4.4. Суть і значення середніх величин в статистиці і способи їх обчислення


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 

Загрузка...

Середня величина в статистиці - це абстрактна, узагальнююча величина, що характеризує рівень варіюючої ознаки в якісно однорідній сукупності. За допомогою середньої величини можливо охарактеризувати сукупність за кількісно варіаційною ознакою. При розрахунку середньої величини (за даними однорідної сукупності) нівелюються випадкові відхилення окремих величин явища.

Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, за допомогою якої ми характеризується сукупність, і яка в різному степені належить всім одиницям сукупності. Таким чином, за кожною середньою приховується ряд розподілу одиниць сукупності

за якоюсь варіаційною ознакою, тобто варіаційний ряд.

Обчислення середніх величин є складовою частиною багатьох статистичних методів: групувань, вибірки, рядів динаміки, індексів, показників варіації. Середні - це база для кореляційного, регресійного та дисперсійного аналізу.

Середні, що застосовують в статистиці, належать до класу степеневих, які в узагальнюючий формі мають вигляд:

z

(4.5)

I>

i

X

n

де х - це індивідуальне значення варіаційної ознаки (варіанти); z -показник ступеня середньої; п - кількість варіант.

Головною умовою вибору формули середньої є економічний зміст показника і вихідні дані.

Види середніх величин і способи їх обчислення

1. Середня арифметична - це одна з найбільш поширених середніх величин, застосовується у тих випадках, коли обсяг варіаційної ознаки для всієї сукупності є сумою індивідуальних значень її окремих елементів.

Середня арифметична проста дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на число цих значень:

- _ alhl_+5L     <4 б)

п

Приклад. Відомі дані про виробництво продукції робітників за зміну: 1-й робітник виробив 16 одиниць продукції, 2-й - 17, 3-й - 18, 4-й - 16, 5-й - 17.

Середній випуск продукції на одного робітника дорівнює:

х

= (16+17+18+16+17)75=16,8 одиниць продукції.

Для незгрупованих даних розраховують середню арифметичну просту. Для згрупованих даних (які представлені у вигляді рядів розподілу) розраховують середню арифметичну зважену.

Середня арифметична зважена дорівнює:

х

 

V x i f

i= 1

S /

(4.7)

i= 1

де хі – індивідуальне значення ознаки (варіанта); fі – повторюваність ознаки (частота).

Приклад. Відомі дані про заробітну плату робітників-відрядників (таблиця 4. 1).

Таблиця 4.1

Дані про заробітну плату робітників-відрядників

Місячна заробітна плата, грн. (варіанта - х)          Кількість робітників - f частота       х•f

X! =1100        fi=2      2200

x2=1300          f2=6     780

x3=1600          f3=16   25600

x4=1900          f4=12   22800

x5=2200          f5=14   30800

Всього            50        89200

х

= (Xi'fi+ X2«f2+ X3«f3+ X4«f4+ X5'f5)/( fi+ f2+f3+f4+f5),

(4.8)

Як бачимо з розрахунків, середня залежить не тільки від значення ознаки, але й від їх частот, тобто від складу сукупності, від її структури.

Якщо в ролі частоти застосовується частка (W), то для розрахунку середньої арифметичної зваженої використовується формула:

х

Zx„wn

(4.9)

 

де wn - вага у відсотках (частка).

Якщо кожна група розподілу має верхнє і нижнє значення варіант, то ряд вважається інтервальним з закритими або відкритими інтервалами (таблиця 4.2)

Таблиця 4.2

Групи робітників за

кількістю виробленої

продукції протягом

зміни, шт        Число робітників f    Середина інтервалу х           х•f

3 - 5    10        4          40

5 - 7    30        6          180

7 - 9    40        8          320

9 - 11  15        10        150

11- 13 5          12        60

Всього            100                  750

Тоді середня кількість виробленої продукції за зміну складає:

х = 750/100=7,5 штук

Якщо інтервал відкритий (до 5... більше 11) величина інтервалу першої групи приймається рівною величині інтервалу наступної групи, а величина інтервалу останньої групи - величині інтервалу попередньої групи.

Властивості середньої величини:

1. Якщо зменшити (збільшити) всі варіанти в однакове число раз

( k), то нова середня зменшиться (збільшиться) в таке ж число разів.

= x-k

(4.10)

I(*i-k)-f

If

2. Якщо зменшити (збільшити) всі варіанти на довільне число (А), то нова середня зменшиться на таке ж довільне число:

I(*±4)/

= JC±^

(4.11)

3.         Якщо зменшити або збільшити частоти всіх варіант на будь-яке постійне число (А ), то середнє арифметичне не зміниться.

4.         Сума відхилень всіх варіант від загальної середньої дорівнює нулю:

∑(х - х ) = 0,   (4.12)

2. Середня гармонійна застосовується в тих випадках, коли нам

відомі не самі варіанти, а їх обернені числа. Як і середня арифметична, середня гармонійна може бути проста і зважена.

Таким чином середня гармонійна проста рахується по залежності:

 

1          +          1          +..        1

..+—    ТЇ

*1                    x2                    Xn       X

nn х

(4.13)

Наприклад, бригада трактористів виробляє однакові деталі на протязі 8 годин робочого дня. Перший робітник витратив на одну деталь 12 хвилин, другий - 15 хв., третій - 14 хв., четвертий - 16 хв., п’ятий -14 хвилин. Визначити середній час, необхідний для виготовлення однієї деталі.

Розрахунок простої арифметичної був би правильним, якщо кожен робітник виготовляв би по одній деталі, але на протязі зміни окремими робітниками виготовлялася різна кількість деталей. Середній час на виготовлення деталі дорівнює загальному часу, поділеному на кількість деталей:

8 60 + 860 + 860 + 860 + 8 60

13,3 хв.

8-60 8-60 8-60 8-60 8-60

            +          +          +          +         

12        15        14        16        14

Крім середньої гармонійної простої визначається середня гармонійна зважена:

z1 + z2 + z3 + .... + zn ∑ z

х=        =

111      1          1          (4.14)

z1 + z2 + z3 + .... + zn ∑ z

x1        x2        x3        xn        x

Деякі види середніх величин наведені в табл. 4.3.

 

Таблиця 4.3

Види середніх величин

Характеристика вихідних даних

Згруповані значення

Індивідуальні значення

зважена

Проста

x-.E

X

k

x-E

X

k

«

х-Ж

n

X

Середня арифметична

Середня гармонійна

x-^LL

2/

 

X

 

w

z

X

1

Середня квадратична

X

 

z

Z*

S

X

 

 — \-*r

x= ЙЛ

V n

-^••••-"■и —

2

Середня геометрична

Zlnx

2

X

Х-Л

n

Zlnjc/

 

X

1

x= 2

Середня хронологічна

Xj + x2 + x3 + xn_j + xn

И-де х1, х2, х3, хn - індивідуальні значення ознаки; f - частота; n -кількість індивідуальних величин.

Середня геометрична використовується в статистиці досить обмежено, переважно для визначення темпів росту базисних або ланцюгових величин.

Середня хронологічна застосовується переважно в бухгалтерському обліку для визначення середньорічних залишків матеріальних цінностей (за квартал, за рік).

МОДУЛЬ 2. Статистичні методи дослідження варіації та динаміки показників