7.3.1. Поняття границі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

Ф Означення 13. Постійна величина а називаеться границею змінної величини х, якщо абсолютна величина різниці х — а е вели-

чиною нескінченно малою, тобто \х — а\<є.

Якщо число а є границею змінної х, то кажуть, що х прямує до

границі а і позначають так: lim х = а або х —> a .

3 цього означення границі випливає, що границя нескінченно

малої величини дорівнює нулю, тобто lim or = 0 або or—>0 .

Частина 7. Вступ до математичного аналізу

Нескінченно велика величина х границі не має, але умовно вва-жають, що границя нескінченно великої величини є оо, тобто \х —> °°

або limx = ±°°.

Із означення 13 випливає: якщо в процесі своєї зміни змінна ве-личина має границю, то лише одну, а сама змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу величину, тобто х = a + a. Саме цей факт в математичному аналізі часто використо-вується.

Тепер розглянемо границю різновидів змінної величини - послідов-ності та функції.

•          Означення 14. Число а називаеться границею послідовності

для будь-якого наперед заданого, скільки завгодно малого є > 0 існуе такий номер N, що для усіх п > N виконуеться нерівність \хп —а < є.

Позначають границю послідовності так:

Іітхп=а або х —>а при п^>°°.

Відмітимо, що номер N залежить від є і найчастіше він зростає, коли є зменшується.

•          Означення 15. Число А називаеться границею функції у = f(x)

при х —> хп, якщо для будь-якого наперед заданого, скільки завгодно

малого є > 0 знайдеться таке число 8 > 0, що для усіх х, відміннш від х0 і які задовольняють нерівність \х — хЛ<8, виконується

нерівність \f(x) — А\<є.

Відмітимо, що 8 залежить від є і найчастіше зменшується, коли зменшується є.

Покажемо на графіку (мал. 2), як здійснюється прямування функції f(x) до границі А. Відклавши на осі Оу є -окіл точки А, знайдемо

проміжок Іх0—8І, х0 + 82) осі Ох, для усіх точок якого значення

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

y=f(x)

функції/(х) не виходить із смуги завширшки 2 є. Із

А + є. A >ь А-єм—

St, та 82 візьмемо менше

і позначимо його S. Те-пер для усіх х, таких, що

|x-x0|<^ виконується нерівність \f(x) — A\<S.

X

6 6 A

0

х„ - 8, х. х„ + 8„

и          1          и и      z

Мал. 2. ^ Зауваження 5. Якщо функція y = f(x) мае границею число A , лише при умові, що х —> хп зліва, то використовують такий

запис:

A = lim fix),

x—>x -0

                                               x          '

а число А^, називають однобічною границею функції y = f(x) зліва. Якщо число А е границею функціг у = fix) при х —> хп справа, то

використовують запис:

х—>х+0

А2 =

li™J(x)>

а ад/сло А2 називають однобічною границею функції у = f [X) спра-ва. Ці границі функціг називають однобічними.

Для існування границі А функції fix) в точці хп необхідно і достатньо, щоб існували в цій точці границі функції зліва та справа і щоб вони були рівні, тобто А1= А2= А.

Частина 7. Вступ до математичного аналізу