Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_70b9aa5d9489e939aa3d62fb7f8053b0, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
7.2. Нескінченно малі та нескінченно великі величини : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

7.2. Нескінченно малі та нескінченно великі величини


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

• Означення 11. Змінна величина х називаеться нескінченно

малою, якщо в процесі п зміни наступить такий момент, починаючи з якого, абсолютна величина змінног стае і залишаеться менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа є,

тобто \х\< є .

Нескінченно малі величини найчастіше позначають літерами а,

/3, у.

1

Наприклад, величина           при Й-)°° є нескінченно малою.

10"

^ Зауваження 4. Нескінченно мала величина е змінною величи-ною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину, що приймае одне й me ж значення, то в цьому розумінні вона е не-

скінченно малою, тобто якщо а = 0 , то нерівність \а\<є виконуеть-

ся для будь-якого є > 0.

Жодну іншу постійну величину, якою б малою вона не була (на-приклад, розмір електрона), не можна назвати нескінченно малою.

Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.

+ Теорема 1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай задано k нескінченно малих величин

ocv а2,..., ock. Доведемо, що їх алгебраїчна сума (с^ ±а2 ±...±otk

буде величиною нескінченно малою. Візьмемо скільки завгодно мале є> 0. Згідно з означенням нескінченно малих в процесі їх зміни наступить такий момент, починаючи з якого будуть виконуватися нерівності:

Частина 7. Вступ до математичного аналізу

N<p Іа2І<£>---> \ак\<ц-

Звідси, використовуючи властивості модуля, одержимо:

I           I           I           I           є є       є

\а. ±а9 ±...±а,\<\а.\ + \аJ +... + \аь\< —+ — + ... + —= є.

kk        k

Отже, маємо: \осх ± а2 ±... ± ak < є.

Ця нерівність, згідно з означенням 11, означає, що iKai±a2±...±ak є нескінченно малою величиною. Теорема доведена.

+ Теорема 2. Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай у - обмежена величина, a - нескінченно мала.

Для обмеженої величини у існує таке число М, що \у < М. Згідно з

означенням нескінченно малої в процесі змінювання наступить та-кий момент, починаючи з якого буде виконуватися нерівність

\а\ < — для будь-якого є > 0. Тому, починаючи з деякого моменту, М

буде виконуватись нерівність

            , , £

\уа\ = \у\-\а\<М           = є .

Ця нерівність означає, що у ■ а є величиною нескінченно малою, що і треба було довести.

▼        Наслідок 1. Добуток постійног величини на нескінченно малу е величина нескінченно мала.

▼        Наслідок 2. Добуток скінченног кількості нескінченно малих ве-личин е величина нескінченно мала.

Дійсно, постійні та нескінченне малі величини обмежені величи-ни, тому для них має місце твердження теореми 2.

• Означення 12. Змінна величина х називаеться нескінченно ве-

ликою, якщо в процесі п зміни наступить такий момент, починаючи

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

з якого абсолютна величина х стае і залишаеться більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед заданого додатного числа N, тобто \х\ > N.

Наприклад, величина 10" при w—>°° є величина нескінченно велика.

Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв’язок: якщо х нескінченно велика величина, то

1          .           .

у = — - нескшченно мала, і навпаки, якщо у - нескшченно мала і

х

у Ф U, то х = — оуде нескшченно великою величиною. у

Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості нескінченно великих величин буде величиною нескінченно великою, добуток нескінченно великої величини на обмежену величину також буде нескінченно великою величиною.

Ділення нескінченно малих та нескінченно великих величин поки що не визначено і буде розглянуто далі, після визначення границі змінної величини.



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_70b9aa5d9489e939aa3d62fb7f8053b0, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0