Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_6573f081b7e82547ea0ad370354c18c9, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
6.1.7. Опуклі множини : Вища математика для економістів : Бібліотека для студентів

6.1.7. Опуклі множини


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

У курсі «Математичне програмування» та в деяких економічних дослідженнях використовуються поняття опуклої лінійної комбінації векторів та опуклої множини.

Спочатку ознайомимось з поняттям опуклої лінійної комбінації векторів.

Нехай на площині задані точки А1 та А2, що визначають відрізок А1А2, зображений на малюнку 9. Знайдемо радіус-вектор f довільної точки М цього відрізка через радіуси-вектори г1, та г2 то-чок А та А.

Y iL

Мал. 9.

A

Вектори

A1M = f-r1; A1A2=f2-f1

колінеарні і однаково напрямлені, тому вони пропорційні. Отже, існує таке t, що:

r-r1 =t(r2-r1), 0<t<1.

Звідси одержимо:

f = {1-t)r1+tr2.

Якщо позначити 1 — t = t1, t = t2, то остання рівність матиме вигляд

r = t1r1 +t2r2, (9)

t1+t2 = 1, t1 > 0, t2 > 0 .        (10)

Ф Означення 11. Опуклою лінійною комбінацією векторів r1

та f2 називають комбінацію (9) цих векторні при умові (10).

Рівняння (9) з умовою (10) можна розуміти як векторне рівнян-ня відрізка \А2. Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

•          Означення 12. Опуклою лінійною комбінацією k п-вимірних

векторів xv x2,...,xk називають комбінацію

х = t1x1 + t2x2 +... + tkxk      (11)

при умовах

t,+tn+... + tt =1 t;>0, i = l,2,...,k.         (12)

1 .. 5 1 ..

Ш Наприклад. Лінійна комбінація -ij          xn +—x3, має

3 1 12 2 4 L = — >0, L = — > 0, L = — >0, L+L+L= — + — + — = 1,

Q         \ 0        A         Л i O A

тому вона опукла.

•          Означення 13. Опуклою множиною називають множину, дві

довільні точки яког визначають відрізок, що належить цій множині.

Відрізок, півпряма, пряма, кут менший 180°, коло, півплощина, куб, тетраедр, куля - опуклі множини.

На малюнку 10 зображені різні множини. У випадках а)-с) ці множини опуклі, у випадках d) та е) вони не опуклі.

 

a)

Ь)

c)         d)

Мал. 10.

е)

Ф Означення 14. Межевою точкою множини називають таку точку, в околі яког, як завгодно малого радіуса з центром в цій точці, е точки, що належать множині, і е точки, що не нале-жать множині.

Межею множини називають сукупність всіх її межевих точок. Множину, якій належить її межа, називають замкненою.

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Опуклі замкнені множини бувають обмеженими і не обмежени-ми. Множина називається обмеженою, якщо існує таке число с > 0, що відстань довільної точки М множини від початку координат об-

межена, тобто \ОМ\ < с.

•          Означення 15. Опукла замкнена множина в п-вимірному про-

сторі, що мае скінченне число кутових точок, називаеться опук-

лим п-вимірним многогранником, якщо вона обмежена, і випук-

лою п-вимірною многогранною множиною, якщо вона не обмежена.

Кутові точки називають вершинами, відрізки, що сполучають дві сусідні вершини, називають ребрами.

•          Означення 16. Опорною прямою многокутника в двовимір-

ному просторі називаеться пряма, яка мае з многокутником, розта-

шованим no одну сторону від нег, принаймні одну спільну точку.

Опорна пряма з многокутником може мати спільну вершину або ребро.

Останні поняття узагальнюють на випадок и-вимірного простору.

•          Означення 17. Опорною гіперплощиною опуклої замкненої

множини п-вимірного простору називаеться гіперплощина, що мас

з ціею множиною, розташованою no одну сторону від нег, хоча б одну

спільну точку.

Опорна гіперплощина з множиною може мати спільну вершину, ребро або грань.



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_6573f081b7e82547ea0ad370354c18c9, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0