7.3.4. Основні властивості границі змінної величини


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

+ Теорема 3. Якщо х = С - постійна величина, то ІітС = С, тобто, границя постійної величини дорівнює самій постійній.

Дійсно, якщо усі значення х дорівнюють С, то виконується

нерівність \х — С = \С — С = 0 < є, де є - скільки завгодно мале до-датне число. Ця нерівність означає, що С є границею х = С.

+ Теорема 4. Границя алгебраїчної суми скінченної кількості змінних величин, що мають границі, дорівнює такій самій алгеб-раїчній сумі границь доданків, тобто

lim(x± г/±...г) = 1ітх±1ітг/±...1ітг.

Доведення. Нехай Ііт х = a, lim у = b, ..., lim z = с. Змінна вели-

чина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу величину, тому можна записати:

х = а + а, y = b + (3,..., z = c + y,

де a, /3,..., Y _ нескінченно малі величини. Тепер маємо:

x±y±...±z = (a±b±...±c) + (a±j3±...±y).

В останній дужці правої частини цієї рівності маємо нескінченно малу величину, а в першій дужці - постійна величина. Отже,

lim(x + у + ...z) = a±b±...±c = lim х ± lim у ± ...lim z, що й треба було довести.

-f Теорема 5. Границя добутку скінченної кількості змінних величин, що мають границю, дорівнює добутку границь множ-ників, тобто

lim (х -y-...-z) = lim х ■ lim у ■... ■ lim z.

Доведення. Спочатку доведемо твердження теореми для двох

множників. Нехай lim х = a, lim у = b, тоді х = а + а, у = Ь + /?, де

ос та 6 - нескінченно малі величини.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Згідно з властивостями нескінченно малих величин у = а- /З + а-Ь + а- /3 також нескінченно мала. Тому

х-у = а-Ь + у або \іт(х-у\ = a-b = limx-limy.

Тим самим твердження теореми для двох множників доведене.

У випадку трьох множників доведення твердження теореми вип-ливає із доведення для двох множників та рівностей:

lim (х -у-г) = lim Г(х • у) ■ г\ = lim (х • у) ■ lim z = lim х ■ lim у ■ lim z

Аналогічно доводиться твердження теореми для будь якої кількості множників.

▼        Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак гра-

ниці, тобто

ІітСх = ІітС Літх = СІітх.

▼        Наслідок 2. Границя цілого додатного степеня змінног величи-

ни дорівнюе тому ж степеню границі ціег змінног величини, тобто

lim(x") = (limx)".

+ Теорема 6. Границя частки від ділення двох змінних вели-чин дорівнює частці від ділення їх границь, якщо тільки границя дільника не дорівнює нулю, тобто

 х limx ,.           А

lim—= , итуфу).

у limy

Доведення. Нехай lim х = a, lim у = Ь ■ Тоді х = а + ос, у = Ь + /3, де а та р - нескінченно малі величини. Розглянемо різницю

х a _а + а a _ab + ab-ab-a/3 _ab-a/3 y~~b~ b + /3~~b~ b 2+j3b ~ b 2+j3b '

Величини a/3, ocb, /3b - нескінченно малі, тому чисельник правої частини є нескінченно малою величиною, а знаменник -Частина 7. Вступ до математичного аналізу

скінченною величиною. Отже, дріб 2       буде нескінченно ма-

ab-a/3 b2+/3b

лою величиною, яку позначимо через Y ■ Тепер маємо:

            = Y аоо — = —vy.

у b       У b

Знайдемо границю обох частин останньої рівності:

 х a limx

lim— = — =    .

у b lim y

що i треба було довести.

Розпишемо деякі особливі випадки обчислення границі част-

У

ки —•

Z

1.         Якщо limz = °°, a у - обмежена величина, тоді

 V        (           І^ 1-    1-        1          гч

lim—= lim у-— = 1шіг/-1ші— = U.

z          \ z)       z

 sinx „ Наприклад, lim—y = U.

2.         Якщо limz/^O, a limz = 0, тоді

 v ( іЛ  ГіЛ

lim—= lim г/-— = limг/-lim — =<=>.

1

тому, що — - нескшченно велика величина.

z

 х2+3

Наприклад, lim           = °°.

х^і х-і

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»