Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
6.2.7. Рівняння прямої та площини в просторі : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

6.2.7. Рівняння прямої та площини в просторі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

магниевый скраб beletage

а) Рівняння площини, що проходить через задану точку Мп(хп, г/„, г„) перпендикилярно заданоми вектори п = (А, В, С) (мал. 15).

Візьмемо довільну точку площини М(х, у, z) і побудуємо вектор

МпМ = (х-хп, у-уп, z-zn).

и          о7 J J о            о

Вектори M0M та n перпендикулярні, тому їх скалярний добу-ток дорівнює нулю. Отже, маємо:

А(х–х0) + В(у–y0) + C(z–z0) = 0.      (35)

Z п

Координати довільної точки М, що лежить в пло-щині, задовольняють рів-ність (35), а координати точки М, що не лежить в площині, не задовольняють рівність (35). Отже, рів-ність (35) є рівнянням пло-щини в просторі.

174

Мал. 15.

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

b) + Теорема. Будь-яке рівняння першого степеня відносно х, у, z визначає площину.

Доведення. Розглянемо довільне рівняння першого степеня віднос-но х, у, Z.

Ax + By + Cz + D = 0.           (36)

Це рівняння має нескінченну кількість розв’язків. Нехай

z0) один з цих розв’язків. Тоді маємо:

Ахг, + Вуп + Czr, + D = 0.    (37)

Різниця рівнянь (36) та (37) має вигляд:

А(х - хЛ + В (у - ііЛ + С (z - zn) = 0. (38)

Ліву частину цієї рівності можна розглядати як скалярний добу-

ток векторів п = (А, В, С) та МпМ = (х - хп, у - уп, z - zn).

3 рівності нулю скалярного добутку випливає, що п _L М0М.

Отже, кінці вектора МпМ лежать в площині, перпендикулярній п

і яка проходить через точку М„, тобто рівняння (38), а значить і (36),

визначає площину перпендикулярну вектору п.

• Означення 8. Рівняння вигляду (36) називають загальним рівнянням площини в просторі.

Дослідження загального рівняння площини дозволяє визначити її положення в просторі. Так, рівняння вигляду

Ax + By + Cz = 0 (D = 0)

визначає площину, що проходить через початок координат; рівняння вигляду Ax + By = 0 в просторі визначає площину, яка паралельна осі Oz і проходить через початок координат; рівняння х = 0 визначає пло-щину yOz; у = 0 визначає площину xOz; z = 0 визначає площину хОу.

Ш Приклад 1. Задані точки М0(4, 6, 1), Mt(l, 0, -2), М2(4, -2, 4). Треба:

a)         скласти рівняння площини, що проходить через точку М„ пер-пендикулярно відрізку М.М'

b)         одержане рівняння звести до загального вигляду;

c)         побудувати цю площину в системі Oxyz.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

^> Розв’язання.

a)         Спочатку знайдемо координати вектора:

п = МіМ2 = (4 - 1, -2 - 0, 4 - (-2)) = (3, -2, 6).

Шдставивши координати вектора п та точки М„ в рівняння (35), одержимо:

3(х - 4) - 2(г/ - 6) + 6(г - 1) = 0.

b)         В одержаному рівнянні розкриємо дужки, тоді

Зх - 12 - 2г/ + 12 + 6z - 6 = 0 => Зх - 2г/ + 6z - 6 = 0.

c)         Для побудови площини в просторі знайдемо точки перетину

площини з осями координат, тоді побудуємо площину по 3-х точках:

При х = 0, г/ = 0 маємо 6z - 6 = 0=>z =l. При х = 0, z = 0 маємо - 2г/- 6 = 0=>г/ = -3. При г/ = 0, z = 0 маємо Зх - 6 = 0=>х = 2.

n z

1

Побудуємо в системі координат ці три точки (див. мал. 16).

Задана рівнянням площина прохо-дить через точки М3(0, 0, 1), М4(0, -3, 0), MJ2, 0, 0) і на мал. 16 заштрихована.

5\

^ Зауваження 1. Рівняння площи-ни, що проходить через три точки Mix., г/„ z,), Міх„, г/„, z„), MJx„, г/а, z„)

' т^      -          1Ч I7 ^ V 1     2Ч 27 ^і 2       Зч З7 ^З .V

знаходять за формулою:

Мал. 16.

х-х, y-yt z-zt

Х2 — Xt у2 ~ Уі 22 ~ Zt

х3 — хі у3 — уі z3 — zi

 0.

(39)

с) Канонічні та параметричні рівняння прямої в просторі

Нехай здана точка М„(х,, г/„, zn) на прямій L та вектор s =(/, т, р) паралельний прямій. Знайдемо рівняння цієї прямої.

Візьмемо довільну точку М(х, у, z) на прямій і розглянемо вектор

М0М = [х-х0, у-у0, z-z0)

(мал. 17). Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

Z ii

 

Вектори M0M та s пара-лельні, тому їх координати пропорційні,

x-x0 y-y0 z-z0

,           . (40)

/           in         p

XA

Якщо точка M не нале-

жить прямій L, тоді координа-

ти цих векторів не про-

порційні і (40) не має місця.

Мал. 17.         Отже, співвідношення (40) є

рівняннями прямої L, які на-

зивають канонічними рівняннями прямої. Вектор s називають на-прямним вектором прямої.

Позначимо через t загальне значення відношень канонічних рівнянь прямої L:

0

 

p

У-У0 z~z0

т

= t.

Звідси одержуємо:

(41)

<y = y0+mt. z = z0+pt

Ці рівняння називають параметричними рівняннями прямої в

просторі, яка проходить через точку М0(х0, г/0, z0) паралельно векто-

ру s = (1,171,р) .

В рівняннях (41) t розглядають як параметр, що довільно змінюється в інтервалі (— °°,°°У Координати х, у, z точки М залежать від t, тому при зміні t точка М(х, у, z) рухається по прямій L.

d) Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Нехай на прямій задані дві точки M1yx1,y1,z1j, M2yx2,y2,z2j.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Знайдемо рівняння такої прямої. Нехай напрямним вектором прямої буде вектор s = MtM2 (х2 -хх,у2 - yvz2 — zx). Тоді, підстав-ляючи координати вектора s в рівняння (40), одержимо рівняння

x-xt      У-УІ   z-zt

•As n *As A    У2~Уі Z2 — Z-L

(42)

яке називають рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки М. та М0.

Ш Приклад 2. Скласти канонічні та параметричні рівняння пря-мої, що проходить через точки М. (3, -5, 2) та Мп(\, -1, -4).

^> Розв’язання. За формулами (42) маємо:

х-3 _ у + 5 _ z-2 х-3 _у + 5 _z-2 1-3 ~ -1 + 5 ~ -4-2 ^ -2 ~^Г~^6 або

х-3_у+5_z-2 1 ~^2~^Г

це канонічні рівняння прямої.

Для одержання параметричних рівнянь цієї прямої використовує-мо формули (41), тоді:

х = 3 + t

y = -5-2t te (-00,00).

z = 2 + 3t

d) Деякі важливі формули

Вкажемо деякі формули, які можуть бути корисними при розв’я-зуванні багатьох задач і які доведені у більш повному курсі аналі-тичної геометрії.

1. Відстань d від точки М„(х,, ум zn) до площини, заданої загаль-ним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, знаходять за формулою

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

I Ax0 + By0 + Cz0 + D\

d =       ,.          (43)

yJA2+B2+C2 2. Косинус кута <p між двома площинами, що задані загальними

рівняннями Ax + Bхy + Ctz + Dt = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0, зна-ходять за формулою:

cos^ =■=         =,         ^.         (44)

A+B+C-.A+B+C

11        1^2      2          2

Умова паралельності площин має вигляд:

Aх _ Bх _ Cх A2 B2 C2

(45)

Умова перпендикулярності площин:

A1A2 + BХB2 + CtC2 = 0.    (46)

3. Косинус кута <р між двома прямими, заданими канонічними рівняннями:

x-xх y-yх z-zt x-x2 y-y2 z-z2

l           m         p          l           m2       pi

знаходять за формулою:

l •l+m.-m0 + p.-p0

cos<p= .          —,       (47)

l2 + m2 + p2 ■l2 + m2 + p

Умова паралельності прямих має вигляд:

(48)

lt _m _ p l2 m2 p2 Умова перпендикулярності прямих:

lt • l2 + m1 • m2 + pt • p2 = 0.            (49)

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

x — 2 ii — 3 z-4

■ Приклад 3. Знайти точку перетину прямої        =          =         

1          1          2

та площини 2x + y + z - 6 = 0.

^> Розв’язання. Шукані координати точки перетину (х, у, z) по-винні задовольняти рівнянням прямої та площини. Параметрични-ми рівняннями заданої прямої будуть

x = 2 + t

у = 3 +1 .        (50)

z = A + 2t

Шдставимо ці х, у та z в рівняння площини:

2(2 + і) + (3 + і) + (4 + 2ґ) - 6 = 0 => 5t + 5 - 0 => t = -1.

Шдставивши знайдене t в формули (50), одержимо координати точки перетину:

х = 2 - 1 = 1; г/ = 3 - 1 = 2; z = 4 - 2 = 2.

Отже, точкою перетину буде М(1, 2, 2).