Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
6.2.4. Різновиди рівняння прямої на площині : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

6.2.4. Різновиди рівняння прямої на площині


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

магниевый скраб beletage

а) Рівняння прямої, що проходить через задану точку Мп(хп, уЛ перпендикулярно заданому вектору п(А,В) (див. мал. 1).

A Y

МЛх., г/„)

Візьмемо довільну точку М(х, у) цієї прямої і розглянемо

п(А,В) вект°Р

MM = (х–х ; у–у ).

Вектори M0M та n перпен-дикулярні, тому їх скалярний до-буток дорівнює нулю, тобто

Мал. 1.

А(х – х0) + В (у – у0) = 0. (7)

Координати будь-якої точки прямої задовольняють рівняння (7), а координати точки, що не лежить на цій прямій, не задовольняють рівняння (7). Тому рівняння (7) є рівнянням прямої, що проходить

через точку М0ух0,у0 J перпендикулярно вектору

п

(А, В).

Ь) Загальне рівняння прямої

+ Теорема. Будь-яке рівняння першого степеня відносно х may визначае пряму лінію на площині.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Доведення. Розглянемо довільне рівняння першого степеня віднос-но х та у

Ax + By + С = 0.        (8)

Це рівняння має нескінченну кількість розв’язків. Нехай (х,, ііЛ -один з цих розв’язків. Тоді

Ах„ + Вуп + С = 0.    (9)

Віднімаючи із рівняння (8) рівняння (9), одержимо

А(х - хп) + В(у - уЛ = 0.        (10)

Ліву частину цієї рівності можна розглядати як скалярний добу-

ток векторів п = (А, В) та МпМ = (х-х ; у-у ). Ці вектори перпен-дикулярні тому, що їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже, кінці вектора М0М належать прямій, що перпендикуляр-

на вектору п і проходить через точку М„. Рівняння (8) та (10) еквіва-лентні, тому рівняння (8) є рівнянням прямої, перпендикулярної вектору п = (А, В), що і треба було довести.

• Означення 2. Рівняння вигляду Ax + By + С = 0 називають загальним рівнянням прямої.

Це рівняння при різних числових значеннях А, В, С визначає будь-яку пряму на площині.

Проведемо дослідження загального рівняння прямої. Нехай в загальному рівнянні (8) довільний член С = 0. Тоді рівняння матиме вигляд Ax + By = 0. Це рівняння задовольняють координати точки О(0, 0). Тому в цьому випадку (С = 0) пряма проходить через поча-ток координат.

Нехай в рівнянні (8) A = 0. Тоді рівняння приймає вигляд

By+ С =0 => у =        .           (11)

В

У цьому випадку пряма перпендикулярна вектору п =(0, В), який є паралельним осі Оу, тому пряма паралельна осі Ox і відтинає від

осі Оу відрізок, що дорівнює           (див. мал. 2).

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

Y 4      Якщо в рівнянні (8) ко-

ефіцієнт В = 0, то воно приймає вигляд

4—2-

Ах + С =0=>.г = —. (1/) A

Рівняння (12) є рівнянням

            ^ прямої, як;і паралельна осі Оу і

X         відтинає від осі Ох відрізок, що

Мал. 2.           С

дорівнює        .

A

Якщо в загальному рівнянні прямої A = С = 0, тоді рівняння прий-має вигляд у = 0 і є рівнянням осі Ох.

Якщо В = С = 0, тоді загальне рівняння приймає вигляд х = 0 і буде рівнянням осі Оу.

^ Зауваження 1. Рівняння прямої у загальному вигляді (8) з кон-кретними числовими значеннями коефіціентів A, В, ma С використо-вуються дуже часто.

Для побудови прямої у системі координат хОу, заданої загаль-ним рівнянням, доцільно знайти точки перетину прямої з осями ко-ординат і через ці дві точки провести пряму.

Якщо в рівнянні покласти х = 0, то одержимо точку перетину прямої з віссю Оу. При у = 0 одержуємо точку перетину прямої 3 віссю Ох.

Якщо в загальному рівнянні коефіцієнт А, що стоїть при х, дорів-нює нулю, то пряма горизонтальна, а при В = 0 пряма буде верти-кальною.

■ Приклад 2. Побудувати лінію, рівняння якої Зх - 2у + 6 = 0.

^> Розв ’язання. Задано рівняння першого степеня відносно х та у, тому ця лінія - пряма, її рівняння задано у загальному вигляді. Для побудови цієї прямої знайдемо точки її перетину з осями координат.

При х = 0 маємо

-2у + 6 = 0=>2г/ = 6=>г/ = 3.

При у = 0 маємо Зх + 6 = 0=>х = -2. Отже, пряма проходить через точки Mt(0, 3) та М2(-2, 0).

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Y JL

Через ці дві точки можна провести лише одну пряму (див. мал. 3).

Ax + Bхy + Cх = 0 A2x + B2y + C2 = 0,

X

^ Зауваження 2. Якщо дві прямі задані загальними рівнян-нями

та

Мал. 3.

тоді умова їх паралельності має вигляд:

(13)

(14) (15)

AL_BL

а умовою їх перпендикулярності буде

A1A2+BІB2=О.

Косинус кута між прямими знаходять за формулою

A A+B B

cos<p =

A2 + B2 -JA2 + B2

11 V 2 Відстань d від заданої точки М0(х0, у0) до прямої, що задана за-гальним рівнянням, знаходять за формулою

(16)

d

 

\Ax0 + By0+C\ УІA2 + B2

с) Канонічне рівняння прямої

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через задану точку МJхr,, уЛ паралельно заданому вектору s = (l m ) (див. мал. 4). Візьмемо довільну точку М(х, у) на прямій і розглянемо вектор

M0M = уx — x0,y — y0). Вектори M0M та s паралельні, тому їх координати пропорційні, тобто

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

Y ІІ

X

ру s = {1,т).

Рівняння вигляду (17) називають канонічним рівнянням пря-мої, а вектор s =(1,т) напрямним вектором прямої.

d) Якщо напрямним вектором прямої взяти вектор

M1M2 = (х2 —x1,y2 -y1) тоді одержимо рівняння прямої, що про-ходить через дві задані точки M1yx1,y1J та М2ух2,у2) вигляду

M(x, y)

Мал. 4.

У-У0

*Л/      .Л/

(17) lm

Якщо точка М(х, у) не лежить

на прямій, тоді вектори М0М та

s не будуть паралельними і рівність (17) не виконується.

Отже, рівність (17) є рівнян-ням прямої, що проходить через точку M0(X0, у0) паралельно векто-

 

х2 -х1

х-х1 _ у-у1 У2-У1

(18)

е) З рівняння (18) легко отримати рівняння прямої вигляду

(19)

х у 1 a о

яке називають рівнянням прямої у відрізках, оскільки пряма відти-нає від координатних осей відрізки а та Ь (див. мал. 5).

Дійсно, пряма проходить через точки А(а, 0) та В(0, Ь). Підста-вивши координати цих точок у рівняння (18), одержимо

х-0 у-Ь

х у

—+ 7 = 1.

а-0 0-b

а Ь

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

X

 

Y '       i B                  

b                                 \A

0                      a         

Мал. 5.

 

х-х

^ Зауваження 3. Якщо дві прямі задані канонічними рівняннями

h

У~Уо т

та

Х-Х

и

У-У0 те

22

то умовою їх перпендикулярності буде

 

Іі-12+ті-т2 = 0.

Умова паралельності прямих має вигляд:

(20)

 

k

т

/2 т2

(21)

Косинус кута <р між цими прямими знаходять за формулою:

L •L+m.-m0    ,

cos<p =

1 А 1 А .         {22)

І2 + т2-.ІІ2 + т2

1          1 V 2   2

f) Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Нехай а кут нахилу прямої до осі Ох, тобто кут, на який по-трібно повернути вісь Ox, щоб вона співпала з прямою.

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через точку MJXr,, уЛ з кутом нахилу а (див. мал. 6).

Нехай напрямним вектором буде s = (cos «, cos/?). Але

/? =      а, тому cos/? = cos     ос = sinar,TOMy J = (cos«,sin«).

Використовуючи канонічне рівняння прямої (17), одержимо:

 

cos a

у-у

sma

У-Уй =tga-(x-x0)

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

Y 4      Позначимо tg ос = k, тоді остан-

ня рівність буде виглядати так:

у - у = k(x - х ). (23) Це рівняння прямої, що прохо-дить через точку MJXr,, уЛ з куто-вим коефіцієнтом k.

X

0

Мал. 6.

Якщо в рівнянні (23) розкрити дужки і позначити у - kx= b, TO рівняння (23) прийме вигляд:

у = kx + Ь.      (24)

При х = 0 ця пряма перетинає вісь Оу в точці 6(0, Ь). Рівняння (24) називають рівнянням прямої з кутовим кое-

фіцієнтом k = tg сс, де a - кут нахилу прямої до осі Ох, Ь - відрізок,

який відтинає пряма від осі Оу.

^ Зауваження 4. Рівняння з кутовим коефіціентом вигляду (24) часто використовуеться в економічних задачах, тому треба вміти будувати пряму в системі хОу no п рівнянню з кутовим коефіціен-том.

Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом у = k.x + b та у = k„x + b„, тоді кут <p між цими прямими знаходять за формулою:

(25)

k -k

tg(p = ^           x,

1 T KA ' /to

(26)

умова паралельності прямих має вигляд: а умова перпендикулярності виглядає так:

■k,=-i

або

ь-4

k

(27)

^ Зауваження 5. Рівняння прямог у різних формах дуже часто використовуються, тому для більш глибокого 'іх засвоення доцільно усі поняття, позначення та формули систематизувати, наприклад, та-ким чином, як у таблиці 4, що додаеться в кінці цього підручника.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»