6.2.1.       Предмет та метод аналітичної геометрії


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

З шкільного курсу математики відомо, що предметом вивчення геометрії є геометричні об’єкти (точки, лінії, фігури), а предметом вивчення алгебри – числа, рівняння, функції.

Предметом вивчення аналітичної геометрії є вивчення геометрич-них образів алгебраїчними методами.

Для застосування методів алгебри до розв’язування задач геометрії встановлюється зв’язок між геометричним об’єктом та числами. Спо-собом встановлення такого зв’язку є метод координат, який першим систематично використовував французький математик Рене Декарт (1596–1650).

При цьому методі найпростішому геометричному образу – точці ставиться у відповідність упорядкована множина чисел – координат цієї точки. Більш складні геометричні образи розглядають як мно-жину точок, що задовольняє певним умовам. Ці умови зв’язують координати точок у відповідне рівняння.

Таким чином, метод координат дозволяє кожному геометрично-му образу поставити у відповідність його рівняння, а потім шляхом аналітичного дослідження цього рівняння вивчити властивості цьо-го геометричного об’єкта.

Отже, основним методом аналітичної геометрії є метод ко-ординат.

6.2.2.   Основні та найпростіші задачі аналітичної геометрії

В аналітичній геометрії вивчаються дві основні задачі:

1.         Складання рівняння геометричного об’єкта, який розглядають як геометричне місце певних точок.

2.         Дослідження властивостей геометричного об’єкта за його рівнян-ням і побудова його.

Виділяють також дві найпростіші задачі аналітичної геометрії:

1)         знаходження відстані між двома точками;

2)         ділення відрізка у заданому відношенні.

Розв’яжемо найпростіші задачі аналітичної геометрії.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Знаходження відстані між двома точками

Нехай задані точки Mt та М2. Якщо вони лежать в площині хОу,

то кожна з них має дві координати Мх(хх,уЛ, М2[х2,у2). Якщо вони із тривимірного простору, то кожна з них має три координати

Mx(xvyvzx), M2(x2,y2,z2).

Якщо ці точки із и-вимірного простору, то кожна з них має п координат.

Відстань між двома точками М. та Мп дорівнює довжині вектора

МХМ2, координати якого дорівнюють різниці однойменних коорди-

нат точки Мп та М.. Але довжина вектора дорівнює квадратному ко-реню із суми квадратів його координат. Отже, маємо, що відстань між двома заданими точками М. та Мп знаходять за формулами:

(1)

коли М. та Мп належить Еп;

МХМ2

коли M1,M2

MtM2 М^х^...,хп) та M2(yvy2,...,yn)e Еп.

коли

= J(x2-xlf+(y2-yl)2 + ... + (z2-zlf,

yj(yi-xif+(y2-x2f+... + (yn-xnf!

(2)

(3)

Ділення відрізка у заданому відношенні

Нехай е заданий відрізок МХМ2 тобто відомі координати його

кінців - точок Mt та М2.

Поділити відрізок MtM2 у відношенні Л означає, що треба знай-ти координати точки М такої, що виконується відношення

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

м1м__

2

З цієї рівності випливає: М1М = ЛММ2.

Остання рівність означає, що вектори М1М та ММ2 колінеарні, тому їх координати пропорційні, тобто в просторі Е3 маємо:

деМДх1,г/1,г^, M2yx2,y2,z2j, Myx,y,z).

З рівності                   = А одержимо

= А[х2 -Х) => = Ах2 -Ах=>(1 + А)

t/if 1 "Т" • t •/!• 2

1 + А

=> X =

Аналогічно з рівності                       = Л одержимо г/ = 12 , а з

у2-у     ^ 1 + Л

рівності                      = /I одержимо 2 = 1 2 .

z2-z     1 + А

Отже, в тривимірному просторі координати точки М(х, у, z), що

поділяє відрізок М1М2 у відношенні A, знаходять за формулами

х<+Ах2           у,+Ау2            z,+Az2

х = —  , г/ = 1^, z = —           .           (4)

1+А У 1+А     1+А

У випадку двовимірного простору координата z1 = z2 = 0 тому координати точки М(х, у) знаходять за першими двома формулами із (4).

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Якщо точка М поділяє відрізок MtM2 навпіл, тоді вона знахо-диться у середині відрізка, Л = 1 і формули (4) приймають вигляд

Хл "Т ЛП        Ц. "Т t/n           2л "Т 2п

х = —  -; у = ——^-; z = —   -•         (5)

2          2          2

Якщо точки М1(а1,а2,...,ап), М2(Ь1,Ь2,...,Ьп)є Еп, тоді коор-

динати точки M(xt,x2,...,xn), що поділяє відрізок МХМ2 у відно-

шенні Л, знаходять за формулами

аь + ЛЬЬ г п

xk=—  -, к = 1, 2... п. (Ь)

1 + Л Ш Приклад 1. Знайти відстань між точками М. (6, 5, -3) та

Мп (1, 2, 7), а також координати точки М. що поділяє відрізок навпіл.

2          7

^> Розв’язання. За формулою (3) знайдемо відстань між точками: MtM2 =>/(1-6)2 + (2-5)2+(7 + 3)2 = V25 + 9 + 100=Vl34.

Координати точки М, що поділяє відрізок MtM2 навпіл знайде-мо за формулами (5):

6 + 1 7 5 + 2 7 -3 + 7 _

х =       = —; у =         = —; z =          = 2

22^22  2'2'

Отже, шукана точка M