Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
4.3. Середні величини : Статистика : Бібліотека для студентів

4.3. Середні величини


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 

Загрузка...

Середньою величиною в статистиці називаються кількісний показник характерного, типового рівня масових однорідних явищ, який складається під впливом загальних причин і умов розвитку. У зв’язку з цим середні величини відносяться до узагальнюючих ста-тистичних показників, які дають зведену, підсумкову характеристи-ку масових суспільних явищ. В середній величині гасяться (розчи-няються) всі відмінності та особливості індивідуальних значень ознак і вона є „рівнодіючою” значень цих ознак. Головними умова-ми застосування середніх величин є:

1)         наявність якісної однорідності сукупності;

2)         масовий характер даних сукупності, де діє закон ве-ликих чисел.

Залежно від характеру ознаки, що усереднюється, і ная-вності вихідної статистичної інформації в статистиці використо-вують декілька видів середніх, серед яких найбільш поширени-ми є такі: середня арифметична; середня гармонічна; середньо квадратична; середня геометрична. Поряд з переліченими ви-дами середніх величин у статистичній практиці застосовують також середню хронологічну (її обчислення розглядається в гла-ві 7) та структурні середні: моду та медіану. Використання того чи іншого виду середніх залежить від двох обставин:

1)         від характеру індивідуальних значень ознаки (прямі, обернені, квадратичні, відносні);

2)         від характеру алгебраїчного зв’язку між індивідуа-льними значеннями ознаки та її загального обсягу (сума, добуток, степінь, квадратний корінь).

Кожна із зазначених видів середніх може виступати у двох формах: простої та зваженої. Проста середня застосову-ється при обчисленні середньої за первинними (не згруповани-ми) даними, зважена – за згрупованими даними.

При використанні середніх величин введемо такі позна-чення:

х - середнє значення досліджувальної ознаки;

хі, або х – кожне індивідуальне значення усереднюваної ознаки (варіанта) в варіаційному ряду;

fi, або f – частота повторень (вага) індивідуальної ознаки в варіаційному ряду;

w=xf – обсяг значень ознаки;

n – кількість одиниць досліджувальної ознаки.

Середня арифметична

Середня арифметична – це найпоширеніший вид серед-ньої між інших. Вона застосовується тоді, коли відомі індивіду-альні значення усереднюваної ознаки та їх кількість у сукупнос-ті. Тоді проста середня арифметична обчислюється діленням загального обсягу значень ознаки на обсяг сукупності:

х

 

и

и

х;++х2+... + х„ =tf = 2,х*)      (41)

и

Наприклад, статутний капітал акціонерної компанії сфо-рмований 6 засновниками. Розмір внеску кожного з них відпові-дно становив, млн.грн: 8; 10; 12; 9; 6; 5. Середній внесок одного засновника розраховується так:

Сума внесків 8 +10 +12 +9 +6 + 5

Число засновників    6

50 = ≈8 ,3 млн.грн. 6

Зважена середня арифметична використовується у тих випадках, коли значення ознаки подано у вигляді варіаційного ряду, в якому чисельність одиниць у варіантах неоднакова. Фо-рмула середньої арифметичної зваженої має вигляд:

х

 

Х;/; + Х2/2 + ... + Х„/„ 2J Х^

(4.2)

З формули видно, що середня зважена принципово не відрізняється від середньої простої арифметичної (4.1). Тут до-давання f разів варіанти х змінюється множенням її на кількість повторень (f).

Техніку обчислення середньої арифметичної зваженої проілюструємо прикладом обчислення середньої виробки дета-лей на одного робітника за зміну, якщо відомо скільки деталей виготовив кожен з 15 робітників:

) для зручності і простоти запису знак ∑ в подальшому замінено знаком ∑

і=Таблиця 4.1

Розподіл робочих за виготовленням деталей

Виготовлення де-талей за зміну од-ним робітником, шт. х        Кількість робочих

(ваги)

f           хf

18        2          36

19        4          76

20        5          100

21        3          63

22        1          22

Всього            15        297

За формулою (4.2) середня арифметична зважена:

19,8*20 шт.

∑xf 297

х=        =

∑f 15

и

Середня гармонічна Середня гармонічна – це обернена до середньої арифме-тичної із обернених значень ознак. Її обчислюють, коли необ-хідно осереднення обернених індивідуальних значень ознак шляхом їх підсумування (наприклад, у випадках визначення се-редніх витрат часу, праці, матеріалів на одиницю продукції то-що). У випадку розрахунку середньої гармонічної зваженої її обчислюють тоді, коли відомі дані про загальний обсяг ознаки (w=xf), а також індивідуальні значення ознаки (х), невідома є частота (f). Формули середньої гармонічної – простої і зваженої – мають такий вигляд:

х

(4.3)

для простої

для зваженої

х

2>

           

I

х

(4.4)

Для встановлення місця середньої гармонічної в розра-хунку середньої величини розглянемо такий приклад. Припус-тимо, що бригада токарів на протязі 8-годинного робочого дня зайнята обточкою однакових деталей. Перший токар затрачує на одну деталь 12 хв, другий – 15 хв, третій – 11 хв, четвертий – 16 хв і п’ятий – 14 хв. Необхідно знайти середній час на вигото-влення одної деталі.

2JX 12 + 15 + 11 + 16 + 14 68

           

На перший погляд, ця задача вирішуються легко за фор-мулою середньої арифметичної простої:

x= =     = =13,6 хв.

n          55

Однак, знайдена середня була би правильною, якщо кожний робітник виробив тільки по одній деталі, а не працював 8 годин, ко-ли робітниками було виготовлено різна кількість деталей. Для роз-рахунку кількості деталей, виготовлених кожним робітником, вико-ристаємо таке співвідношення (логічну формулу):

Всесь затрачений час

Середнійчас наодну деталь=           =

Кількість деталей

8* 60 + 8* 60 + 8* 60 + 8* 60 + 8* 60

==

8*60 8*60 8*60 8*60 8*60

++++

12 15 11 16 14

 + + + +           °'375

12 15 11 16 14

Останнє кількісне співвідношення відповідає формулі

n

середньої гармонічної простої х =   .

∑1x

Бачимо, що в наявності різниця між результатами обчи-слення за формулами середньої арифметичної та середньої гар-монічної.

13,3 хв.

Середня квадратична

Середня квадратична використовується для визначення показників варіації (коливання) ознаки – дисперсії та середнього квадратичного відхилення. Обчислюється на основі квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої вели-чини. Формула середньої квадратичної має такий вигляд:

проста

X

           

∑*2

n

(4.5)

 

зважена

х

 

∑x2/

∑7

(4.6)

Середня геометрична

Середню геометричну застосовують у тих випадках, ко-ли обсяг сукупності формується не сумою, а добутком індивіду-альних значень ознак. Цей вид середньої використовується зде-більшого для обчислення середніх коефіцієнтів (темпів) зрос-тання в рядах динаміки. Так, у випадку однакових часових інте-рвалів між п рівнями динамічного ряду середня геометрична проста має такий вигляд:

К = ^Kj *к2 *...*кп

Уі Уі-1

де Ki

 

темпи зростання; уі, уі-1 - відповідно звітний та

попередній рівні ряду; m– кількість темпів зростання (m=n-1).

Прикладом застосування середньої геометричної є на-ступне. Припустимо, що внаслідок інфляції споживчі ціни за чотири роки зросли в 2,8 рази, в тому числі: за перший рік у 1,7 рази; за другий – в 1,3; за третій - в 1,1; за четвертий – в 1,15 ра-зи. Як визначити середньорічний темп зростання цін? Середня арифметична (1,7+1,3+1,1+1,15):4=1,312 не забезпечує визначе-ної властивості, так як за чотири роки за цією середньою ціни б зросли у 1,312*1,312*1,312*1,312=2,94 рази, а не в 2,8 рази. Ви-значену властивість забезпечує тільки середня геометрична:

х = ijl,7* 1,3* 1,1*1,15 = ijZ8 = 1,295 . Мода і медіана

Середніми величинами в статистичних рядах розподілу є мода і медіана, які відносяться до класу структурних (позицій-них) середніх. Їх величини залежать лише від характеру частот, тобто від структури розподілу. На відміну від інших середніх, які залежать від усіх значень ознаки, мода і медіана не залежить від крайніх значень. Це особливо важливо для незакритих край-ніх інтервалів варіаційних рядів розподілу.

Мода (М0) - це значення варіанти, що найчастіше повто-рюється в ряду розподілу. Спосіб обчислення моди залежить від виду статистичного ряду. Для атрибутивних і дискретних рядів розподілу моду визначають візуально без будь-яких розрахунків за значенням варіанти з найбільшою частотою (часткою). На-приклад, за результатами опитування населення щодо самовиз-начення матеріального стану за чотирма оцінками (добрий, за-довільний, незадовільний, нестерпний) більшість респондентів визначили свій стан як незадовільний - це і буде модою. Або модальною ціною на той чи інший продукт на ринку є та ціна, яка спостерігається найчастіше. В інтервальному ряді спочатку визначається модальний інтервал (інтервал з найбільшою часто-тою) і значення моди в середні інтервалу розраховується за фо-рмулою:

fj ~ fl

M0=x0+h        ———            ,           (4.8)

(/2-/і) + (/2-/з) де х0 - нижня межа модального інтервалу; h - величина модального інтервалу;

fi, f, f - частота відповідно передмодального, модального та післямодального інтервалів.

Медіаною (Ме) називають варіанту, що ділить ранжиро-ваний (впорядкований за мірою зростання або зменшення) ряд на дві рівні за обсягом частини. Медіана для дискретного ряду з непарним числом варіант буде відповідати середній варіанті Ме=хт_и де m - номер кратної варіанти першої половини ранжи-рованного ряду. Медіана для дискретного ряду з парним числом

варіант буде відповідати середній із значень варіант у ранжиро-

(Хт + Хт+1 )

ванному ряду: М=^   чт ^ Для інтервального ряду

медіана обчислюється для середини медіанного інтервалу, за який приймається такий, де сума накопичених частот перевищує половину значень частот ряду розподілу. В даному випадку фо-рмула для розрахунку медіани має вигляд:

Me=x0+h        —,       (4.9)

fm де х0 - нижня межа медіанного інтервалу; h - величина медіан-

ного інтервалу; 0,5S\f - половина суми накопичених частот

інтервального ряду; Sx - сума накопичених частот перед

медіанним інтервалом;^ - частота медіанного інтервалу.

В аналізі закономірностей розподілу використовуються також такі характеристики як квартилі та децилі. Квартилі - це варіанти, які поділяють обсяги сукупності на чотири рівні час-тини, децилі - на десять частин.