2.1.СЕРЕДНІВЕЛИЧИНИ Загальні положення теми


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 

Загрузка...

Суть середньої величини у статистиці. Види середніх величин. Поняття середньоарифметичного. Середня арифметична проста Середня арифметична зважена.

Розрахунок середньої арифметичної в інтервальному варіа-ційному ряді.

Властивості середньої арифметичної. Середня гармонійна про-ста (зважена). Обмеження і особливості її використання. Середня квадратична та геометрична. Прикладні галузі застосування.

2

3S

к

Середній розмір — узагальнююча характеристика досліджува-ної ознаки у сукупності, що характеризує її рівень у розрахунку на одиницю сукупності.

cTZf

Структурні

 

Середня арифметична Середня гармонійна Середня геометрична Середня квадратична

Мапюнок 37. Категорії середніх розмірів

 

Ступеневі середні

J

 

X = Jjc I n

X=nlYA\IX).

 

X =      1 2~ —

            V n

4

X — л/Х^ ' X2 ' ■■■Лл_| ' Xn

 

te

a.

АРИФМЕТИЧНА

ГАРМОНІИНА

КВАДРАТИЧНА

ГЕОМЕТРИЧНА

 

Q         x=Z(x-/)/Z/

           

l=>       X = EM / Z(M /x), де M = x •/

           

"=>      x- lX' fi

           

"=>     

 

            Л— ■ЦА1 Л2 ... Лп

Малюнок 38. Види ступеневих середніх

^г^

с

Структурні середні

")^>

 

МОДА

МЕДІАНА

 

Мода — це найбільший розмір ознаки, що зустрічається часто у даній сукуп-ності

Медіана — це числове значення ознаки в тій одиниці сукупності, що знаходиться в середині ранжованого ряду

 

Мода визначається візуально за мак-симальною частотою

дискретнии ряд

Медіаною буде значення ознаки, для якої накопичена частота перша перевищує по-ловину обсягу сукупності

 

За найбільшою частотою визнача-ється модальний інтервал. Конкрет-не значення моди в інтервалі обчис-люється за формулою

, xf,      /о~/-і  

М

(/о-/-і)+(/о-/+і)

де х0 — нижня межа модального ш-

тервалу,

h — ширина модального інтервалу,

/о — частота модального інтервалу,

f_x — частота передмодальна,

f+i — післямодальна частота.

інтервальнии ряд

У такий спосіб визначається медіанний інтервал. Конкретне значення медіани в інтервалі обчислюється за формулою

М

f

+ h

ме

де х0 — нижня межа медіанного інтер-

валу,

h — ширина медіанного інтервалу,

5_і — накопичена частота, що передує

медіанному,

fue — частота медіанного інтервалу.

Малюнок 39. Визначення структурний середніх

 

Розподіл родин за кількістю

членів родини характеризується

такими даними

Кількість

членів

родини,

чол.     Число

родин, % до під-сумку         Накопи-

чені час-

тоти,S

2          10        10

3          37        47

4          28        75

5          15        90

6          9          99

7          1          100

Разом  100      —

 

Малюнок 40. Приклад визначення моди і медіани в дискретному ряді

Структурні середні в інтервальному ряді розподілу

 

М„ =x„ + h

/0-/-1

(/о-/-,)+(/о-/+1

Середньорічна вартість ОФ, млн грн

3,7-

4,6—5,5

5,5—6,4

Число підприємств

Накопичені частоти

М = ж„ + h

0,5£/-5_! /

"' МР

 

6-4

М, =5,5+09,—І-.—> =61млнру£

10        M^M

6,4—7,3

7,3—8,2

Разом

20

17

XT       СС AA0'5'20"6           £,0

Me = 5,5 + 0,9            = 6,18 млн грн

 

o

 

                                              

6-

5-4-3-2-

1-        / 4                                          

 

           

                       

                                              

 

           

                                   -         

           

           

                       

 

           

                       

           

           

           

           

                        7                     

 

           

           

           

           

           

           

           

                                  

                        ИЧисло

підприємств

 

           

                                  

           

           

           

           

           

           

           

           

           

 

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

                       

            3,7 - 4,6 - 5,5 - 6,4 - 7,3 -4,6 5,5 6,4 7,3 8,2           

                       

 

25 -20 -15 -10 -5 -0 -                                   

 

                       

 

                       

 

                                              

 

           

           

                        —г|

 

                                              

 

                                  

 

            3,7- 4,6- 5,5- 6,4- 7,3-4,6 5,5 6,4 7,3 8,2                

Малюнок 41. Розрахунок та графічне зображення моди та медіани

 

Середня арифметична

ПРОСТА

ЗВАЖЕНА

 

№ підприємства

Разом

Обсяг виробництва,

            мдн грн         

12,1

11,5

9,3

8,7

12,6

14,8

10,1

6,9

9,3

9,8

105,1

Відсоток виконання

норм, %, X

103

Разом

Кількість

робітників,

чол.,/

37

80

Хх/

2300

3811

1575

Середній обсяг виробництва

5><

- 5>І

105,1/10 = 10,51 млнгрн

Середній відсоток виконання норм

= 102,2%

I/ Хх/ _ 8176 X/ " Малюнок 42. Розрахунок середньої арифметичної простої і зваженої

Властивості середньої арифметичної

Середня арифметична постійної величини дорів-нює цій постійній

A = А при A = const.

 

Сума відхилень окремих варіантів від середньоі арифметичної дорівнює «0»

Цх-х]=0 Для згрупованих даних £(х - х )■ / =

 

Сума відхилень індивідуальних значень ознак середньої арифметичної є число найменше

Якщо всі варіанти ознаки X збільшити або змен-шити на постійне число А, то із середньою ари-фметичною відбудеться me ж саме

 

г                      ^^

Х(Х±А)/п=х   ±А.

таХ(Х±           A)-f/Xf-           = х ±А.

>-                    *

 

Якщо усі варіанти розділити на будь-яке постій-не число d, mo середня арифметична зменшиться в сіразів

 

г          ^^

            X(X/d)/n= xld,

            TaZ((X/d)-J)fZf=x/d.

^          '

 

Якщо всі ваги розділити на будь-яке постійне чи-сло d, mo середня арифметична не зміниться

z(x(f/d))/i:(f/d) =

(l/d)-X(X-f)/(l/d)-Xf=x

Малюнок 43. Властивості середньої арифметичної

 

ПРОСТА

ЗВАЖЕНА

 

Трак-тори      Витрати людино-годин на 1 га оранки, (х)           Оранка за 1 люди-но-годину, га (1 1 х)

1          1,40     0,71

2          1,20     0,83

3          1,20     0,83

4          1,00     1,00

5          1,00     1,00

6          0,90     1,11

7          0,80     1,25

8          0,75     1,33

9          0,75     1,33

10        0,70     1,43

Разом  10,82

Середні витрати людино-годин на 1 га оранки

х =«/X(l/Jt).

х=п/Х(1/Х) = 10/ 10,82 = 0,92 людино-годин на 1 га

 

Номер заводу Витрати часу на

одиницю продук-

ції, год (х)       Витрати часу на всю продукцію, год (М)

1          45,0     2250

2          52,0     3200

3          60,0     1800

4          58,0     6380

Разом  13 630

 

\           A

            Середні витрати часу на одиницю продукції

х=ЕМ/Е(М/х),деМ=х-/

х = Z М / X (М / х) = 13 630 / (2250 / 45,0 + + 3200 / 52,0 + 1800 / 60,0 + 6380 / 58,0) = 54,2 год |

1          ^

Малюнок 44. Розрахунок середньої гармонійної простої і зваженої

Середня арифметична

Середня арифметична, обчислена способом моментів, має вигляд:

х = т1 ■ і + A, де A — довільний постійний розмір, найчастіше — це те значення ознаки, що має серединне положення в даному ря-ду або те, що має найбільшу частоту;

і — постійний довільний розмір, вибирається після того, як знайдені різниці (х - А). Для варіаційного ряду з рівнове-ликими інтервалами і приймається рівним розміру інтервалу. В інших випадках і — це найбільший загальний дільник різниці (х-А). т\ — момент 1-го порядку:

юі —   _          _         

 

Групи вкладів за розміром, грн       Кількість вкладників Середина інтервалу (х')        х- A і   т>

До200 85        100      -2        -170

200^00            110      300      -1        -110

400—600        220      500      0          0

600—800        350      700      1          350

св. 800            135      900      2          270

разом  900      —        —        340

 

A = 500:          і = 200.                      

Середня         сума вкладу   

. S(      ¥>        340 ~900        = 0,38

1          S/        

           

 

                                   УІалюнок 45.

х = 0,38 • 200 + 500 = 576 грн Розрахунок середньої арифметичної способом моментів