5.2. Характеристики центру розподілу: мода і медіана


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 

Загрузка...

До характеристики центру розподілу, крім середньої арифметичної, належить мода і медіана. Середня арифметична і середня гармонійна є узагальнюючими характеристиками сукупності за тою чи по іншою варіаційною ознакою. Мода і медіана – це допоміжні описові характеристики розподілу варіаційної ознаки.

Мода - це величина ознаки (варіанта), яка найчастіше зустрічається у даній сукупності. У варіаційному ряді модою є варіанта, яка має найбільшу частоту.

Медіаною називається варіанта, яка знаходиться в середині варіаційного ряду. Медіана поділяє ряд на дві, рівні за чисельністю, частини.

Мода і медіана, на відміну від ступеневих середніх, є конкретними характеристиками ряду розподілу, їх значення має певна варіанта у варіаційному ряді.

Мода використовується в тих випадках, коли потрібно

охарактеризувати величину ознаки, яка найчастіше повторюється. Наприклад, найбільше розповсюджений розмір заробітної плати на підприємстві, ціна на ринку, за якою була продана найбільша кількість товару, розмір взуття, який має найбільший попит серед населення.

Медіана цікава тим, що показує кількісну межу значення варіаційної ознаки, яку досягла половина членів сукупності. Наприклад, середня заробітна плата на підприємстві складає 760 грн. в місяць. Ця характеристика може бути доповнена тим, якщо виявиться, що половина працівників отримали заробітну плату 770 грн. і більше, тобто обчислюється медіана.

Мода і медіана – це типові характеристики в тих випадках, коли сукупності однорідні і великі за чисельностю.

Знаходження моди і медіани в дискретному варіаційному ряді. Знайти моду і медіану у варіаційному ряді, де значення ознаки задані певними числами, досить просто. Розглянемо розподіл сімей за числом дітей (табл. 5.3).

Таблиця 5.3.

Розподіл сімей за числом дітей

Група сімей по числу дітей  Число сімей

0          10

1          30

2          75

3          45

4          20

5          15

6          6

Разом  201

Модою буде група сімей, яка має двох дітей, тому що цьому значенню варіанти відповідає найбільше число сімей (75).

Можуть бути розподіли, коли всі варіанти зустрічаються однаково часто, в цьому випадку значення моди відсутнє або інакше всі варіанти модальні. В інших випадках, не одна, а дві варіанти можуть мати найбільші частоти. Отже, у варіаційному ряді є дві моди і розподіл буде бімодальним. Бімодальні розподіли вказують на якісну неоднорідність сукупності за досліджуваною ознакою.

Для того, щоб знайти медіану в дискретному варіаційному ряді,

необхідно знайти півсуму частот і до отриманого результату додати 1/2: 201/2+1/2=101, тобто 101-ша варіанта буде такою, яка ділить упорядкований ряд на дві рівні частини. Для того, щоб це з’ясувати, необхідно накопичувати частоти, починаючи з найменшої варіанти. Сума частот першої і другої варіант дорівнює 40 (10+30). Зрозуміло, що 101-шої варіанти тут немає. Якщо додати до 40 частоту третьої варіанти (75), то будемо мати суму 115 (40+75). Таким чином 101 варіанта відповідає третьому значенню ознаки і медіаною буде група сімей, які мають двох дітей. Якби була парна сума частот (припустимо 200), то номер медіанної варіанти дорівнював би: 200/2+1/2=100,5. Оскільки варіант з дробовим номером не буває, медіана буде знаходитись посередині між 100 і 101 варіантами.

Розрахунок моди і медіани в інтервальному ряді. Для визначення моди спочатку знаходять модальний інтервал досліджуваного ряду (табл. 5.4).

Таблиця 5.4.

Розподіл робітників за розміром заробітної плати

Група робітників за розміром заробітної плати, грн.        Кількість робітників

1300-1400      10

1400-1500      50

1500-1600      100

1600-1700      115

1700-1800      180

1800-1900      45

Разом  500

Найбільша частота (f) відповідає інтервалу, де варіанта знаходиться в межах 1700-1800. Це й буде модальний інтервал.

Для розрахунку певного значення модальної величини ознаки, яка знаходиться в цьому інтервалі використовують залежність:

f -f

М0 = х0 +h     m m-1  ,           (5.1)

(fm - fm-1) + (fm - fm+1) де х0 - нижня межа модального інтервалу (у нашому випадку 1700); h - величина модального інтервалу (100); fm – частота модального інтервалу (180); fm-1 – частота інтервалу, попереднього від модального (115); fm+1 – частота інтервалу, наступного за модальним (45).

M =1700 +100

180 -115

(180 —115) + (180 -45)

1732,5 грн.

Для знаходження медіани в інтервальному ряді необхідно визначити медіанний інтервал кумулятивна частота якого дорівнює, або перевищує половину суми частот. Кумулятивна частота визначається шляхом поступового додавання частот, починаючи з інтервалу, який має найменше значення ознаки (табл. 5.5).

Таблиця 5.5.

Розрахунок медіани в інтервальному ряді

Група робітників за розміром заробітної плати, грн         Кількість робітників  Кумулятивна частота

1300-1400      10        10

1400-1500      50        60

1500-1600      110      160

1600-1700      115      275

1700-1800      180      455

1800-1900      45        500

Разом  500      -

Половина суми частот дорівнює 250 (500:2). Таким чином, медіанним буде інтервал із значенням заробітної плати 1600-1700. Для попереднього інтервалу сума накопичених частот складає 160. Тому для того, щоб отримати медіану, необхідно додати ще 90 одиниць (250 - 160).

Формула для обчислення медіани інтервального ряду має вигляд:

S

If

 

м

(5.2)

m-1

= x0 +h

f

500

де х0 - нижня межа медіанного інтервалу (для нашого прикладу 1600); h - розмір медіанного інтервалу (100); f - сума частот ряду (500); Sm-1 - сума накопичених частот в інтервалах, що передують медіанному (160); fm - частота медіанного інтервалу (115).

-160

= 1678,3 грн.

M =1600 +100

115 Таким чином, у нашому прикладі мода дорівнює 1732,5 грн., а

медіана 1678,3 грн.

Квартилі і децилі. Додатково до медіани для характеристики структури варіаційного ряду розраховують квартилі, які ділять ряд за сумою частот на 4 рівні частини і децилі, які ділять ряд на 10 рівних частот. Другій квартиль дорівнює медіані, а перший і третій (Q1 і Q3) розраховуються аналогічно до розрахунку медіани, тільки замість медіанного інтервалу береться для першого квартиля інтервал, в якому знаходиться варіанта, що відсікає 1/4 кількості частот, а для третього квартиля – варіанта, яка відсікає 3/4 кількості частот.

∑ f

-S

4          Q1-1 , (5.3)

i~-\      Q\        Q\

£?i

fQ

Z

3 f

Q 3 = X Q3 + І

4          Q3~'    (5.4)

Q3       Q3

QНа основі даних табл. 5.5. визначимо перший і третій квартилі:

 

g, = 1500 + 100 —     = 1565 грн.

Для розрахунку першого квартиля обчислюється 1/4 всіх частот:

500:4=125. Із табл. 5.5 видно, що 125 варіанта знаходиться в

інтервалі 1500-1600. Тому хQ1=1500. Сума накопичених частот для

цього інтервалу дорівнює 60, тому SQi_i=60.

3£f

— = 500*3/4= 375. 375 варіанта знаходиться в інтервалі 1700-

1800. Таким чином,

3-500

            275

Q, =1700 + 100—      = 1755,5 грн.

Це означає, що заробітна плата кожного четвертого робітника

перевищує 1755,5 грн.