7.3.5. Чудові границі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Перша чудова границя

При знаходженні границі виразів, що містять тригонометричні функції, часто використовують границю

 sinx

lim        = 1,

(1)

яку називають першою чудовою границею.

Для доведення рівності (1) побудуємо коло одиничного радіуса

п

та кут АОВ = х (радіан), де 0 < х < — (див. мал. 3).

 

Dy

A

Мал. 3.

Побудуємо лінію синуса ВС та лінію тан-

генса AD. Із мал. 3 видно, що площа ААОВ менше площі сектора АОВ, а остання менше

площі АА OD.

Площа АиАВ дорівнює -smi, площа

2

сектора UAB дорівнює — х, а площа AUAD

дорівнює —tgx. Отже, маємо нерівності sinx<x<tgx.

ж

При 0 < х < — маємо sin х > 0 , тому нерівності можна поділити

 х 1

на sin х. Одержимо 1 <         <          .

sinx cosx

Для обернених величин можна записати такі нерівності

sin x

<1.

COS X <

X

(2)

Частина 7. Вступ до математичного аналізу

Оскільки lim cos х = 1, TO за першою ознакою існування границі

змінної величини із нерівностей (2) одержимо

 sinx

lim        = 1.      (3)

*->0 X х>\)

Отже, рівність (1) доведена для х>0. При х<0 позначимо x = -t, t>0, тоді

sinx _ sin(-i) _ -sint _ sint

x          -t         -t         t

Тому, для x < 0 маємо

 sinx sin£

lim        = lim    = 1.      (4)

x<0 Л  t>0 L

Із рівностей (3) та (4) випливає рівність (1), яку треба було до-вести.

Наприклад,

 sin5x 5sin5x sin5x

lim        = lim    = 5 lim = 5.

x^>o Y            x^>o ST          X^>O ST

Друга чудова границя

( iY

Розглянемо послідовність и = 1Н— , п = 1,2,3,... та підрахує-

" V п

iY        ґ iY (^3

мо декілька її значень

щ=2; и2=\1 + —\ =2,25; м3 = 1 + — = — =2,

и4=(т1 =2,441;           щ= - =2,488; ...

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Бачимо, що щ<и2<и3<иА<щ. Можна довести, що для будь-

якого п має місце нерівність ип < ип+і яка означає, що змінна ип

монотонно зростає. В той же час усі підраховані значення ип задо-

вольняють нерівність ип < 3. Можна показати, що ця нерівність має

місце для усіх значень п. Отже, змінна ип монотонно зростає і зали-шається обмеженою зверху числом 3. Згідно другої ознаки існуван-ня границі змінної величини робимо висновок, що ця змінна ип має скінченну границю.

 

• Означення 18. Скінченну границю послідовності ип п = 12,3,... називають числом е, тобто

( іТ

lim 1н— =е.    (5)

Оскільки для будь-яких значень п > 1 мають місце нерівності 2 < ип < 3 , тому число е задовольняє нерівностям 2 < е < 3 .

Число е - ірраціональне, воно часто використовується в мате-матиці та економіці і дорівнює е =2,718281... .

В практичних підрахунках наближено приймають е~2,12. Рівністю (5) ми визначили число е при п —> °°, коли п приймає лише цілі та додатні значення. Можна довести таке твердження:

Якщо змінна х—>°°, приймаючи будь-які дійсні (раціональні та

( іУ

ірраціональні) додатні значення, то фунщія f(x) = \ 1-\— мае

V х)

своею границею також число е, тобто

 ( іТ

lim 1н— =е.    (6)

х^>\ х)

Частина 7. Вступ до математичного аналізу

лкщо в лівш частині рівності (о) зрооити замшу — = a то ця

х

рівність приймає вигляд

lim(l + aV =е.

а^О

(7)

Рівності (6) та (7) називають другою чудовою границею. Цю

границю часто використовують в різних галузях техніки, економіки.

■ Приклад 1. Обчислити lim 1-\— при постійному а.

^> Розв’язання. Будемо використовувати другу чудову границю. Маємо:

lim 1 + — =lim

X—»°°l           jr J       X—»°°

1 +

x

lim 1 + ^

*-»4 x