12)

S/

Наявність абсолютних значень відхилень від середньої пояснюється так: середня арифметична має нульову властивість, згідно з якої сума відхилень від середньої індивідуальних зна-чень ознаки зі своїми знаками дорівнює нулю; щоб мати суму всіх відхилень, відмінних від нуля, кожне з них слід брати за абсолютною величиною.

Основним недоліком середнього лінійного відхилення є те, що в ньому не враховуються знаки відхилень, тобто їх спря-мованість. Тому цей показник варіації використовується рідко (аналіз складу працюючих, ритмічність виробництва, обертання коштів у зовнішній торгівлі тощо). Показниками варіації, які б усунули недоліки середнього лінійного відхилення, є дисперсія та лінійне квадратичне відхилення.

Дисперсією називають середню арифметичну квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки. В залежності від ви-хідних даних дисперсія може обчислюватись за формулами се-редньої арифметичної простої або зваженої:

а)         проста: a = —            ;           (4.13)

п

б)         зважена: a =               .           (4.14)

Дисперсія – це один з найбільш розповсюджених в еко-номічній практиці узагальнюючих показників розміру варіації у сукупності. Дисперсію використовують не лише для оцінки ва-ріації, а й для вимірювання зв’язків між досліджувальними фак-торами; розклад дисперсії на складові дозволяє оцінити вплив різних факторів, які обумовлюють варіацію ознаки.

YJ^y-

Середнє квадратичне відхилення, як і дисперсія, висту-пає в якості широко використовуємого узагальнюючого показ-ника варіації. Його обчислюють, здобувши квадратичний корінь з дисперсії:

 -

(4.15)

и

^(x-x)2 /

(4.16)

a)npocmе: <J = \ la2 б) зважене: <з = \<з2

\

Z/

Смислове значення середнього квадратичного відхилення таке саме, як і лінійного відхилення: воно показує, на скільки в сере-дньому відхиляються індивідуальні значення ознаки від їх середньо-го значення. Перевага цього показника порівняно із середнім ліній-ним відхиленням полягає у відсутності умовного припущення з під-сумування відхилень без врахування їх знаків, бо відхилення вико-ристовуються у квадратній степені. Крім зазначеного, перевагою даного показника у зрівнянні з дисперсією є те, що середнє квадра-тичне відхилення виражається в тих же одиницях вимірювання, що і значення досліджувальної ознаки (грн, кг, га тощо). Тому цей показ-ник називають також стандартним відхиленням.

В статистичній практиці часто виникає необхідність по-рівняння варіацій різних ознак. Наприклад, великий інтерес має порівняння віку робочих з їх кваліфікацією, стажу роботи з роз-міром заробітної плати, собівартістю та прибутку і т.і. При та-ких порівняннях розглянуті показники коливання ознак з різни-ми одиницями вимірювання не можуть бути використані (на-приклад, неможливо порівнювати коливання стажу роботи в ро-ках з варіацією заробітної плати в гривнях).

Для здійснення такого роду порівнянь, а також при зіс-тавленні ознаки у декількох сукупностях з різними середніми

арифметичними використовують відносний показник варіації -коефіцієнт варіації.

Коефіцієнтом варіації називають процентне відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметич-ної величини ознаки:

Va= — * 100%.         (4.17)

х

Чим більший коефіцієнт варіації, тим менш однорідна сукупність і тим менш типова середня для даної сукупності. Встановлено, що сукупність кількісно однорідна, якщо коефіці-єнт варіації не перевищує 33%.

Дисперсія посідає особливе місце у статичному аналізі соціально-економічних явищ і є важливим елементом статисти-чних методів, зокрема у дисперсному аналізі.

У структурованій сукупності, яка поділена на m груп за факторною ознакою х, загальна дисперсія σ2 результативної ознаки у, може бути представлена складовими: міжгрупова дис-

персія δ2 та середня з групових дисперсій а2 . Згідно з правила

розкладання дисперсій має місце рівняння:

cj2=S2+a2.     (4.18)

Загальна дисперсія σ вимірює варіацію результативної ознаки в цілому за сукупністю під впливом усіх факторів, які обумовлюють цю варіацію. Загальна дисперсія для зваженої ре-зультативної ознаки у обчислюється за формулою (4.14).

Міжгрупова дисперсія δ2 характеризує варіацію ознаки у за рахунок фактора х, покладеного в основу групування, і розра-ховується за формулою:

т

^(у}- -у)2 fj

д2 =     ,           (4.19)

т ]=1

де у ., у - відповідно середня j-ї групи та загальна середня ва-ріюючої ознаки;^ - чисельність одиниць (частота)у-ї групи.

Для розрахунку середньої з групових дисперсій з почат-ку обчислюється внутрішньогрупова дисперсія, яка характери-зує варіацію результативної ознаки за рахунок інших факторів, не врахованих у групуванні:

т

H(yj-yj)2

сг,-2=  ,           (4.20)

fj де уj - значення ознаки окремних елементів сукупності.

Для всіх груп в цілому розраховується середня з групо-вих дисперсій, зважених на частоти відповідних груп:

т

j=i

Користуючись правилом розкладання дисперсій, можна за двома відомими дисперсіями знайти третю - невідому, а та-кож мати уяву про силу впливу групувальної ознаки.