2.2. СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ РЯДІВ РОЗПОДІЛУ


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 

Загрузка...

Загальні положення теми

Основні завдання статистичного вивчення рядів розподілу. Система показників рядів розподілу. Графічна інтерпретація дис-кретних та інтервальних рядів розподілу. Характеристики центра розподілу: середня величина, мода, медіана.

Необхідність вивчення варіації статистичних ознак. Статисти-чні характеристики варіації кількісних ознак: розмах варіації, се-реднє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадратичне відхи-лення, їх взаємозв’язок. Коефіцієнти варіації та їх значення для вивчення варіації.

Визначення варіації альтернативної ознаки і номінальної ознаки, яка набуває більше двох значень.

Вивчення форми розподілу. Статистичні характеристики фор-ми розподілу: коефіцієнти асиметрії та ексцесу.

ш

^

Ряди розподілу

(ГЬ

 

Атрибутивні

Варіаційні

 

Атрибутивний — ряд розподілу, який побудовано за якісними ознаками

Варіаційний — ряд розподілу, побудо-ваний за кількісними ознаками

3N

 

Безперервні

 

Дискретні ознаки відрізняються одна від одної на деяку кінцеву величину, тобто дані у вигляді конкретних чисел

Безперервні ознаки можуть від-різнятися одна від одної на будь-який малий розмір і у визначених межах приймати будь-яке зна-чення

Малюнок 46. види рядів розподілу

a

Показники коливання ознаки

 

Розмах варіації — показник, в якому находить відобра-ження тільки два крайніх значення ознаки

Середнє лінійне відхилення (d) — середній модуль відхи-лень значень ознак від їх середнього розміру.

 

Дисперсія а' — середній з квадратів відхилень варіант зна-чень ознаки від їх середнього розміру.

 

Середнє квадратичне відхилення являє собою корінь ква-дратний із дисперсії:

Коефіцієнт варіації — характеризує однорідність сукупно-

сті. Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт

варіації не перевищує 33%.

Коефіцієнт осциляцїї — відбиває відносне коливання зна-

чень

Відносне лінійне відхилення — характеризує частку усе-

редненого значення абсолютних відхилень від середнього

розміру.

 

>=>

>=>

^Х.

 

Для     первинного ряду:      d =       Е Х;-Х

п          п

I _ ±    И1;

п

Для     варіаційного ряду      1--       Е Х;-Х /,          П\ > 1 г

п г

 

>=>     Для первинного ряду: і _ T\x-xj _Td ■ п п

            Для варіаційного ряду: 2 s'x-xf-/ zd2-f.

2/ 2/

 

Для первинного ряду: _ Для варіаційного ряду:  

 

            1 п V п

 

            k{x-xj-f kd2-f .

V 2/ U/

 

                                                                       _d       

0=        о          100%   кп        R         к1       

            100%

            X                                 X                     X        

Малюнок 47. Показники коливання ознаки

 

Властивості дисперсії

Цисперсія постійної величини дорівнює нулю

а' = 0 при A = const.

 

Якщо всі варіанти ознаки X зменшити на постійне число А, то дисперсія не зменшиться

X(A-Af-f/Xf=o2=

 

Якщо всі варіанти розділити на будь-яке постійне число d, mo дисперсія зменшиться в а разів

zax/d- xf-j)/i:f=oz/i

 

Цисперсія від середньої завжди менша за диспер-сію від будь-якої іншої величини A ? х

Цисперсію можна обчислити за формулою

■0-

S*2/ fs*/ S/ ІЕ/

Малюнок 48. Властивості дисперсії

Показники варіації в дискретному ряду розподілу

 

За даними таблиці розрахуємо показники варіації

Тарифний розряд      2          3          4          5          6

Кількість робітників, чол      12        16        40        18        14

 

Середній тарифний розряд  робітників                                        

X/        12 + 3-16 + 4 12 + 16 +         ■40 + 5-18 + 6-14 40 + 18 + 14        -- 4,06 « 4                  

 

Дисперсія                                                     

2 z(*-*)7 (2-4)2          12 + (3-4)216 + (4-4)240 + (5-^       )218 + (б-       4)214   = 1,38

Е/         12        + 16 + 40 + 18 + 14                          

 

Середнє квадратичне відхилення                                     

            а = л/^ =         VU8=1,17                             

 

Коефіцієнт варіації                                                  

F = =100% =  ^-100% = 29,3% 4                            

За даними розрахованого    коефіцієнта     варіації можна           зробити          висновок, що

сукупність є однорідною                                                    

Малюнок 49. Розрахунок показників варіації в дискретному ряду розподілу

Показники варіації в інтервальному ряду розподілу

 

За даними таблиці розрахуємо показники варіації

Стаж роботи, років   До5     5—10  10—15            15—20            20—25            Св. 25 Разом

Кількість робітників  5          15        30        25        15        10        100

 

Середній стаж робітників визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої, пе-редчасно розрахувавши середини інтервалів

-15,5 р-

-_ £>/ _ 2,5-5 + 7,5-15 + 12,5-30 + 17,5-25 + 22,5-15 + 27,5-10

I/

5 + 15 + 30 + 25 + 15 +

3N

 

Дисперсія та середнє квадратичне відхилення    

(2,5-15,5)25 + (7,5-15,5)215 + (l2,5-15,5)230 + (l7,5-15,5)225 + 

2 ~z{x-xff +(22,5-15,5)215 + (27,5-15,5)210           = 43,5

X/ 5 + 15 + 30 + 25 + 15 + 10          

 

a = 4о* = 4^ = 6>6Р ■          

Коефіцієнт варіації

6,6

F = =100% = -^400% = 42,6%

х          15,5

За даними розрахованого коефіцієнта варіації можна зробити висновок, що сукупність є не однорідною

Малюнок 50. Розрахунок показників варіації в інтервальному ряду розподілу

 

(2

Загальна дисперсія хара-ктеризує варіацію ознаки, що залежить від усіх умов у даній сукупності й обчи-слюється за формулою:

g2 = T,(x-X)2f

Z/

де X — загальна середня для всієї сукупності.

<3

Правило складання дисперсій

Середня з внутрішньогру-пових дисперсій характери-зує випадкову варіацію в ко-жній окремій групі. Ця варіація виникає під впливом інших чинників, що не вра-ховуються і не залежать від умов, покладених в основу групування.

■fi

Л-^°і

і

*fi

(3

Міжгрупова дисперсія від-биває варіацію досліджува-ної ознаки, що виникає під впливом ознаки чинника, покладеного в основу гру-пування.

Кх.-х)2-/,

S/,

 

Малюнок 51. Розкладання дисперсії на складові

Розкладання дисперсії за джерелами утворення

За результатами маркетингового дослідження туристичних фірм, які організовують тижневі тури, були отримані такі дані

Число турист. фірм,/і

Середня ціна тижневого

туру, дол

Дисперсія цін тури в групі

Місце

розташування

курорту

Середня ціна туру по всіх фірмах складає: - 528,57-7+588,33-6

= 556,

Болгарія

7

528,57

2728,

3N

Анталія

Разом

 

588,33

8851,14

556,16

5554,08

Варіація цін, яка залежить від усіх факто-рів визначається загальною дисперсією

о2 = 887,59 + 5554,09 = 6441,68

 

(528,57-556,16)2-7+(588,33-556,16)2-6

Міжгрупова дисперсія дорівнюватиме 52

: 887,59

Показує різницю у варіації цін, яка залежить від місця розташування курорту

 

887,59

Коефіцієнт детермінації

П

100 = 13,78%

о2 6441,68

Показує, що на 13,78% варіація цін визначається місцем розташування курорту і на 86,22% варіацією інших факторів

Середня з внутрішньогрупових дисперсій дорівнює

5554,09

2728,04-7+8851,14-6 13

Показує різницю у варіації цін, яка залежить від ін-ших факторів

Малюнок 52. Розрахунок дисперсій

Показник асиметрії

А =х-МПозитивна величина вказує на наявність право-сторонньої асиметрії

М0<М/ <х

A

            1          >

 

Негативна величина сторонньої асиметрії

м0       вказує на >М7 >х      наявність        ліво-

A

            1          >

Малюнок 53. Розрахунок показника асиметрії

 

Ексцес — випад вершини емпіричного розподілу уверх або вниз від верши ни кривої нормального розподілу

Показник ексцесу (гостровершинності)

 

3N

■          гостровершинний розподіл (розмір ексцесу позитивний)

плосковершинний (розмір ексцесу негативний)

■          крива нормального розподілу.

Малюнок 54. Визначення показників ексцесу і види кривих розподілу

ffi

Моменти розподілу

Моментом розподілу називають середню арифметичну тих чи інших ступенів відношення індиві-

,де A — ознака, від

Тіх-АГ-f

Z/

дуальних значень ознаки від установленоі початковоі ознаки:

якої розраховується відхилення; a — ступінь відхилення (порядок моменту).

іа

м„

Початкові моменти вста-новлюють при А~ 0:

 

J

Центральні моменти

встановлюють при A = X :

Z(*-*)V

Кх

е

Умовні моменти ma

розраховують, коли A не дорівнює середній арифметичній і відмін-на від 0:

Тіх-АГ-f

ОТ

J

 

a

JO.

Малюнок 55. Основні види моментів розподілу

Моменти розподілу

 

Моменти

розподілу

порядку          Початкові       Центральні     Умовні

I           1 Z/                

II         M2 = ^2-f 2 Z/            _Х(х-х)2-/

^2" I/   да^ =^^           ^-^-

 

Малюнок 56. Моменти розподілу першого та другого порядків

Показники кривих нормального розподілу

1. Крива симетрична щодо максимальної ординати, що дорівнює х = М0 = Ме і величина

2п-о

2. Крива наближається до осі абсцис, продовжуючись в обидві сторони до нескінченності. Отже, чим більше зна-чення відхиляються від X, тим рідше вони зустрічаються. Однакові за абсолютним значенням, але протилежні за знаком, відхилення значень змінної х від X — рівновірогідні

3. При X = const і при збільшенні 0 крива стає більш пологою. При о = const із зміною X крива не змінює своєї форми, а лише зрушується вправо або вліво по осі абсцис

 

Малюнок 57. Особливості кривих нормального розподілу

 

Властивість кривої нормального розподілу

 

3N

15,85%

Z

^>

a

У проміжку X + О

знаходиться 68,3 % усіх

значень ознаки

У проміжку

X + 2 (7 знаходиться 95,4 % усіх значень ознаки

J

 

У проміжку

X + 3 (7 знаходиться 99,7 % усіх значень ознаки

Малюнок 58. Властивість кривої нормального розподілу