6.1.5. Розклад вектора за базисом


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 

Загрузка...

•          Означення 8. Лінійно залежними називають вектори

av a2,..., an, якщо існує хоча б одне дійсне число аi(i = \) 2,...,n,

що не дорівнює нулю і виконується рівність

осa, + ос2a2 +... + a a = 0.     (7)

•          Означення 9. Лінійно незалежними називають вектори

av a2,..., an, якщо рівність (7) виконується тільки тоді, коли усі

«і =0 (i = 1, 2,..., n).

В системі векторів av a2,..., an число лінійно незалежних век-

торів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Дійсно, якщо систему векторів av a2,..., an із простору Em роз-

глядати як матриці-стовпці з т заданими елементами, тоді рівняння (7) можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгеб-

раїчних рівнянь з n невідомими ocv а2,..., аn. Кількість базисних

невідомих такої системи дорівнює рангу r основної матриці системи,

тобто матриці, складеної it координат векторів av a2,..., a .

Таким чином, серед чисел ocv а2,..., аn існує r не рівних нулю.

Згідно з означенням 8 звідси випливає, що вектори av a2,..., an

лінійно залежні.

Для лінійно залежних векторів має місце рівність (7), з якої зав-жди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.

Якщо вектори av a2,..., an із простору En (кожен з них має n

координат) лінійно незалежні, тоді осх = а2 =... = осn = 0, тобто сис-

тема n однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має тривіальний розв’язок. Але це можливо лише тоді, коли визначник

матриці, складеної з координат векторів av a2,..., an, не дорівнює

нулю.

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

■ Приклад 1. Визначити лінійну залежність або незалежність системи векторів ах = (-1, -2, -3); а2 = (7, 8, 9); а3 = (-4, - 5, 6) та

системи векторів Ьх = (3, -2, 4, 1); Ь2 = ( —1, 2,-1, 2); Ь3 = (1, 2, 2, 5).

^ Розв’язання. Спочатку розглянемо систему векторів av а2, а3. Знайдемо ранг матриці, складеної з координат цих векторів:

Г-1 -2 -ЗЛ

A

 

789 -4 -5 Визначник цієї матриці |Л|= -48 + 72 + 105 - 96 + 84 - 45 = 72 не дорівнює нулю, тому г(А) = 3 і вектори av а2, а3 лінійно неза-лежні.

Тепер розглянемо систему векторів h, b2, b3- Матриця В скла-дена з координат цих векторів має вигляд:

В

 

(з         -2        4 1]

-1        2          -1 2

1          2          2 5

Ця матриця розміру 3x4 має ранг г(В) = 2. Тому вектори bv b2, b3 лінійно залежні.

• Означення 10. Базисом n-вимірного простору Еп називають

будь-яку сукупність п лінійно незалежних векторів п-вимірного про-стору.

Довільний вектор d и-вимірного простору можна представити у

вигляді лінійної комбінації векторів базису

d = ххах + х2а2 +... + хпап.   (8)

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Числа xv x2,..., xn називаються координатами вектора d у

базисі векторів

2 ,an .

Ш Приклад 2. Довести, що вектори aх = (5, 4, 3), a2 = (-3, -1, 2) та a3 = (-3, 1, 3) утворюють базис в Е3, та розкласти вектор d =(12, 9, 10) за цим базисом.

^> Розв’язання. Кожен із заданих векторів av a2, a3 має три ко-

ординати, тому належить тривимірному простору Е„. Матриця скла-дена з координат цих векторів

(5 4 3^ A = -3 -1 2

І-з і з

має визначник |А| = -15 - 24 - 9 - 9 + 36 - 10 = -31 ^ 0, тому вектори av a2, a3 лінійно незалежні. Згідно з означенням 10 базису, ці векто-ри утворюють базис в EQ.

Вектор d також має три координати, тобто належить EQ. Тому його можна представити у вигляді (8) або

 

Ґ12>                (5Л                  (~зл                 (-ЗЛ

9          = xt      4          + x2     -1        + x3     1

[ю,                  ІА                    І2 J                  Із J

Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому з остан-ньої рівності одержимо

3xt +2x2 +3x3 =10

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

Матричним методом можна знайти розв’язок цієї системи

v10y

x

 

\x3J

-1

31

Г-5 -9 11

3

24 -19

6 Ї (\2\

-17

7

-1 31

Г-93^ (ЗЛ

И,

-62 Отже, маємо розклад d за базисом

d = 3at + 2a2 - a3.

Координатами вектора y базисі будуть (3, 2, -1).

^ Зауваження. Два лінійно залежних вектори задовольняють

рівність b = oca, тому вони колінеарні. У колінеарних векторів коор-динати пропорційні, тобто

a _ a2 — — an .

b          b2 '" bn