6.2.5. Криві лінії другого порядку


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

загрузка...

•          Означення 3. Кривими лініями другого порядку називають

лініг, координати точок яких задовольняють рівняння другого степеня.

а) Рівняння кола

•          Означення 4. Колом називають геометричне місце точок,

рівновіддаленш від фіксованог точки - центра кола.

Знайдемо рівняння кола.

Позначимо С(хп, ііЛ - центр кола радіуса R. Візьмемо довільну точку М(х, у) кола (див. мал. 7).

Тоді, за означенням кола,

Y ь

CM

М(х, у)

= R. Але CM = (х-Xr,, у-у„). Тому

yl{x-x0f+(y-y0f =R. Звідси одержимо:

X

(x-x0f+(y-y0f=R2. (28)

Мал. 7.

Цю рівність задовольняють ко-ординати довільної точки М(х, у), що належить колу, і не задоволь-няють координати точки, що не належить колу.

Отже, рівність (28) є рівнянням кола, яке називають канонічним рівнянням кола.

Якщо центр кола знаходиться в точці 0(0, 0). тоді рівняння кола спрощується і приймає вигляд

х2 +у2

R2.

(28')

Ь) Рівняння еліпса

Ф Означення 5. Еліпсом називають геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) дорівнюе постійній величині 2а.

Знайдемо рівняння еліпса. Позначимо через Ft та F2 фокуси

еліпса. Вісь абсцис Ох проведемо через фокуси Ft та F2, а вісь Оу Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

FX-c, 0)

 

X

М(х, у)

проведемо через середину відрізка [F1, F2] перпендикулярно до осі Oх (див. мал. 8).

Позначимо відстань між фо-кусами 2с. У такій системі коор-динат F1(–c, 0), F2(c, 0), 2а >2с. Візьмемо довільну точку М(х, у) еліпса. За означенням 5 еліпса

маємо

 

Мал. 8.

\FXM\ + \F2M\ = 2а

але

\FtM\ = <J(x + с)2 + у; \F2M\ = у](х - cf + у2 , тому одержуємо рівняння еліпса вигляду:

J(x + c) +у2 +J(x-c) +у2 =2а.

Будемо спрощувати це рівняння. Перенесемо один корінь у пра-ву частину рівняння та піднесемо до квадрату обидві частини:

(x + cf +у2 =4а2 -Aa^{x-cf +у2 +(x-cf +

У

-aJ(x-c)

2          2          2

=>

+ у =сх-а .

Знову піднесемо до квадрату обидві частини, тоді одержимо

22 о2   ,22,22  22 о2   ,4

а х - la сх + а с +а у = с х -2а сх + а => => (а2 -с2)х2 + а2у2 = а2(а2 -с2).

Поділимо обидві частини останньої рівності на a la —с ) і одер-

жимо:

2          2

= 1.

х          У

2          2          2

a а -с

 2^2

Оскільки a с , то можна позначити

Ь2 = а2 - с2 ,

(29) Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

тоді рівняння еліпса матиме вигляд

B(0,-b)

Y it

Мал. 9.

2          2

(30)

— + — = 1

a

2 62

Рівняння (30) називають

X

канонічним рівнянням еліп-са . Досліджен ня рівняння елі п -са дозволяє зробити висно-вок, що параметри рівняння а та b дорівнюють півосям еліп-са, що розташовані на осях координат Ох та Оу, відпові-дно. Еліпс має форму, зобра-жену на мал. 9.

с) Рівняння гіперболи

• Означення 6. Гіперболою називають геометричне місце то-чок, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох заданих то-чок (фокусів) дорівнюе постійній величині 2а.

Виведення рівняння гіперболи здійснюється аналогічно до виве-

дення рівняння еліпса. Таким же чином позначаються фокуси Fv F2, та довільна точка М гіперболи. За означенням гіперболи маємо;

\FtM\

\F2M\\ = 2а

\FiM\

\FM\ = ±2а

Перехід в останній рівності до координатної форми та алгебраїчні перетворення дозволяють одержати рівняння гіперболи вигляду:

х

У

 +

= 1.

a

2          2

а -с

Для гіперболи с2 > а2, тому b2=c2-a2 і рівняння гіперболи буде мати вигляд:

У

х

= 1,

a2b2 який називають канонічним рівнянням гіперболи.

(31)

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

Дослідження рівняння (31) дозволяє одержати властивості гіпер-боли та її вигляд (див. мал. 10).

 

У

 

X

Y k

0

BJO, h)

B,(0, -h)

i           '

b

У = —x

X

Мал. 10.

d) Парабола та її рівняння

Ф Означення 7. Параболою називають геометричне місце то-чок, відстань яких до заданог прямог (директриси) та заданог точки (фокуса) рівні.

Y ІІ

М(х, у)

X

Для одержаним рівнян-ня параболи у системі коор-динат хОу вісь Ох побудує-мо перпендикулярно до директриси і так, щоб вона проходила через фокус па-раболи – точку F. Початок координат візьмемо посере-дині між фокусом та дирек-трисою (див. мал. 11).

Мал. 11.

Відстань між фокусом F та директрисою позначимо р.

Тоді F\ — ,0 , рівнянням директриси буде х = ——. Візьмемо дов-

ільну точку Mix, у) параболи.

Згідно з означенням параболи маємо:

\FM\ = \КМ\.

У координатній формі ця рівність має вигляд:

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Ця рівність є рівнянням параболи. Піднесемо до квадрату обидві частини і, спростивши одержаний вираз, одержимо рівняння вигляду:

у2 = 2рх,         (32)

яке називають канонічним рівнянням параболи.

^ Зауваження 6. Парабола у2 = -2рх розташована зліва від осі

Оу, симетрично з параболою у2 = 2рх.

Рівняння х2 = 2qy визначає параболу, віссю симетрії якої буде

вісь Оу, а рівняння директриси має вигляд: у = -—.

<§> Зауваження 7. Якщо задано алгебраїчне рівняння другого сте-пеня вигляду

Ax2 + By2 +Сх + Dy + F = 0,            (33)

mo для визначення геометричного образу, який описуе це рівняння, тре-ба звести це рівняння до одного з канонічншрівнянь крившліній другого порядку шляхом виділення повних квадратів.

Ш Приклад 3. Визначити лінію, рівняння якої 2х2 - 8х + у2 + 6у + 1 = 0, та побудувати її.

^> Розв’язання. Спочатку об’єднаємо члени рівняння, які містять х та у окремо, тоді одержимо:

(2х2-8х) + (г/2+6г/) + 1 = 0.

Рівняння не зміниться, якщо ми у першу дужку додамо та відніме-мо 8, а в другій дужці 9. Тоді матимемо.

(2х2-8х + 8-8) + (г/2+6г/ + 9-9) + 1 = 0. Виділимо повні квадрати:

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

2(x-2f+(y + 3)2 -8-9 + 1 = 0^2(x-2f+(y + 3)2 =

= 1.

(34)

= 16^ ^—L+yy+ )

8          16

Позначимо

 

\x - 2 = x \y + 3 = y'

Якщо ми побудуємо нову систему координат х'О'у', початок якої

в точці 0'(2, -3), а осі О'х' та О'у' паралельні осям старої системи

Ох та Оу, тоді у новій системі х'О'у' координат рівняння (34) має вигляд:

(О +{У)

8

16

= 1.

 

це буде рівняння гіперболи;

d) якщо А = 0 або В = 0, то це буде рівняння параболи.

 

Y і       і           Y' j      4                     

            1 1       2'         ■3 3     Ч 4      X

0 /        ' -1                  ■2                  

■■('     ■ -2                 ■ 1                  1 ^"

-2V2 1 '–3

'4         0'         ■-1 ■-2 ■-3

-4                    ' 2V2

Мал. 12.

Це є канонічне рівняння еліпса

з півосями a = 2v2 —2,82, b = 4.

Отже, задане рівняння є рівнян-ням еліпса, який можна зобразити у системі координат (див. мал. 12).

^ Зауваження 8. Для зведення

рівняння вигляду Ax2 + By2 + Сх2 + F = = 0 до канонічного рівняння треба мати на увазі таке:

a)         якщо коефіціенти А та В од-ного знаку і рівні, то це буде рівнян-ня кола;

b)         якщо А та В одного знаку, але не рівні, то це буде рівняння еліпса;

c)         якщо А та В різних знаків, то

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

+1
загрузка...
Бібліотека для студента 9 из 10 на основе 24 оценок. 24 клиентских отзывов.
Книги Фінанси, Гуманітарія, Правовознавство