7.4. Неперервні функції та дії з ними 7.4.1. Неперервність функції в точці і на відрізку


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Нехай у = fix) і аргумент х змінюється від значення х = х., до

значення х = хп. Різницю між цими значеннями аргументу назива-ють приростом аргументу і позначають Ах. Отже, Ах = х2—хі.

При х = х., маємо у, = f (х.), а при х = х0 маємо г/о = f(x0). Різницю функції, яка викликана зміною аргументу, називають при-ростом функції і позначають Ау .

Отже,

ty = y2-yi=f(xi+Ax)-f(xi).

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Тепер можна перейти до поняття неперервності функції. Дамо два означення неперервності функції в точці, які досить часто вико-ристовуються.

Ф Означення 19. Якщо нескінченно малому приросту аргументу

Дх в точці х = х0 відповідае нескінченно малий приріст Ау функціг,

що визначена в точці х0 та в п околі, то функцію у = f(x) назива-

ють неперервною при х = хп або в точці хп.

Із цього означення випливає, що для дослідження неперервності функції в точці х = х0 достатньо впевнитись, що при Ах —> 0 буде

Ф Означення 20. Функцію y = f(x) називають неперервною

при х = хп, якщо:

1)         fix) існуе при х = х0 та в деякому околі точки х0;

2)         існує скінченна гранищ lim /(х);

x до x

3) lim _дх) = _дх0) незалежно від способу прямування х до

тобто lim f(x)= lim /(х) = /(х0).

х—>х0-0 ^ ' х—>х0+0 ^ '     ^ '

Останню умову можна записати так:

lim/(*) = / limx =f(x0).

Ця ознака нижче буде використана для класифікації точок розриву.

Ф Означення 21. Якщо функція неперервна в кожній точці дея-кого інтервалу (а,Ь), то гг називають неперервною в інтервалі

то

(а,Ь). Якщо функція визначена при х = а і lim f(x) = f(a)

кажуть, що f(x) неперервна в точці а справа. Частина 7. Вступ до математичного аналізу

Якиір fix) вшначена при x = b і lim fix) = fib), то кажуть,

що fix) в точці x = b неперервна зліва.

Якщо fix) неперервна в кожній точці інтервалу іа,Ь) та непе-рервна на кінцях інтервалу, відповідно справа та зліва, то функцію f(x) називають неперервною на відрізку [а,Ь].

Ш Приклад 2. Знайти інтервал неперервності функції у = х .

^> Розв’язання. Будемо використовувати означення 19 неперерв-ності функції. Візьмемо довільну точку хп на числовій осі та позна-

чимо через Ах приріст х. Тоді функція у - х одержить приріст

Дг/ = (х0+Дх) -х\ =х\ +2х0 -Ax + (Ax) -х\ =2х0 -Ax + (Ax) .

Якщо Ах —> 0, то згідно з властивостями нескінченно малих величин, Ау —> 0, тобто Ау є нескінченно малою. Отже, функція неперервна в точці хп. Це твердження має місце для будь-якої точки числової осі, тому функція у = Xі неперервна на всій числовій осі.

■ Приклад 3. Знайти limx2.

Разв ’язання. В прикладі 2 одержали, що функція у = х неперер-

вна при -оо < % < °°. Тому для знаходження її границі при х —> 3 достатньо замість х підставити х = 3, тобто перейти до границі під знаком функції

limx2 = (3) = 9.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»