7.4.2. Класифікація розривів функції


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Якщо при деякому х = хх будь-яка із умов неперервності озна-

чення 20 не виконується, то кажуть, що функція в цій точці має розрив, а точку х, називають точкою розриву функціг.

Поняття неперервності та розриву функції можна наочно пока-зати на графіку функції (див. мал. 4). Y н

 

0

Х„ X.

о          1

Х0

X

Мал. 4.

В околі точки хп графік має вигляд неперервної лінії. При будь-

якому прямуванні х —> хп /(х)—>/(хп). В точках х. та х0 інша ситуація. При наближенні х до хх зліва /(х)—>а, а при х —> х4 справа /(х)—>й, тобто lim/(x) залежить від способу прямуван-

ня х до х,. В точці х„ умова неперервності функції також не вико-нується тому, що lim/(x) = °°, тобто не існує скінченної границі.

х^>х2

Графік функції, що зображений на малюнку 4, має розриви в

точках x1 та x2 Частина 7. Вступ до математичного аналізу

Розриви функції бувають ліквідовні та неліквідовані:

1)         якщо функція fix) не визначена в точці хх або визначена,

але мають місце співвідношення

lim f(x)= lim /(х)ф/(хі),

то розрив в точці хх називають ліквідовним. В цьому випадку функ-

цію можна визначити або змінити її значення в точці х. так, щоб вико-нувались рівності

ATo/(x)=im+o/W=/^)-

2)         неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та дру-

гого роду:

a)         якщо однобічні границі функції lim fix), lim fix) існу-

ють та скінченні, але не рівні між собою, то х. називають точкою розриву першого роду, а різницю lim fix)- lim /(х) назива-

ють стрибком функції;

b)         якщо хоча б одна з однобічних границь не існує або дорівнює

оо, то розрив в цій точці називають розривом другого роду.

На малюнку 4 функція має розрив першого роду в точці х. , ї'і стрибок дорівнює Ь - а, а в точці хп функція має розрив другого роду.